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（人教版）数学（2024）
八年级
上
数学活动
第十七章 因式分解
1.进一步理解因式分解的基本概念和方法.
2.通过因式分解，发现并探究数学公式或表达式中的规律.
3.通过探究数学规律，培养学生的观察、分析和推理能力，激发学生对数学的兴趣和探索精神.
重点：因式分解的方法及步骤，利用因式分解探究数学规律.
难点：通过观察因式分解的结果，发现并总结数学规律.
1.完全平方公式和平方差公式.
2.十字交叉相乘法：x +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x-y，a-b，2，x -y ，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将2a(x -y )-2b(x -y )进行因式分解，结果呈现的密码信息可能是什么呢
听起来很高深的密码问题，实际上可以通过我们学习的因式分解知识进行设计、破译.今天我们就利用因式分解探究一些数学规律.
我爱中华.
【活动1】个位数字是5的两位数平方的规律
观察下面的三个式子：
15×15=225=1×2×100+25，
25×25=625=2×3×100+25，
35×35=1225=3×4×100+25.
每个式子第一个等号左边和第二个等号右边的式子各有何特点
第一个等号左边是个位数字是5的两位数平方，第二个等号右边是两位数的十位数字×(两位数的十位数字+1)×100+25.
观察式子中“变”与“不变”的数，重点关注“变”的数的变化规律.
议一议：根据上面的探索，你能发现个位数字是5的两位数平方的一般规律吗 请用所学知识证明你的结论.
45×45=2025=4×5×100+25.
55×55=3025=5×6×100+25.
做一做：根据发现，你能写出第四个和第五个式子吗
第n个等式：(10n+5) =n(n+1)×100+25.
证明：等式左边=(10n+5) =100n +100n+25，
等式右边=n(n+1)×100+25=100n +100n+25，
∴等式左边=等式右边，
∴结论成立.
拓展：观察它们的乘积，你能发现什么规律
提示：(1)观察乘积的个位和十位上的数；
(2)乘数的十位与乘积的百位(或百位、千位)有什么关系
【活动2】利用因式分解生成密码
同学们还记得本节课的情境引入中的小强同学探究密码的题目吗 其实人类使用密码的历史悠久，其中有一种方法是利用因式分解生成密码.先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码.
例：多项式x y-4y，将其分解因式为y(x+2)(x-2)，若取x=15，y=12，则有y=12，x+2=17，x-2=13，其中12，17，13分别为因式码.将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317.
做一做：你能根据自己的喜好取另外一些适当的数字，得出新的密码吗
如取x=12，y=11，则有y=11，x+2=14，x-2=10，其中11，14，10分别为因式码.将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码101114.
(1)已知多项式16p4-q4，当p=10，q=5时，用上述方法生成密码是什么 你能把多项式16p4-q4分解因式吗
16p4-q4=(4p +q )(4p -q )=(4p +q )(2p+q)(2p-q).
你现在能确定用上述方法生成密码是什么了吗
当p=10，q=5时，则4p +q =425，2p+q=25，2p-q=15，其中425，25，15分别为因式码.将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码1525425.
(2)已知多项式16p4-q4，若密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗
提示：将16p4-q4分解因式为(4p +q )(2p+q)(2p-q)，按从小到大的顺序排列应该是怎样的
(3)请写一个多项式，并用上述方法生成密码.
已知多项式x -4xy ，取x=14，y=2时，x -4xy =x(x -4y )=x(x+2y)(x-2y)，取x=14，y=2时，则x=14，x+2y=18，x-2y=10，用上述方法生成的密码是101418.
【练习1】对于多项式x4-y4，因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x +y )，取x=9，y=9时，则各个因式的值是：x-y=0，x+y=18，x +y =162，按从小到大的顺序排列得到的密码为018162.对于多项式x -9xy ，取x=10，y=1时，用上述方法生成的密码是( ).
A.71310 B.13107 C.13710 D.71013
D
【解析】x -9xy =x(x -9y )=x(x+3y)(x-3y)，当x=10，y=1时，x=10，x+3y=10+3=13，x-3y=10-3=7，∴上述方法生成的密码是71013，
故选：D.
【练习2】对任意整数n，(2n-1) -25都能( ).
A.被3整除 B.被4整除 C.被5整除 D.被6整除
B
【解析】∵(2n-1) -25=(2n-1) -5 =(2n-1-5)(2n-1+5)=(2n-6)(2n+4)=4(n-3) (n+2)，∴对任意整数n，(2n-1) -25都能被4整除，故选：B.
1.个位数字是5的两位数平方的规律：(10n+5) =n(n+1)×100+25.
2.会利用因式分解生成密码，感受到数学与实际生活的紧密联系.
谢谢！
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