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（人教版）数学（2024）
八年级
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复习与小结
第十五章 轴对称
1. 了解轴对称的相关概念与性质，会按要求进行有关轴对称的作图.
2. 理解与等腰(边)三角形有关的概念、性质与判定，会进行相关问题的计算与证明.
3. 经历归纳知识与探索问题的过程，体验轴对称图形的美.
4. 能应用本章所学的知识解决简单的实际问题，经历观察、操作、想象、论证、交流的过程，发展分析问题和解决问题的能力.
重点：掌握并会应用轴对称图形、线段垂直平分线、等腰三角形、等边三角形的基本概念及相关性质；运用所学知识解决具体问题.
难点：重要规律、方法的总结；对解题思路的分析与探索.
1.说说轴对称的概念和性质，对称点的概念.
2.说说等腰三角形(等边三角形)的性质与判定.
3.说说线段垂直平分线的性质.
1. 在现实世界中存在着大量的轴对称现象，你能举出一些例子吗？成轴对称的图形有什么特点？
飞机模型、剪纸作品等；特点是对称轴两侧可以完全重合.
强调：轴对称图形是一个图形，成轴对称的图形是两个图形.
2. 在我们学过的几何图形中，有哪些是轴对称图形？它们的对称轴与这个图形有怎样的位置关系？
角、等腰三角形、长方形、正方形.
3. 对于成轴对称的两个图形，对称点所连线段与对称轴有什么关系？如何作出与一个图形成轴对称的图形？
画法：确定对称轴→标关键点→作对称点→连接成图.
4. 在平面直角坐标系中，如果两个图形关于x轴或y轴对称，那么对称点的坐标有什么关系？请举例说明.
点(x，y)关于x轴的对称点的坐标为(x，－y)；
点(x，y)关于y轴的对称点的坐标为(－x，y).
5. 利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？
等腰三角形的两腰相等；两底角相等.
等腰三角形底边上的高线、中线和顶角的平分线重合.
等边三角形的三条边都相等；三个内角都相等，且都等于60°；
任意一条边上的高线、中线和对应的角平分线都重合。
6.轴对称是一种图形变化，它在现实生活中有广泛的应用。下面是本章知识结构图。
【例1】如图，有5个小正方形，现从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，使剩余的四个小正方形组成的图形成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是______.
2
【例2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(2， －1)，B(1， －2)，C(3， －3).
(1) 请画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2) 在(1)的条件下，画出与△A1B1C1关于直线l对称的△A2B2C2.
A1
B1
C1
C1(－3，－3)
A2
B2
C2
【例3】如图，∠B ＝ 90°，AD ＝ AB ＝ BC，ED⊥AC，求证BE ＝ DC.
【证明】连接AE，因为ED⊥AC，所以∠ADE ＝ 90°，
又因为∠B ＝ 90°，所以在Rt△ABE和Rt△ADE中，
AB ＝ AD，AE ＝ AE，所以Rt△ABE ≌ Rt△ADE(HL)，
所以BE ＝ DE.因为AB ＝ BC，所以∠BAC ＝ ∠C，
又因为∠B ＝ 90°，所以∠BAC ＋ ∠C ＝ 90°，
所以∠C ＝ ∠BAC ＝ 45°，所以DE ＝ DC，又因为BE ＝ DE，所以BE ＝ DC.
【例4】如图，在△ABC中，∠B ＝ 60°，AB ＝ 4，BC ＝ 2.求证∠ACB ＝ 90°.
【解析】由题中条件可以推出，
从AB是BC的两倍关系出发，
用“截半”的方法可得三条相等的线段，
取AB的中点D得BC ＝ BD ＝ DA，
综合条件∠B ＝ 60°与BC ＝ BD推得△BCD是等边三角形.
1. 如图，△ABC是等边三角形，∠1 ＝ ∠2 ＝ ∠3，求∠BEC的度数.
【解】因为△ABC是等边三角形，
所以∠BAC ＝ ∠BCA ＝ ∠ABC ＝ 60°，
AB ＝ AC ＝ BC.
因为∠1 ＝ ∠2 ＝ ∠3，所以∠CAF ＝ ∠ABD ＝ ∠BCE，
所以∠2 ＋ ∠BCE ＝ ∠3 ＋ ∠BCE ＝ ∠ACB ＝ 60°，
所以∠BEC ＝ 120°.
2. 如图，在△ABC中，AB ＝ AC，E在CA的延长线上，AE ＝ AF，AD是高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由.
【解】EF⊥BC，理由为：
证明：因为AB ＝ AC，AD⊥BC，
所以∠BAD ＝ ∠CAD，所以∠BAC ＝ 2∠DAC.
所以AE ＝ AF，所以∠E ＝ ∠EFA，
因为∠BAC ＝ ∠E ＋ ∠EFA ＝ 2∠EFA，所以∠EFA ＝ ∠BAD，所以EF∥AD.因为AD⊥BC，所以EF⊥BC，则EF与BC的位置关系是垂直.
3. 如图，在△ABC中，点E在AC上，点N在BC上，在AB上找一点F，使△ENF的周长最小，试说明理由.
提示：要使△ENF的周长最小就是要使什么最小？
通过本节课的学习，你对运用分析法和综合法进行解题探索有哪些体会？你能轻松地从已知条件出发，发现和推导出新的结论吗？这种发现与探索对我们学习数学有哪些帮助？与你的同伴交流、讨论，并将你的收获与体会与大家分享一下.
谢谢！
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