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（人教版）数学（2024）
八年级
上
16.2 整式的乘法
第十六章 整式的乘法
第一课时 单项式与单项式、多项式相乘
探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用法则进行运算.
重点：单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则.
难点：单项式与多项式相乘去括号法则的应用.
1.单项式与单项式相乘，把它们的_______、__________分别相乘作为积的因式，对于只在一个_______里含有的字母，则连同它的______作为_______的一个因式.
2.单项式与单项式相乘的步骤：(1)系数_____;(2)相同字母_____;(3)单独字母_______________.
3.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的__________,再把所得的积__________.
系数
同底数幂
单项式
指数
积
相乘
相乘
连同指数照抄
每一项
相加
前面我们已经学习了幂的运算性质.
(1)am·an=_____ (m,n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相_____.
(2)(am)n=_____(m,n都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相____.
(3)(ab)n=_____(n是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别_____,再把所得的幂相____.
加
am+n
amn
乘
anbn
乘方
乘
(一)单项式与单项式相乘
【问题1】光的速度约是3×10 km/s,太阳光照射到地球上需要的时间约是5×10 s,你知道地球与太阳的距离约是多少吗
根据乘法的意义，地球与太阳的距离约是(3×10 )×(5×10 ) km.
【思考】怎样计算(3×10 )×(5×10 ) 计算过程中用到哪些运算律及幂的运算性质
(3×10 )×(5×10 )=(3×5)×(10 ×10 )=15×10 .
结果更加规范的书写格式是什么
应用科学记数法表示：地球与太阳的距离约是1.5×108km.
【思考】如果将上式中的数字改为字母，比如ac ·bc ,怎样计算这个式子
跟刚才的解决过程类似，ac ·bc 是单项式ac 与单项式bc 相乘，我们可以利用乘法交换律、结合律及同底数幂的运算性质来计算：
ac ·bc =(a·b)·(c ·c )=abc5+ =abc .
总结：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
【例1】计算：
【辨一辨】下面的计算是否正确 如果不正确，应当怎样改正
解：(1)不正确.2m ·4m =(2×4)m + =8m ;
(2)正确;
(3)不正确. 3x ·4x =（3×4）x + =12x ;
(4)不正确. 4n ·3n =（4×3）n + =12n .
(二)单项式与多项式相乘
下面我们来看本章引言中提出的问题.
为了求扩大后的绿地面积，可以先求扩大后的绿地的边长，再求面积，即p(a+b+c)①.也可以先分别求原来绿地和新增绿地的面积，再求它们的和，即pa+pb+pc②.由于①②表示同一个数量，所以p(a+b+c)=pa+pb+pc.
试一试：你能根据分配律得到这个等式吗
上面的等式提供了单项式与多项式相乘的方法.这个结果也可以由教材图16.2-1看出.
教材图16.2-1
总结：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
【例2】计算：
【练习】计算：
通过本节课的学习，你们有什么收获
本节课主要学习了：
1.单项式与单项式相乘的运算法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2.单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
16.2 整式的乘法
第十六章 整式的乘法
第二课时 多项式与多项式相乘
探索并了解多项式与多项式相乘的法则，并运用法则进行运算.
重点：多项式与多项式相乘.
难点：多项式与多项式相乘.
1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的________乘另一个多项式的________，再把所得的积_________.
2.(a+b)(m+n)=_______________.
3.(x+p)(x+q)=x +(_______)x+(______).
每一项
每一项
相加
am+an+bm+bn
p+q
pq
上一节课，我们一起探究了单项式与单项式、单项式与多项式相乘的方法，请同学们回忆学过的乘法法则.
【问题2】如教材图16.2-2为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m、宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积 不同的表示方法之间有什么关系
方法一：这块绿地现在长(a+b) m，宽(p+q) m，因此面积为[(a+b)·(p+q)] m .
方法二：这块绿地现在由四个小长方形组成，它们的面积分别是ap m 、aq m 、bp m 、bq m ，故这块绿地的面积为(ap+aq+bp+bq) m .
因为(a+b)(p+q)和(ap+aq+bp+bq)表示同一块绿地面积，所以有(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq.
等式的左边(a+b)(p+q)是多项式(a+b)与多项式(p+q)相乘，我们从刚才解决问题的过程中发现了两个多项式相乘的方法.
如果我们把(p+q)看成一个整体，那么多项式(a+b)与多项式(p+q)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘的问题，这是一个我们已经解决的问题，请同学们试着做一做.
解：(a+b)(p+q)=a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq.
请同学们试着总结多项式与多项式相乘的法则.
总体上看，(a+b)(p+q)的结果可以看作由a+b的每一项乘p+q的每一项，再把所得的积相加而得到的，即：
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
【例3】计算：
(1)(a+3)(a-2)； (2)(3x+1)(x+2)； (3)(x-8y)(x-y)； (4)(a+b)(a -ab+b ).
