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（人教版）数学（2024）
八年级
上
17.1 用提公因式法分解因式
第十七章 因式分解
1.了解因式分解的概念及因式分解与整式乘法的关系.
2.会用提公因式法分解因式.
重点：学会用提公因式法分解因式.
难点：确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式.
1.把一个多项式化成_________________的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式_____________.多项式的因式分解与整式乘法是_____________的变形，它们互为_____________.
2.多项式pa+pb+pc可以分解成两个因式____和_________的乘积，像这种分解因式的方法叫作______________.
3.提公因式法的基本步骤：(1)确定_______；(2)提出________；(3)确定____________(多项式除以公因式的_____).
几个整式的乘积
分解因式
方向相反
逆运算
p
a+b+c
提公因式法
公因式
公因式
另一个因式
商
在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数计算得出的.某单人跳水选手完成了一个难度系数为p的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉2个最高分和2个最低分后，会剩下3个分数a，b，c.
你们能计算出选手的得分吗
pa+pb+pc或p(a+b+c).
谁能说一说这两个式子表示的意义
pa+pb+pc=p(a+b+c)，多项式pa+pb+pc可以写成两个整式的乘积的形式.这就是我们今天要学习的因式分解.
【探究】请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
(1)x2+x=________；(2)x2-1=____________；(3)x2+2x+1=________.
上面我们把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即：
【引导】观察上面问题中的第(1)题和多项式pa+pb+pc，你能发现什么特点
第(1)题中各项都有一个公共的因式x，pa+pb+pc中各项都有一个公共的因式p.
我们把这个公共的因式叫作这个多项式各项的公因式.
由p(a+b+c)=pa+pb+pc可知，pa+pb+pc可以分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式p是各项的公因式，另一个因式a+b+c是pa+pb+pc除以p所得的商.
总结：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.利用提公因式法，可以把一些多项式分解因式.
【分析】（1）中每一项都有m；（2）中每一项都有x，将x提出后，括号内的第三项是什么？
【解】(1)mx2+my2=m(x2+y2)；
(2)3x2-4xy2+x=x·3x-x·4y2+x·1=x(3x-4y2+1).
【例1】分解因式：
(1)mx2+my2；(2)3x2-4xy2+x.
【分析】先找出8a b 与12ab c的公因式，再提出公因式.我们看这两项的系数8与12，它们的最大公因数是4；两项的字母部分a b 与ab c都含有字母a和b，其中a的最低次数是1，b的最低次数是2，因此我们选定4ab 为要提出的公因式.提出公因式4ab 后，另一个因式2a +3bc就不再有公因式了.
【解】8a b +12ab c=4ab ·2a +4ab ·3bc=4ab (2a +3bc).
【例2】把8a b +12ab c分解因式.
【分析】在（1）中，b+c是2a(b+c)和-3(b+c)的公因式，可以用提公因式法分解因式；在（2）中，因为(b-a) =(a-b) ，所以各项含有公因式4(a-b)2，也可以用提公因式法分解因式。
【解】(1)2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3)；
(2)4(a-b) +8(b-a) =4(a-b ）·(a-b)+4(a-b) ·2=4（a-b ）（a-b+2）.
【例3】分解因式：
(1)2a(b+c)-3(b+c)；(2)4(a-b) +8(b-a) .
思考：如何检查因式分解是否正确
由于因式分解与整式乘法互为逆运算，所以可以将结果相乘后展开来检验.
【解】(1)原式=x ·(-z)+x ·xy=x (-z+xy)；
(2)原式=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y).
【练习】用提公因式法将下列各式分解因式：
(1)-x z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a).
通过本节课的学习，你有什么收获
1.了解了因式分解的定义，知道了因式分解与整式的乘法是互逆运算.
2.掌握了用提公因式法分解因式.
谢谢！
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