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（人教版）数学（2024）
八年级
上
15.3 等腰三角形
第十五章 轴对称
15.3.1 等腰三角形
第一课时 等腰三角形的性质
1. 了解等腰三角形的概念.
2. 探索并证明等腰三角形的性质定理.
重点：探索并证明等腰三角形的性质定理.
难点：等腰三角形“三线合一”的性质.
1. 等腰三角形的两个底角______.简写为“___________”.
2. 等腰三角形顶角的平分线垂直平分______.
3. 等腰三角形底边上的中线平分______，并且垂直______.
相等
等边对等角
底边
顶角
底边
在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来.将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角.
将等腰三角形对折，两腰重合，说明在△ABC中，AB ＝ AC.
由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
等腰三角形的性质的猜想.
性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；
性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”).
如何验证这两个性质呢？
提示：可以利用三角形的全等证明这些性质.
如图，△ABC中，AB ＝ AC，作底边BC的中线AD，则BD ＝ CD.
因为在△ABD和△ACD中，
AB ＝ AC，
BD ＝ CD，
AD ＝ AD，
所以△ABD ≌ △ACD(SSS).
所以∠B ＝ ∠C.
这样就证明了“等边对等角”.
由△ABD ≌ △ACD，还可得出∠BAD ＝ ∠CAD，∠BDA ＝ ∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.
请用类似的方法，证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边和底边上的高平分顶角并且平分底边.
这就是等腰三角形的“三线合一”.
【例1】如图，在△ABC中，AB ＝ AC，点D在AC上，且BD ＝ BC ＝ AD.求△ABC各角的度数.
【解】因为AB ＝ AC，BD ＝ BC ＝ AD，
所以∠ABC ＝ ∠C ＝ ∠BDC，
∠A ＝ ∠ABD(等边对等角).
设∠A ＝ x，则∠BDC ＝ ∠A ＋ ∠ABD ＝ 2x，
从而∠ABC ＝ ∠C ＝ ∠BDC ＝ 2x.
于是在△ABC中，
有∠A ＋ ∠ABC ＋ ∠C ＝ x ＋ 2x ＋ 2x ＝ 180°.(强调三角形内角和等于180°这个隐藏条件)
解得x ＝ 36°.
所以，在△ABC中，∠A ＝ 36°，∠ABC ＝ ∠C ＝ 72°.
【练习】如右图，△ABC中，D是BC边上一点，
AB ＝ AC ＝ CD，且AD ＝ BD，
求△ABC各角的度数.
【解】设∠B ＝ x，因为AD ＝ BD，所以∠BAD ＝ ∠B ＝ x，所以∠ADC ＝ 2x，因为AC ＝ CD，所以∠DAC ＝ ∠ADC ＝ 2x，所以∠BAC ＝ 3x，又因为AB ＝ AC，所以∠C ＝ ∠B ＝ x.在△ABC中，∠B ＋ ∠BAC ＋ ∠C ＝ 180°，所以x ＋ 3x ＋ x ＝ 180°，解得x ＝ 36°，所以∠B ＝ ∠C ＝ 36°，∠BAC ＝ 108°.
请同学们谈谈本节课的学习收获与体会，并思考以下问题：
1. 对等腰三角形性质1的证明，你有其他的想法与思路吗？
2. 对本节课的例题你有其他的解法吗？说说你的看法.
第十五章 轴对称
15.3.1 等腰三角形
第二课时 等腰三角形的判定
15.3 等腰三角形
1. 探索并掌握等腰三角形的判定定理.
2. 会应用等腰三角形的性质和判定进行推理和计算.
重点：运用“等角对等边”进行推理和计算.
难点：综合应用等腰三角形的性质与判定解决问题.
1. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边______.
2. 如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是______三角形.
相等
等腰
【情境】如图，位于海上A，B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠OAB ＝ ∠OBA.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点(不考虑水流等因素)？
如果OA ＝ OB，则△AOB是什么三角形？
等腰三角形.
那么∠OAB ＝ ∠OBA与△AOB是否是等腰三角形之间有什么关系？
【思考】如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.
反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
如图，在△ABC中，∠B ＝ ∠C.
求证AB ＝ AC.
证明：如图，作△ABC的角平分线AD，则∠1 ＝ ∠2.
在△ABD和△ACD中，
∠1 ＝ ∠2，
∠B ＝ ∠C，
AD ＝ AD，
所以△ABD ≌ △ACD(AAS).
所以AB ＝ AC.
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”).
【例2】求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD∥BC.
求证：AB ＝ AC.
【分析】要证明AB ＝ AC，可先证明∠B ＝ ∠C.
因为∠1 ＝ ∠2，
所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系.
【证明】因为AD∥BC，
所以∠1 ＝ ∠B，∠2 ＝ ∠C.
又AD平分∠CAE，
所以∠1 ＝ ∠2.
所以∠B＝∠C.
所以AB＝AC(等角对等边).
【例3】尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h(如图)，求作这个等腰三角形.
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，当底边确定时，底边所对的顶点在底边的垂直平分线上.由此，作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形.
【例3】尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h(如图)，求作这个等腰三角形.
【作法】如图.
(1) 作线段AB ＝ a.
(2) 作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.
(3) 在MN上取一点C，使DC ＝ h.
(4) 连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.
【练习】如图，△ABC中，AB ＝ AC，∠A ＝ 36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC.
(1) 求∠ECD的度数；
(2) 若CE ＝ 5，求BC的长.
【解】(1) 因为DE垂直平分AC，
所以CE ＝ AE，∠ECD ＝ ∠A ＝ 36°.
(2) 因为AB ＝ AC，∠A ＝ 36°，
所以∠B ＝ ∠ACB ＝ 72°，因为∠ECD ＝ 36°，
所以∠BEC ＝ ∠A ＋ ∠ECD ＝ 36° ＋ 36° ＝ 72°，
又因为∠B ＝ 72°，
所以∠B ＝ ∠BEC，
所以BC ＝ EC ＝ 5.
通过本节课的学习，你有什么收获？
1. 等腰三角形的判定方法.
2. 已知底边及底边上的高作等腰三角形的方法.
谢谢！
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