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（人教版）数学（2024）
八年级
上
15.1 图形的轴对称
第十五章 轴对称
15.1.2 线段的垂直平分线
第一课时 线段的垂直平分线的性质及判定
掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理.
能运用它们证明两条线段相等或两条直线互相垂直.
认识互逆命题、原命题和逆命题.
重点：线段垂直平分线定理及逆定理.
难点：定理及逆定理的关系.
线段垂直平分线上的点与_________________的距离相等.
与线段两个端点距离相等的点在_______________________.
这条线段两个端点
这条线段的垂直平分线上
直线l垂直平分线段AB，点P在l上，则PA与PB有什么关系？为什么？
PA ＝ PB.
【探究】如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？
P1A ＝ P1B，P2A ＝ P2B，P3A ＝ P3B，…，
如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、
线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都是重合
的，因此它们也分别相等.
线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC ＝ BC，点P在l上.
求证PA ＝ PB.
【证明】当点P与点C不重合时，
∵ l⊥AB，∴ ∠PCA ＝ ∠PCB.
又AC ＝ BC，PC ＝ PC，
∴ △PCA ≌ △PCB(SAS).
∴ PA ＝ PB.
强调：当点P与点C重合时，显然成立.
【思考1】把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA ＝ PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
【提示】如图，可先证明△PAM ≌ △PBM.
小结：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
从上面两个结论可以看出，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合.
【思考2】分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？
这两个命题的题设、结论正好相反.
我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.
一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立，例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理.
【练习】如右图，△ABC中，OD⊥AC，OE⊥AB，垂足分别为D，E，且D，E分别是AC，AB的中点.求证OB ＝ OC.
【解析】由题设条件知，O是AB垂直平分线上一点，
所以OA ＝ OB，同理，OA ＝ OC，从而，OB ＝ OC.
【证明】连接AO，∵ OE⊥AB，E是AB的中点，
∴ O在线段AB的垂直平分线上，
∴ OA ＝ OB.
同理，OA ＝ OC，∴ OB ＝ OC.
通过本节课的学习，你有什么收获？
1. 线段的垂直平分线性质定理和逆定理.
2. 原命题和逆命题的概念及关系(如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理).
15.1.2 线段的垂直平分线
第二课时 尺规作图——作线段的垂直平分线
15.1 图形的轴对称
第十五章 轴对称
1.学会作轴对称图形的对称轴和成轴对称的两个图形的对称轴.
2.经历探索作对称轴的过程，体会和理解“对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线”的含义.
3.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
重点：作轴对称图形的对称轴和成轴对称的两个图形的对称轴.
难点：体会和理解“对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线”的含义.
1.两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对称点所连线段的______________.
2.要作成轴对称的两个图形的对称轴，只要找到一对_______，作出连接它们的线段的______________，就可以得到这两个图形的对称轴.
垂直平分线
对称点
垂直平分线
【提问】有时我们感觉两个平面图形是成轴对称的，如何证明呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.因此，我们只要找到一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.
【思考】如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线？
【分析】如图，已知线段AB，要作线段AB的垂直平分线.
由于“两点确定一条直线”，所以作线段AB的垂直平分线，
关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点.
根据与A，B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，
可以作出这样的两个点.
【思考】如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线？
【做法】如图：
(1)分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，
两弧相交于C，D两点；
(2)作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
由于成轴对称的两个图形的对称轴是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线，所以只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.
同样地，对于轴对称图形，只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.
例如，对于图中的五角星，可以找出它的一对对称点A和A'，连接AA'，作出线段AA'的垂直平分线l，则l就是这个五角星的一条对称轴.
请作出这个五角星的其他对称轴.
【例】尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB外一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
【分析】假设所求作直线已经作出，则它不仅过点C与直线AB垂直，而且是连接AB上与垂足距离相等的两点的线段的垂直平分线.我们已经会作线段的垂直平分线，因此需要首先在直线AB上确定这两点.根据前面关于线段的垂直平分线的定理，这两点只需满足与点C的距离相等即可.
【例】尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB外一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
【作法】如图.
(1)以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E；
(2)分别以点D和E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；(即作线段DE的垂直平分线)
(3)作直线CF，则直线CF就是所求作的垂线.
【练习】画出下列各轴对称图形的对称轴.
【解析】作出一对对称点所连线段的垂直平分线，即为对称轴.
【解】如图，图(1)有3条对称轴；图(2)有4条对称轴；图(3)有6条对称轴；图(4)有4条对称轴.
通过本节课的学习，你有什么收获？
1. 作对称轴的依据：作任意一对对称点所连线段的垂直平分线.
2. 作对称轴的方法：
(1)找出图形上的一对对应点；
(2)作出这对对应点所连线段的垂直平分线.
谢谢！
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