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（人教版）数学（2024）
八年级
上
18.5 分式方程
第十八章 分式
第一课时 分式方程及其解法
1.理解分式方程的意义，能区分整式方程与分式方程.
2.会解分式方程，并能检验分式方程的根.
3.通过把解分式方程转化为解整式方程的过程，渗透化归的数学思想.
重点：分式方程的解法.
难点：理解分式方程可能产生增根的原因.
x=2
1
③④
我们知道，含有未知数的等式叫方程，能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解，我们已经学了一元一次方程的概念及其解法.
同学们，你们还记得在学习本章第一节课时，老师出示的引例吗
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少
(1)填空：
设江水的流速为v km/h，则轮船顺流航行速度为____________km/h，逆流航行速度为____________km/h，顺流航行90 km所用时间为
____________h，逆流航行60 km所用时间为________h.
30+v
30-v
(2)你能根据“两次航行所用时间相等”这一等量关系，列出方程吗
(3)观察所列的方程与我们以前所学的一元一次方程有什么不同
方程①的分母中含有未知数v，像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程.我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中.
①
【思考1】如何解分式方程①呢
我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，但是分式方程的分母中含未知数.因此解分式方程是一个新的问题，能否将分式方程转化为整式方程呢
“去分母”，实现将分式方程转化为整式方程.
分式方程①中各分母的最简公分母是(30+v)(30-v).
此处可以用到什么性质
根据等式的性质，两边同乘最简分母.
方程①两边乘(30+v)(30-v)，得90(30-v)=60(30+v)，解得v=6.
检验：将v=6代入①中，左边= ，右边= ，这时左、右两边的值相等，因此v=6是分式方程①的解.
由此可知，江水的流速为6 km/h.
【归纳】解分式方程①的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
【探究】运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程
，②你发现了什么问题
为了去分母，在方程两边乘最简公分母(x-5)(x+5)，得整式方程x+5=10，解得x=5.
将x=5代入②，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此，x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是分式方程 的解.实际上，这个分式方程无解.
【思考2】比较解分式方程①和②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母).方程①两边乘(30+v)(30-v)，得到整式方程，它的解为v=6.当v=6时，最简公分母(30+v)(30-v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同.
方程②两边乘(x-5)(x+5)，得到整式方程，它的解x=5.当x=5时，最简公分母(x-5)(x+5)=0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②分母为0，因此这样的解不是②的解.
说明：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
【解】方程两边乘x(x-3)，得2x=3x-9.解得x=9.
检验：当x=9时，x(x-3)≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
【例1】解方程 .
【解】方程两边乘(x-1)(x+2)，得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.解得x=1.
检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
【例2】解方程 .
从以上例题中，你能归纳出解分式方程的一般步骤吗 试一试.
【练习1】解方程 .
【解】方程两边乘x(x-1)，得a(x-1)=x.解得 .
检验：当 时，x(x-1)≠0，即 是原分式方程的解.
【解析】此方程是含有字母系数的分式方程，按照解含有数字系数的分式方程的步骤进行。
【解】解此分式方程，得x=6-a.因为当x=3时，这个分式方程会产生增根，即6-a=3，解这个方程得a=3.
所以，当a=3时，分式方程 会产生增根.
【练习2】当a为何值时，分式方程 会产生增根
【解析】分式方程产生增根，则增根一定是分式方程的最简公分母为零的未知数的值。
通过本节课的学习，你有什么收获
本节课主要学习了分式方程的概念、分式方程的解法及如何进行分式方程的验根，“去分母”“检验”是解分式方程的关键步骤.
18.5 分式方程
第十八章 分式
第二课时 利用分式方程解决实际问题
1.能够找出实际问题中的未知数与已知数，分析问题中的数量关系，寻找等量关系并正确列出分式方程.
2.通过列分式方程解应用题，进一步掌握解分式方程的方法和步骤.
3.体验列分式方程解应用题在处理实际问题中的优越性，感受学习数学的乐趣.
重点：利用分式方程解决实际问题.
难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.
1.小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800 m，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30 min，设小玲步行的平均速度为x m/min，根据题意，列出的方程为：
_______________________.
2.轮船顺水航行46 km和逆水航行34 km所用的时间，恰好与它在静水中航行80 km所用的时间相等，水流速度是3 km/h，则轮船在静水中的速度是_________________km/h.
20
3.某施工队负责修建1800 m的隧道，为了尽量减少施工对周边环境的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前两天完成，求原计划平均每天修隧道的长度.如果设原计划平均每天修隧道x m，那么
根据题意，可列出方程：_______________________.
我们上节课已经学习了分式方程的解法，那么如何用分式方程来解决实际问题呢 请同学们来看以下几个问题：
【例3】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的1/3，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快
【分析】甲队1个月完成总工程的 ，设乙队单独施工1个月能完成总工程的 ，那么甲队半个月完成总工程的___________，乙队半个月完成总工程的____________，再加上甲队单独施工1个月完成的工程量就是总工程量.
在用式子表示上述的量之后，再考虑如何列出方程.
【解】设乙队单独施工1个月能完成总工程的 .
记总工程量为1，根据工程的实际进度，得 .
方程两边乘6x，得2x+x+3=6x.解得x=1.
检验：当x=1时，6x≠0.
所以，原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的 ，可知乙队的施工速度快.
【例4】某次列车平均提速v km/h.在相同的时间内，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少
【分析】这里的字母v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为
x km/h，那么提速前列车行驶s km所用时间为______h，提速后列车的平均速度为________km/h，提速后列车运行(s+50) km所用时间为________h.
根据行驶时间的等量关系可以列出方程.
【解】设提速前这次列车的平均速度为x km/h，则提速前它行驶s km所用时间为 h；提速后列车的平均速度为(x+v) km/h，提速后它行驶(s+50) km所用时间为 h.
根据行驶时间的等量关系，得 . ①
方程两边乘x(x+v)，得s(x+v)=x(s+50).
解得 .
说明：上面例题中，出现了用一些字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现.方程①是以x为未知数的分式方程，其中v，s是已知数，根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数.
检验：因为v，s都是正数，所以当 时x(x+v)≠0.
所以，原分式方程的解为：
答：提速前列车的平均速度为 km/h.
【练习1】一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做，恰好按规定日期完成，如果第二组单独做，需要超过规定日期4天才能完成，如果两组合作3天后，剩下的工程由第二组单独做，正好在规定日期内完成，规定日期是多少天
第一组的工作效率比第二组的工作效率高.
分析两组的工作效率之间有什么关系.
【解】设规定日期是x天，根据题意，得 .
解得x=12.
检验：当x=12时，x(x+4)≠0.
所以x=12为原分式方程的解.
答：规定日期是12天.
【解】设步行的速度为x km/h，则骑自行车的速度为4x km/h.
根据题意，得 .解得x=5.
检验：当x=5时，4x≠0.
所以x=5为原分式方程的解.
答：步行的速度为5 km/h，骑自行车的速度为20 km/h.
【练习2】甲、乙两地相距19 km，某人从甲地去乙地，先步行7 km，然后改骑自行车，共用了2 h到达乙地，该人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.
通过本节课的学习，你有什么收获
本节课主要学习了列分式方程解应用题.列分式方程解应用题的关键与列整式方程解应用题的关键一样，都是先理解题意，寻找相等关系，再建立数学模型并列出方程，但列分式方程解应用题时一定要验根.
谢谢！
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