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（人教版）数学（2024）
八年级
上
16.3 乘法公式
第十六章 整式的乘法
16.3.1 平方差公式
1.经历探索平方差公式的过程，学会推导平方差公式.
2.能运用公式进行简单的运算.
3.在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简洁美.
重点：平方差公式的推导和应用.
难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.
1.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的__________.
2.(a+b)(a-b)=_________.
3.平方差公式特点：左边是两个二项式的______，其中一项_______，另一项____________；右边是这两项的_________ (即________的平方减去________的平方).
平方差
a -b
积
相同
互为相反数
平方差
相同项
相反项
同学们，前面我们刚刚学习了整式的乘法，知道了一般情形下的两个多项式相乘如何计算，下面请同学们应用所学的知识，探究下面的问题：
【探究】计算下列多项式的积，你能发现什么规律
(1)(x+1)(x-1)=______________；(2)(m+2)(m-2)=__________________；
(3)(2x+1)(2x-1)=____________________.
上面几个算式中每个因式都是两项，它们都是两个单项式的和与差的积.
x +x-x-1=x -1
m +2m-2m-2 =m -2
(2x) +2x-2x-1=(2x) -1
【引导】下面我们再来计算：(a+b)(a-b).
(a+b)(a-b)=a -b .
其中a，b表示任意数，也可以表示任意单项式、多项式.
利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明：
(a+b)(a-b)=a -ab+ab-b =a -b .
所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即(a+b)(a-b)=a -b .
也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
说明：这个公式叫作(乘法的)平方差公式.
平方差公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中p=a，q=-b的特殊情形.
【思考】你能根据教材图16.3-1中图形的面积说明平方差公式吗
可以发现：a -b =(a+b)(a-b)，这说明平方差公式有直观的几何意义.
【例1】运用平方差公式计算：
(1)(3x+2)(3x-2)； (2)(-x+2y)(-x-2y).
【分析】运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座.在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即：
用同样的方法可以完成(2)，如果形式上不符合公式特征，可以作一些简单的转化，使它符合平方差公式的特征，比如(2)应先作如下转化：(-x+2y)(-x-2y)=[(-x)+2y][(-x)-2y].如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑用多项式的乘法法则来求解.
【解】(1)(3x+2)(3x-2)=(3x) -2 =9x -4；
(2)(x+2y)(-x-2y)=(-x) -(2y) =x -4y .
【例2】计算：
(1)(x-1)(x+1)(x +1)； (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)； (3)102×98.
【解】(1)(x-1)(x+1)(x +1)=(x -1)(x +1)=x4-1；
(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y -2 -(y +4y-5)=y -4-y -4y+5=-4y+1；
(3)102×98=(100+2)(100-2)=100 -2 =10000-4=9996.
小结：(1)公式中的字母a，b可以表示数，也可以表示单项式、多项式，即整式.
(2)只有符合公式的结构特征时才能运用平方差公式简化运算，如转化后仍不符合公式特征，则仍要按多项式的乘法法则进行计算.
(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用平方差公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律进行适当变形后也能应用平方差公式来求解.
【练习】小红家有一块L型的菜地，现要把L型的菜地按如图所示分成两个面积相等的梯形，种上两种不同的蔬菜.这两个梯形的上底都是a米，下底都是b米，高都是(b-a)米.请你帮小红算一算，她家菜地的面积有多大 当a=10，b=30时，面积是多少
【解】 (b+a)(b-a)×2=b -a (平方米).
把a=10，b=30代入式中，得：
30 -10 =900-100=800(平方米).
通过本节课的学习，我们掌握了哪些知识 谈谈你的收获.
本节课主要学方差公式：(a+b)(a-b)=a -b .即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.这个公式叫作平方差公式.
16.3 乘法公式
第十六章 整式的乘法
16.3.2 完全平方公式
1.完全平方公式的推导及其应用，完全平方公式的几何解释.
2.利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力.
重点：完全平方公式的推导过程、结构特征、几何解释及灵活应用.
难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算.
1.两个数的和(或差)的__________，等于它们的__________，加上(或减去)它们的___________.
2.(a+b) =_______________；(a-b) =_______________.
3.添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都____________；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都__________.
