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（人教版）数学（2024）
八年级
上
17.2 用公式法分解因式
第十七章 因式分解
1.能区分两种公式，并用公式法分解因式.
2.能综合运用提公因式法和公式法分解因式.
重点：应用公式法分解因式.
难点：灵活应用公式法和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求.
1.将__________反过来用，对多项式进行因式分解的方法称为公式法.
2.平方差公式：两个数的_________，等于这两个数的_________与这两个数的_______的积.
3.完全平方公式：两个数的_______加上(或减去)这两个数的________，等于这两个数的__________________.
乘法公式
平方差
和
差
平方和
积的2倍
和(或差)的平方
【思考1】多项式a -b 有什么特点 你能将它分解因式吗
要将a -b 进行因式分解，可是发现它没有公因式，不能用提公因式法分解因式.请同学们认真观察，这个代数式有什么特征
这个多项式是两个数的平方差形式，是整式乘法中的平方差公式
(a+b)(a-b)=a -b .
由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整式乘法的平方差公式的等号两边互换就得到a -b =(a+b)(a-b).
观察a -b =(a+b)(a-b)的项、指数、符号有什么特点.
总结：如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式就可以运用平方差公式分解因式，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
【例1】分解因式：
(1)4x -9； (2)a -25b .
【分析】在(1)中，4x =(2x) ，9=3 ，4x -9=(2x) -3 ，即可以利用平方差公式分解因式；在(2)中，由于25b =(5b) ，所以a -25b =a -(5b) ，即可以利用平方差公式分解因式.
【例2】分解因式：
(1)x -y4； (2)(x+p) -(x+q) .
【分析】在(1)中，由于y4=(y ) ，所以x -y4=x -(y ) ，即可以利用平方差公式分解因式；在(2)中，把x+p和x+q各看成一个整体，设x+p=a，x+q=b，则原式化为a -b ，即可以利用平方差公式分解因式.
【思考2】多项式a +2ab+b 与a -2ab+b 有什么特点 你能将它们因式分解吗
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，这恰是两个数的和或差的平方，我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式.
完全平方公式.
在上一章，我们除了学方差公式，还学习了什么公式
把整式乘法的完全平方公式(a+b) =a +2ab+b ，(a-b) =a -2ab+b 的等号两边互换，就得到a +2ab+b =(a+b) ，a -2ab+b =(a-b) ，即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
【分析】在x +4x+4中，由于4=2 ，4x=2·x·2，所以x +4x+4是一个完全平方式，即：
【例3】分解因式：（1）x +4x+4.
【分析】在16x -24x+9中，由于16x =(4x) ，9=3 ，24x=2·4x·3，所以16x -24x+9是一个完全平方式.
【例3】分解因式：（2）16x -24x+9.
【例4】 分解因式：
(1)(a+b) -12(a+b)+36； (2)-x +4xy-4y .
【分析】在(1)中，将a+b看作一个整体，设a+b=m，则原式化为完全平方式m -12m+36;对于(2)，可通过添括号将原式写成-(x -4xy+4y )，括号内的式子为完全平方式.
过渡：对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因法和公式法.
小结：运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法.分别有平方差公式和完全平方公式.
【例5】分解因式：
(1)x4-y ； (2)a b-ab.
总结：分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
【分析】在(1)中，x4-y4可以写成(x ) -(y ) 的形式，可用公式法分解因式；对于(2),a b-ab的两项有公因式ab,可以先提出公因式，再进一步分解因式.
【例6】 分解因式：
(1)3ax +6axy+3ay ； (2)-ax +2a x-a .
强调：分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
【分析】先提出公因式，再用公式法进一步分解因式.
【练习1】分解因式：(1)x4-1； (2)a5b-a b .
【解析】(1)x4-1可以写成(x ) -(1 ) 的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了，但分解到(x +1)(x -1)后，x -1还可以继续利用平方差公式进行分解.(2)不能直接利用平方差公式分解因式，但通过观察可以发现a5b-a b 有公因式a b,应先提出公因式，再进一步分解.
【练习2】分解因式：(1)(x+y) -6(x+y)+9； (2)-4x y-4x y -xy .
【解析】(1)中利用整体思想，把(x+y)当作一个整体；(2)中应先提取公因式再分解.
【解析】由于x +2x+1=(x+1) ，y +2y+1=(y+1) ，原方程可化为两个完全平方式的和等于0，而两个非负数的和等于0，这两个非负数都等于0，从而求出x，y的值.
通过本节课的学习，你有什么收获
本节课主要学习了用公式法分解因式：
(1)a -b =(a+b)(a-b)，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
(2)a +2ab+b =(a+b) ，a -2ab+b =(a-b) ，即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
谢谢！
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