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（人教版）数学（2024）
八年级
上
18.4 整数指数幂
第十八章 分式
1.了解负整数指数幂的概念.
2.掌握整数指数幂的运算性质，会进行简单的整数指数幂的运算.
3.会用科学记数法表示小于1的数.
重点：掌握整数指数幂的运算性质.
难点：会用科学记数法表示小于1的数.
1.计算：(3-1a)-2=__________.
2.计算：5x2y-2·3x-3y2=_________.
3.某种细菌的长约为0.0000018 m，线上的数用科学记数法表示为________.
加法运算从非负整数范围推广到非负有理数范围，再到有理数范围.同样地，对于幂的运算an，是否也可以从正整数指数幂推广到更大的范围呢 下面，我们从追溯幂的符号的演变开始.
幂的符号的演变经历了漫长的时间，a ，a ，a 的一些表示如图.
an这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广.1676年，牛顿提出了一个设想：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…，所以我将 ， ， ，…写成a-1，a-2， a-3，….”
(一)负整数指数幂
【思考1】你认为牛顿的这个设想合理吗 也就是说，如果an中的m可以是负整数，那么负整数指数幂an表示什么
由分式的约分可知，当a≠0时， ①
另一方面，如果把正整数指数幂的运算性质am÷an=am-n (a≠0，m，n是正整数，m>n)中的条件m>n去掉，即假设这个性质对于像a3÷a5的情形也能使用，则有a3÷a5=a3-5=a-2.②
由①②两式，我们想到如果规定 ，就能使am÷an=am-n这条性质也适用于像a3÷a5这样的情形.
归纳：为了使上述运算性质适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定：一般地，当n是正整数时，
这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数.
像上面这样，引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数.
注意：如果特别说明，本册书中涉及的负整数幂的倒数均不为0.
【思考2】引入负整数指数和0指数后，正整数指数幂的运算性质am·an=am+n (m，n是正整数)能否推广到m，n是任意整数的情形
提问：请同学们试着算一算下面三个问题.
【解】
【归纳】 am·an=am+n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用.
【探究】类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他四个正整数指数幂的运算性质(am)n=amn(m，n是正整数)，(ab)n=anbn(n是正整
数)， am÷an=am-n(a≠0，m，n是正整数，m>n)， (n是正整数)，进行尝试，看看这些性质在整数指数幕范围内是否还适用.
(a2)-3，(3m)-2……
小结：随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，前面提到的运算性质也推广到整数指数幂.
【例1】计算：
说明：含有负整数指数幂的运算，有两种处理方式：一是把负整数指数幂化为正整数指数幂，然后进行计算；二是在整数指数幂范围内运用幂运算法则进行计算，如果最终结果是负整数指数幂，则应把它化为正整数指数幂.
小结：根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时， am÷an=am-n ，am·a-n=am+(-n)=am-n ，因此，am÷an=am·a-n，即同底数幂的除法am÷an可以转化为同底数幂的乘法am·a-n.
特别地， ，所以 ，即商的乘方
可以转化为积的乘方 .
整数指数幂的运算性质可以归结为：
(二)用科学记数法表示小于1的正小数
我们已经知道，一些较大的数适合用科学记数法表示.例如，光速约为3×10 m/s，太阳半径约为6.96×105 km等.有了负整数指数幂后，小于1的正数是否也可以用科学记数法表示
0.00001，0.0000257，0.0000000257.
提问：同学们能模拟大数的科学计数方法来表示这些数吗
(改写时注意0的个数与指数之间的关系.)
0.00001=1×10-5，0.0000257=2.57×10-5，0.0000000257=2.57×10-8.
小结：一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式，其中1≤a<10，n是正整数.
对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是-9，如果有m个0，则10的指数为-(m+1)，即-m-1.
【思考3】对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少 如果有m个0呢
【解】70 μm=70×10-6 m，2 nm=2×10-9 m，20nm=20×10-9 m.
(70×10-6)÷(2×10-9)=3.5×104.
(70×10-6)÷(20×10-9)=3.5×103.
因此，一根头发丝的直径是碳纳米管直径的3.5×103～3.5×104倍.
【例2】碳纳米管是一种前沿纳米材料，有很多神奇的特性、它是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管，其直径一般为2～20 nm.通常一根头发丝的直径约为70 μm，一根头发丝的直经大约是碳纳米管直径的多少倍
【练习1】下列算式是否正确 为什么
【练习2】用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000257； (2)-0.0001045(保留两个有效数字).
解：(1)0.000257=2.57×10-4；
(2)-0.0001045=-1.045×10- ≈-1.0×10-4.
通过本节课的学习，你有什么收获
本节课主要学习了：
1.负整数指数幂：任何不等于0的数的0次幂等于1，即a0=1.任何不等于0的-n(n为正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数，即 (a≠0，n为正整数).
2.用科学记数法表示绝对值小于1的数：表示为a×10-n的形式，其中n为原数第一个不为0的数字前面所有0的个数.1≤|a|<10.
谢谢！
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