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第5章 勾股定理与实数
5.6 实数
青岛版数学 八年级上册
1.了解实数的概念，会对实数进行分类.（重点）
2.能求实数的相反数和绝对值.（重点）
3.知道数轴上的点与实数一一对应，会用数轴上的点表示实数；会比较两个实数的大小. （难点）
数的范围进一步得到扩充.
七年级时我们认识了有理数,
本章中我们又学习了无理数,
1.什么是有理数？有理数怎样分类？
整数
分数
有理数
正有理数
负有理数
有理数
0
（按性质）
（按大小）
探究一 实数的概念及分类
整数和分数统称为有理数.
整数与分数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.
观察与发现
2.什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？
带根号的数不一定是无理数.
无理数是无限不循环小数.
（1）开不尽方的数是无理数；
（2）圆周率π及一些含有π的数都是无理数；
（3）有一定的规律，但不循环的无限小数都是无理数.
无理数分为正无理数和负无理数.
有理数和无理数统称为实数.
即实数可以分为有理数和无理数.
3.什么叫作实数？
实数
(按概念分)
有理数
无理数
整数
分数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
自然数
有限小数或无
限循环小数
正无理数
负无理数
无限不循环小数
探究一 实数的概念及分类
思考与交流
如何对实数进行分类呢？
正实数
负实数
正有理数
正无理数
正整数
正分数
负有理数
负无理数
0
负整数
负分数
实数
(按符号分)
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 (number axis).
探究二 实数与数轴
1.什么叫作数轴？
观察与发现
我们知道，有理数可以用数轴上的点来表示，
无理数也可以用数轴上的点来表示.
事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数.
实数与数轴上的点一一对应.
把有理数扩充到实数以后，就可以“填满”整条数轴了.
数轴的再认识
正数
负数
从左往右，越来越大
0
1
2
3
﹣1
﹣2
﹣3
﹣4
4
﹣5
5
﹣6
﹣7
6
7
2.如何利用数轴比较实数的大小
思考与交流
数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数比
左边的点表示的实数大
归纳
探究二 实数与数轴
例1、下列各数哪些是有理数 哪些是无理数 哪些是正实数 哪些是负实数
- ， ，π,0.26 ， ，0, ,3.1416, -3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).
·
解:有理数: ,0.26 ,0, 3.1416;
·
负实数:- , -3.1010010001….
无理数:- ,π, , ,-3.1010010001…;
正实数: ,π,0.26 , , ,3.1416;
·
1.把下列各数填入相应的横线上：
(1)有理数： ；
(2)无理数： ；
(3)正实数： ；
(4)负实数： ；
例2、运用数轴比较下列实数的大小(用 “<”连接):
, - , , -, 3.2.
0
1
2
3
﹣1
﹣2
﹣3
﹣4
4
﹣5
5
﹣6
﹣7
6
7
-
-
3.2
解:在数轴上表示：
-
-
＜ ＜ ＜ ＜ 3.2
探究三 与实数有关的概念和性质
在有理数范围内绝对值、相反数、倒数的意义是什么
思考与交流
只有符号不同的两个数叫作互为相反数,
在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
乘积是1的两个有理数互为倒数.
在实数范围内绝对值、相反数、倒数的意义与有理数范围内一样吗
实数的绝对值、相反数、倒数与有理数范围内的意义完全相同.
思考与交流
只有符号不同的两个数叫作互为相反数,
在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
乘积是1的两个有理数互为倒数.
名称 表示 性质
相反数
绝对值
倒数
实数a的绝对值记作|a|
（1）|a|=
-a
0
a
(2)互为相反数的两个实数的绝对值相等,即|a|=|-a|
实数a的相反数实-a
实数a与实数互为倒数.
实数a,b互为相反数 a+b=0
0没有倒数
实数a,b互为倒数 ab=1
例3、（1） 的相反数是______,绝对值是_____.
（2） 的相反数是 ,绝对值是______ .
（3） 的绝对值是__________.
（4）已知一个数的绝对值是 ，则这个数是____．
4
（5）设m是 的整数部分，n是 的小数部分，则m－n的值 .
6-
3.填表：
实数 相反数 绝对值 倒数




π-3

a(a＜0)
3-π
π-3
-a
-a
探究四 实数的运算
思考与交流
有理数的运算法则、运算律、运算顺序和运算性质在实数范围内还成立吗？
有理数的运算法则、运算律、运算顺序和运算性质在实数范围内仍然成立,即进行实数的运算时,先算乘方、开方,再算乘、除,最后算加、减,同级运算从左到右依次进行,有括号的要先算括号里面的.
实数
有理数和无理数统称实数
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样
实数与数轴上的点一一对应
1.在 0,-2,-,π 四个数中,绝对值最小的数是（ ）.
A.0 B.-2 C.- D.π
A
2.实数a,b在数轴上的对应位置如图所示,则-(b-a-2)的化简结果是（ ）.
A.2 B.2a-2 C.2-2b D.-2
A
3. 实数 a,b 的位置如图，化简 |a + b| – |a – b|.
a
0
b
解:由数轴可知，a+b<0，a－b<0，从而
原式=－(a＋b)－[－（a－b）]
= －a－b＋（a－b）
= －a－b＋（a－b）
= －a－b＋a－b
= －2b.

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