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（人教版）数学（2024）
八年级
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第十五章 轴对称
15.3.2 等边三角形
第一课时 等边三角形的性质与判定
15.3 等腰三角形
1. 掌握等边三角形的性质与判定方法.
2. 经历发现问题和解决问题的过程，并获得成功的体验.
重点：等边三角形的性质与判定.
难点：综合运用所学知识探索与解决实际问题.
1. 等边三角形的三个角______，并且每一个角都等于______.
2. 三个角都相等的三角形是______三角形.
3. 有一个角是60°的等腰三角形是______三角形.
都相等
60°
等边
等边
【回顾】我们已经学习了等腰三角形的性质与判定，请你说说等腰三角形都有哪些性质.怎样判定一个三角形是等腰三角形？
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形；
等边对等角，等角对等边；
等腰三角形底边上的中线、高及顶角的角平分线重合.
什么是等边三角形？等边三角形有哪些性质？怎样判定一个三角形是等边三角形？
【思考】把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形满足什么条件才是等边三角形？
等边三角形的三边都相等，那么根据“等边对等角”，能得出什么结论？
等边三角形的三个角都相等.
等边三角形的角还有其他性质吗？
等边三角形的三个角都是60°.
怎么判断一个三角形是不是等边三角形？
一是从边出发，即根据等边三角形的概念判定；
二是从角出发，证明三个角都相等.
如果一个等腰三角形有一个角是60°，能否判定这个三角形是等边三角形呢？
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【例4】如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形.
【证明】因为△ABC是等边三角形，
所以∠A ＝ ∠B ＝ ∠C.
因为DE∥BC，
所以∠ADE ＝ ∠B，∠AED ＝ ∠C.
所以∠A ＝ ∠ADE ＝ ∠AED.
所以△ADE是等边三角形.
【练习】如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别在边AC，AB，BC上，且CD ＝ AE ＝ BF，求证△DEF是等边三角形.
【解析】本题隐含△BFE ≌ △CDF ≌ △AED，
由此可得EF ＝ FD ＝ DE，
故△DEF是等边三角形.
【证明】因为△ABC是等边三角形，
所以∠A ＝ ∠B ＝ 60°，AB ＝ AC.
又因为CD ＝ AE，
所以AB － AE ＝ AC － CD，即BE ＝ AD.
在△ADE和△BEF中，AD ＝ BE，∠A ＝ ∠B，AE ＝ BF，所以△ADE ≌ △BEF(SAS)，所以DE ＝ EF，
同理，EF ＝ FD，所以DE ＝ EF ＝ FD，
所以△DEF是等边三角形.
1. 你能说说等边三角形都有哪些判定方法吗？
2. 通过本节课的学习，你有哪些新的发现和体会？
第十五章 轴对称
15.3.2 等边三角形
第二课时 含30°角的直角三角形的性质
15.3 等腰三角形
1. 理解含30°角的直角三角形的性质.
2. 能运用等边三角形的性质和判定证明含30°角的直角三角形的一个性质，体会解题策略的多样性.
3. 经历探究“大边对大角，大角对大边”的过程，进一步理解数学知识的关联性.
重点：含30°角的直角三角形的性质.
难点：含30°角的直角三角形的性质的探索与证明.
Rt△ABC中，∠C ＝ 90°，∠A ＝ 2∠B，则AB ＝ ____AC.
2
请拿出含有30°角的直角三角板，与同桌的三角板拼成一个大的三角形，
猜一猜，这个大三角形是什么三角形？
大三角形是等边三角形.
为什么？
观察含30°角的直角三角形，猜一猜，这种直角三角形的边有什么关系？
【探究】如图，在△ABC中，∠C ＝ 90°，∠A ＝ 30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论？再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？证明你的结论.
【提示】要证明BC ＝ AB，只要证明2BC ＝ AB.
【探究】如图，在△ABC中，∠C ＝ 90°，∠A ＝ 30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论？再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？证明你的结论.
如图，延长BC到D，使CD ＝ BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线，
所以AB ＝ AD.