平方
平方和
积的2倍
a +2ab+b
a -2ab+b
不变符号
改变符号
请同学们一起来探究下面的问题：
一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都会拿出糖果招待他们，来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖；来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖；来三个孩子，老人就给每个孩子三块 糖……
(1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖
(2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖
(3)第三天有(a+b)个孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖
解：(1)第一天老人一共给了这些孩子a 块糖；
(2)第二天老人一共给了这些孩子b 块糖；
(3)第三天老人一共给了这些孩子(a+b) 块糖.
像探究平方差公式一样，我们来探究一下(a+b) 的运算结果有什么规律.
【探究】计算下列多项式的积，你能发现什么规律
(1)(p+1) =(p+1)(p+1)=______________________；
(2)(m+2) =(_____)(_____)=___________________________；
(3)(p-1) =(p-1)(p-1)=__________________________________；
(4)(m-2) =(____)(____)=_____________________________________.
p +p+p+1=p +2p+1
m+2 m+2
m +2m+2m+2×2=m +4m+4
p +p·(-1)+(-1)·p+(-1)×(-1)=p -2p+1
m-2 m-2
m +m·(-2)+(-2)·m+(-2)×(-2)=m -4m+4
可以发现：(1)结果中的2p=2·p·1；(2)结果中的4m=2·m·2；(3)、(4)与(1)、(2)进行比较，只有一次项有符号的差别.
总结：上面的几个运算都是形如(a±b) 的多项式相乘，因为(a+b) =(a+b)(a+b)=a +ab+ab+b =a +2ab+b ，(a-b) =(a-b)(a-b)=a -ab-ab+ b =a -2ab+b ，所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即(a+b) =a +2ab+b ，(a-b) =a -2ab+b .
也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
说明：这两个公式叫作(乘法的)完全平方公式.
(a+b) =a +2ab+b 是多项式乘法(a+b)·(p+q)中p=a，q=b的特殊情形.
【思考1】你能根据教材图16.3-2和教材图16.3-3中图形的面积说明完全平方公式吗
可以发现：(a+b) =a +2ab+b ，(a-b) =a -2ab+b ，这说明完全平方公式有直观的几何意义.
教材图16.3-2 教材图16.3-3
【例3】运用完全平方公式计算：
对于第(2)题，你还有其他的解法吗
【解】(1)102 =(100+2) =100 +2×100×2+2 =10404；
(2)99 =(100-1) =100 -2×100×1+1 =9801.
【例4】运用完全平方公式计算：
(1)102 ；(2)99 .
【思考2】(a+b) 与(-a-b) 相等吗 (a-b) 与(b-a) 相等吗 (a-b) 与a -b 相等吗 为什么
因为互为相反数的两个数的偶次方相等，所以(a+b) =(-a-b) ，(a-b) =(b-a) .但(a-b) =a -2ab+b ，a -b =(a+b)(a-b)，所以(a-b) ≠a -b .有些整式相乘需要先作适当的变形，然后再用完全平方公式求解.
【回顾】运用乘法公式计算，有时要在式子中添括号.在前面，我们学过去括号，由去括号法则可以得到：
a+(b+c)=a+b+c；a-(b+c)=a-b-c.
反过来，就得到：
a+b+c=a+(b+c)；a-b-c=a-(b+c).
也就是说，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
【解】(1)(x+2y-3)(x-2y+3)=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]=x -(2y-3) =x -(4y -12y+9)=x -4y +12y-9；
(2)(a+b+c) =[(a+b)+c] =(a+b) +2(a+b)c+c =a +2ab+b +2ac+2bc+c =a +b +c +2ab+2ac+2bc.
【例5】运用乘法公式计算：
(1)(x+2y-3)(x-2y+3)；(2)(a+b+c) .
【练习】运用乘法公式计算：
(1)(x+3) -x ；(2)(x+5) -(x-2)(x-3).
【解】(1)原式=x +6x+9-x =6x+9；
(2)原式=x +10x+25-(x -2x-3x+6)=x +10x+25-x +2x+3x-6=15x+19.
通过本节课的学习，你们有什么收获
本节课主要学习了：
1.完全平方公式
(1)法则：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
(2)公式：(a+b) =a +2ab+b ，(a-b) =a -2ab+b .
2.添括号法则
(1)法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
(2)公式：a+b+c=a+(b+c)，a-b-c=a-(b+c).
谢谢！
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