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（人教版）数学（2024）
八年级
上
数学活动
第十六章 整式的乘法
1.通过对月历表的探索，进一步深入了解年、月、日的相关知识，了解月历表中的数的排列规律.
2.通过探究能够了解在两个数的和一定的情况下当这两个数相等时它们的乘积最大的结论，并会运用这一结论解决简单的数学问题.
3.通过观察、自主探索、合作交流，培养学生自主学习和合作分析、推理的能力，培养学生的问题意识和创新意识，激发对数学学习的兴趣和爱好.
重点：了解月历上的数字之间的规律及和为定值的两个数积的变化规律。
难点：运用月历上的数字之间的规律及和为定值的两个数积的变化规律的知识解决相关的问题.
1.了解月历中的数字之间的排列规律.
2.整式的乘法运算法则及运算方法.
如右图所示的月历中，前后两个数之间有什么关系 上下两个数之间又有什么关系
前后两个数之间相差1，上下两个数之间相差7.
除了上面简单的数字之间的规律，你还知道其他的规律吗
这节课我们就一起来探究它们之间的奥秘.
活动1 月历中的奥秘
如图1是某月的月历.
(1)选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，能得出什么结论
第一组：7×13-6×14=91-84=7；
第二组：17×23-16×24=391-384=7.
图1
做一做：请按照自己的喜好再选择几个类似的部分试一试，看一看是否符合这个规律.
猜一猜：每个月中的月历都有这样的规律吗
想一想：两组的结果都是7，这是不是巧合呢
(2)换一个月的月历试一试，是否有同样的规律
(3)请利用整式的运算对以上的规律加以证明.
提示：可以设其中一个数，然后用这个未知数表示其余三个数.
设方框中左上角的数为n，则：
(n+1)(n+7)-n(n+8)=n +8n+7-n -8n=7.
你还能发现其他规律吗
在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图①是2024年9月份的月历，用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数(如图①中的阴影部分)；如图②，将月历中“Z”字型框B、D位置上的数相乘，A、E位置上的数相乘，再把两次的积相减，你能得到什么规律吗
计算后不难发现，结果都等于15.
活动2 和为定值的两数积的规律
(1) 计算下列两个数的积
①30×30，35×25，43×17，52×8；
30×30=900，35×25=875，43×17=731，52×8=416；
观察：(1)你能发现每组中两个数的和有什么关系吗
每组中两个数的和都为60，是定值.
(2)你能发现从左往右的计算结果有什么变化规律吗
从左往右的计算结果逐渐变小.
(3)你能发现从左往右的每组中两个数的差有什么变化规律吗
从左往右的每组中两个数的差逐渐变大.
再通过计算下列两个数的积，和上面的规律一样吗
②50×50，53×47，74×26，91×9.
(2)你能用本章所学知识解释你发现的规律吗
两个数的和一定，这两个数的差越小，乘积越大.
(3)利用你发现的规律解决下面的问题：
用10 m长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是多少 此时长方形的两条邻边长有什么关系
当长方形的长和宽相等时，即图形是正方形时面积最大.所以长方形的最大面积是6.25 m ，此时长方形的长和宽相等.
讨论：你能得出更一般的结论吗
总结：当两个数的和一定时，这两个数的差越小，乘积越大.
【练习1】如图是某月的月历，在此月历上用一个正方形圈出9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).
(1)图中圈出的9个数的平均数是多少 直接写结果.
(2)若用正方形圈出此月历中的任意9个数中，位于中心位置的数是m，那么这9个数的和是多少 这9个数的平均数是多少
(3)若用正方形圈出此月历中的9个数，这9个数的和有可能是225吗 试说明理由.
【解】(1)6+7+8+13+14+15+20+21+22=126，126÷9=14.∴圈出的9个数的平均数是14.
(2)中间的数为m，则剩下的8个数分别为m-1，m+1，m-7，m-8，m-6，m+7，m+6，m+8，∴这9个数之和：m+m-1+m+1+m-7+m-8+m-6+m+7+ m+6+m+8=9m ，∵9m÷9=m，∴这9个数的平均数为m.
(3)不可能，理由如下：若这9个数的和为225，则9m=225，解得m=25，由图可知，25是日历中第4行的最后一个数，∴不可能.
【练习2】用一根长为10 m的铁丝围成一个长方形.
(1)使该长方形的长比宽多1.4 m，此时长方形的面积是多少
(2)使该长方形的长和宽相等，此时正方形的面积是多少
(3)比较(1)与(2)的大小，请说出用这根铁丝围成什么样的图形面积最大
【解】(1)设长方形的宽为x m，由题意得：(x+x+1.4)×2=10，解得：x=1.8，面积：1.8×(1.8+1.4)=5.76(m )，
答：此时长方形的面积是5.76 m
【解】(2)设正方形的边长为x m，由题意得：4x=10，解得：x=2.5，面积：2.5×2.5=6.25(m )，答：此时正方形的面积是6.25 m .
(3)6.25>5.76，用这根铁丝围成正方形的面积最大.
1.让学生畅所欲言说出本节课所发现的月历中的奥秘.
2.和为定值的两数积的规律：当两个数的和一定时，这两个数的差越小，乘积越大.
谢谢！
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