【解】(1)(a+3)(a-2)=a·a+a·(-2)+3·a+3×(-2)=a -2a+3a-6=a +a-6；
(2)(3x+1)(x+2)=(3x)·x+(3x)×2+1·x+1·2=3x +6x+x+2=3x +7x+2；
(3)(x-8y)(x-y)=x -xy-8xy+8y =x -9xy+8y ；
(4)(a+b)(a -ab+b )=a -a b+ab +a b-ab +b =a +b .
【练习】计算：
(1)(m-n)(m +mn+n )；(2)(a-2b)(a +2ab+4b ).
【解】(1)原式=m +m n+mn -m n-mn -n =m -n ；
(2)原式=a +2a b+4ab -2a b-4ab -8b =a -8b .
通过本节课的学习，你们有什么收获
本节课主要学习了多项式乘多项式的法则及其应用.
16.2 整式的乘法
第十六章 整式的乘法
第三课时 整式的除法
同底数幂的除法的运算法则及其应用.
重点：1.运用同底数幂的除法运算法则进行计算.
2.单项式除以单项式、多项式与单项式相除的运算法则及其应用.
难点：1.根据乘法和除法互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则.2.探索单项式与单项式相除、多项式与单项式相除的运算法则的过程.
1.同底数幂相除，底数______，指数______.
2.am÷an=_______ (a≠0，m，n都是正整数，并且m>n).
3.任何__________的数的0次幂都等于1，即a =1，其中_________.
4.单项式相除，把_______与___________分别相除作为商的因式，对于只在________里含有的字母，则________________作为商的一个因式.
5.多项式除以单项式，先把这个多项式的________除以这个单项式，再把所得的商_______.
6.(ma+mb+mc)÷m=__________.
不变
相减
am-n
不等于0
a≠0
系数
a+b+c
同底数幂
被除式
连同它的指数
每一项
相加
请同学们一起回顾同底数幂的乘法运算法则：
am·an=am+n (m，n都是正整数).
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
【情境】一种数码相片的文件大小是28 K，一个存储量为2 K的移动存储器能存储多少张这样的数码相片
它能存储这种数码相片的数量为2 ÷28.
2 ，28是同底数幂，同底数幂相除应该如何计算呢
【探究】请同学们做如下运算：
1.(1)2 ×28； (2)a ×a .
解：1.(1)28×28=2 ；
(2)a ×a =a .
2.填空：
(1)( )·2 =2 ； (2)( )·a =a .
28
a
【引导】如何计算am÷an (a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)呢
分析：根据除法是乘法的逆运算，计算被除数除以除数所得的商，就是求一个数，使它与除数的积等于被除数.类似地，计算am÷an就是求一个式子，使它与an的积等于am.
因为am-n·an=am ，所以am÷an= am-n.
总结：一般地， am÷an= am-n (a≠0，m，n都是正整数，m>n)，
即同底数幂相除，底数不变，指数相减.
同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am，根据除法的意义可知所得的商为1.
另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有 am÷am= am-m = a .
于是规定a =1(a≠0).
这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1.
【例4】计算：
(1)x ÷x ； (2)(ab) ÷(ab) .
【解】(1)x ÷x =x8- =x ；
(2)(ab) -(ab) =(ab)5- =(ab) =a b .
总结：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
合作探究：对于多项式除以单项式，例如，计算(am+bm)÷m，就是要求一个多项式，使它与m的积等于am+bm.
因为(a+b)m=am+bm，所以(am+bm)÷m=a+b.
又am÷m+bm÷m=a+b，所以(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m.
总结：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
【例5】计算：
(1)(28x4y )÷(7x y)； (2)(-5a5b c)÷(15a4b)；
(3)(12a -6a +3a)÷(3a).
【解】(1)(28x4y )÷(7x y)=(28÷7)x4- y - =4xy；
(2)(-5a5b c)÷(15a4b)=[(-5)÷15]a5-4b - c=- ab c，
(3)(12a -6a +3a)÷(3a)=(12a )÷(3a)-(6a )÷(3a)+(3a)÷(3a)=4a -2a+1.
【练习1】下面的计算对不对 如果不对，应当怎样改正
(1)x6÷x =x； (2)6 ÷6 =6；
(3)a ÷a=a ； (4)(-c) ÷(-c) =-c .
【解】(1)不对，改正：x6÷x =x6- =x ；
(2)不对，改正：64÷6 =1；
(3)不对，改正：a ÷a=a - =a；
(4)不对，改正：(-c) ÷(-c) =(-c)4- =(-c) =c .
【练习2】计算：
(1)(2x y) ·(-7xy )÷14x4y ；(2)5(2a+b) ÷(2a+b) .
【解】(1)原式=8x6y ·(-7xy )÷14x4y =[8×(-7)]x6+ y + ÷14x4y
=[(-56)÷14]x7-4y5- =4x y ；
(2)原式=(5÷1)(2a+b)4- =5(2a+b) =5(4a +4ab+b )=20a +20ab+5b .
请同学们谈谈本节课的收获.
本节课主要学习了同底数幂的除法法则，知道了同底数幂的除法与同底数幂的乘法之间的互逆关系，还知道了单项式除以单项式及多项式除以单项式的法则.
谢谢！
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