又因为∠B ＝ 90° － ∠BAC ＝ 90° － 30° ＝ 60°，
所以△ABD是等边三角形，所以BD ＝ AB.
又BD ＝ 2BC，所以BC ＝ AB.
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【例5】如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB ＝ 7.4m，∠A ＝ 30°.求立柱BC，DE的长.
【解】因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A ＝ 30°，
所以BC ＝ AB，DE ＝ AD.所以BC ＝ ×7.4 ＝ 3.7.
又AD ＝ AB，
所以DE ＝ AD ＝ ×3.7 ＝ 1.85.
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等.那么，不相等的边(或角)所对的角(或边)之间的大小关系是怎样的呢？大边所对的角也大吗？
猜想：(1) 不相等的边所对的角不相等；(2) 大边所对的角也大.
能利用折纸的方法验证你的猜想吗？
如图所示，在△ABC中，如果AB ＞ AC，那么可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折痕交BC于点E.
由图可得∠C ＝ ∠ADE(折叠性质)，
因为∠ADE ＞ ∠B(外角性质)
所以∠C ＞ ∠B(等量代换).
小结：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大.
这种折叠方法该如何证明呢？
证明：由图可得∠B ＝ ∠BCE，
∠ACB ＞ ∠BCE，
所以∠ACB ＞ ∠B，即∠C ＞ ∠B.
折痕DE实际上是BC边上的什么线？
小结：折痕DE实际上是BC边上的垂直平分线.
【类比猜想】从上面的探究过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究两个量之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题.应用上面的方法，能说明“在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大”吗？
猜想：大角对大边.
如图∠C ＞ ∠B，AB和AC有怎样的大小关系？
证明：由折叠性质可得：AE ＝ AC，因为AB ＝ AE ＋ BE ＝ AC ＋ BE，所以AB ＞ AC.
小结：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大.
利用上面两个结论，回答下面的问题：
(1) 在△ABC中，已知BC ＞ AB ＞ AC，那么∠A，∠B，∠C有怎样的大小关系？
(2) 如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形吗？为什么？
(3) 直角三角形的哪一条边最长？为什么？
(1) 因为BC ＞ AB ＞ AC，所以∠A ＞ ∠B ＞ ∠C.
(2) 这个三角形一定是锐角三角形.
理由：因为三角形中最大的边所对的角是锐角，根据大边对大角可以得出：另外两个角都是锐角，所以这个三角形一定是锐角三角形.
(3) 直角三角形中斜边最长.理由：因为直角三角形最大的角是90°，而90°的角所对的边是斜边，所以直角三角形中斜边最长.
【练习1】如图，在△ABC中，∠ACB ＝ 90°，CD是AB边上的高，若∠A ＝ 30°，BD ＝ 3，求BC，AB，AD的长.
【解】因为∠ACB ＝ 90°，∠A ＝ 30°，
所以∠B ＝ 60°.
又因为CD是AB边上的高，
所以∠BDC ＝ 90°，
所以∠BCD ＝ 90° － 60° ＝ 30°，所以BD ＝ BC，所以BC ＝ 2BD ＝ 2×3 ＝ 6.
因为∠ACB ＝ 90°，∠A ＝ 30°，所以BC ＝ AB，所以AB ＝ 2BC ＝ 2×6 ＝ 12，所以AD ＝ AB － BD ＝ 12 － 3 ＝ 9.
【练习2】如图所示，已知AB ＞ AC，AD⊥BC，求证：
(1)∠C ＞ ∠B；(2)BD ＞ DC.
【证明】(1)以AD所在直线为对称轴作与△ADC对称的△ADE，
所以AE ＝ AC，DE ＝ DC，∠C ＝ ∠AED，
因为∠AED ＞ ∠B，所以∠C ＞ ∠B；
(2)因为ED ＝ DC，BD ＝ BE ＋ ED，
所以BD ＞ ED，所以BD ＞ DC.
通过本节课的学习，你有什么收获？
1. 本节课主要学习了含30°角的直角三角形的性质及其证明，了解三角形中边与角之间的不等关系.
2. 初步体会了证明一条线段等于另一条线段一半的方法.
谢谢！
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