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（人教版）数学（2024）
八年级
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阅读与思考
x +(p+q)x+pq型式子的因式分解
第十七章 因式分解
1.经历探索x +(p+q)x+pq型式子因式分解的过程，进一步加深对因式分解的概念和意义的理解.
2.掌握x +(p+q)x+pq型式子因式分解的方法.
重点：掌握x +(p+q)x+pq型式子分解因式的方法.
难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法.
分解因式：
(1)x +5x+4； (2)x -7x+6； (3)x -4x-21； (4)x +2x-15.
(1)(x+1)(x+4)
(2)(x-1)(x-6)
(3)(x-7)(x+3)
(4)(x-3)(x+5)
我们知道，因式分解是整式乘法的逆运算，根据逆向用乘法公式，我们找到了因式分解的三种方法：提取公因式法、平方差公式法和完全平方公式法.现在，大家想一想，如果没有公因式且不符合两种公式，还能因式分解吗 今天我们就一起来学习新的因式分解的方法.
观察下面多项式的二次项系数、常数项、一次项系数的特点并填空.
(1)x +3x+2中二次项系数是______；常数项2=_______；一次项系数3=________.
提示：①填整数；②让构成常数项和一次项系数的两个整数一样.
1
1×2
1＋2
请类比上面的做法，完成下面的题目.
(2)x -3x+2中二次项系数是_____；常数项2=____×____；一次项系数-3=______ ＋ ______.
1
-1
-2
-1
-2
强调：分解常数项的次数可控，因此优先分解常数项.
上面两个多项式的常数项都是正数，如果常数项是负数该怎么做呢
(3)x +2x-3；x -2x-3.
有理数乘法的符号法则“同号得正，异号得负”.
x +2x-3的二次项系数是1；常数项-3=(-1)×3；一次项系数2=(-1)+3；
x -2x-3的二次项系数是1；常数项-3=1×(-3)；一次项系数-2=1+(-3).
我们把这种类型的多项式称为x +(p+q)x+pq型式子，它是数学学习中常见的一类多项式.通过上面的探究过程，同学们能总结出x +(p+q)x+pq型式子的特点吗
x +(p+q)x+pq型式子的特点：(1)二次项系数是1；(2)常数项可以分解成两个整数之积；(3)一次项系数是常数项分解的两个整数之和.
这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：(x+p)(x+q)=x +px+qx+pq=x +(p+q)x+pq.
因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关系可得x +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
这种因式分解的方法被称为“十字交叉相乘法”.先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
举例：x +3x+2
这样，我们也可以得到x +3x+2=(x+1)(x+2).
做一做：利用上面的方法，你能把下列多项式分解因式吗
(1)x +7x+10； (2)x -2x-8； (3)y -7y+12； (4)x +7x-18.
解：(1)x +7x+10=(x+2)(x+5)；
(2)x -2x-8=(x+2)(x-4)；
(3)y -7y+12=(x-3)(x-4)；
(4)x +7x-18=(x-2)(x+9).
总结：
(1)常数项是正数时，将它分解成两个同号因数，它们和与一次项系数符号相同；
(2)常数项是负数时，将它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数符号相同.
【练习1】分解因式：
(1)x +5x+6；(2)x -4x-45.
【练习2】分解因式：2mn -12mn-14m.
【解析】(1)中的常数项是正数；(2)中的常数项是负数.
【解】(1)x +5x+6=(x+2)(x+3)；(2)x -4x-45=(x-9)(x+5).
【解析】有公因式的要提公因式.
【解】2mn -12mn-14m=2m(n -6n-7)=2m(n+1)(n-7).
1.x +(p+q)x+pq型式子的特点：
(1)二次项系数是1；
(2)常数项可以分解成两个整数之积；
(3)一次项系数是常数项分解的两个整数之和.
2.x +(p+q)x+pq型式子因式分解的模型：x +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
谢谢！
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