资源简介

1.1认识三角形
【题型1】三角形的定义及其表示方法 4
【题型2】已知两角求第三角的大小 5
【题型3】已知两角或三角的数量关系求三角形内角 6
【题型4】三角形内角和与平行线 7
【题型5】三角形内角和与翻折 8
【题型6】三角形的分类 10
【题型7】判断任意三条线段可否组成三角形 11
【题型8】分析第三边的取值范围，确定其整数值 11
【题型9】与非负数的综合运用 12
【题型10】等腰三角形中的三边关系 12
【题型11】三角形的角平分线、高线、中线的定义 13
【题型12】画三角形的角平分线、高线、中线 15
【题型13】三角形中线均分三角形面积 17
【题型14】识别三角形的高线 18
【题型15】三角形面积的计算与等面积法 19
【题型16】结合三角形的角平分线、高线、中线求角 21
【题型17】结合三角形的角平分线、高线、中线求边 23
【知识点1】三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．
（4）三角形具有稳定性． 1.（2024秋 张店区期末）请同学们认真观察，图中共有（　　）三角形．
A．5个B．6个C．7个D．8个
2.（2024秋 广阳区校级月考）下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（　　） A．B．C．D．
【知识点2】三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 1.（2025春 新乡期末）小涵求△ABC的面积时，作了AB边上的高，下列作图正确的是（　　） A．B．C．D．
【知识点3】三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 1.（2025春 邯郸期末）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　） A．2，3，5B．7，4，2C．3，4，8D．3，3，4
【知识点4】三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 1.（2025春 禅城区期末）三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　）
A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【知识点5】作图—尺规作图的定义 （1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
（2）基本要求
它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．
直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．
圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度． 1.（2024秋 阳谷县期末）下列属于尺规作图的是（　　） A．用刻度尺和圆规作△ABCB．用量角器画一个300°的角C．用圆规画半径2cm的圆D．作一条线段等于已知线段
【题型1】三角形的定义及其表示方法
【典型例题】图中有（　　）个三角形．
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三1】如图所示的图形中，三角形的个数是（　　）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【举一反三2】如图，以点A为顶点的三角形有　 　个，它们分别是　 　．
【举一反三3】若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有 　 　对．
【举一反三4】图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AE⊥BC，点E是垂足，点D是边BC上的一点，连接AD．
（1）写出△ABE的三个内角；
（2）在△ABD中，∠B的对边是 　 　；在△ABC中，∠B的对边是 　 　．
【题型2】已知两角求第三角的大小
【典型例题】已知一个三角形的两个内角分别为50度，65度，则它的第三个内角为（　　）
A.75° B.65° C.55° D.无法确定
【举一反三1】已知△ABC中，∠A＝50°，∠B＝20°，则△ABC的形状为（　　）
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形
【举一反三2】在△ABC中，∠A+∠B＝90°，则△ABC的形状是（　　）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
【举一反三3】在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，则∠C＝　 　°．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，求∠A的度数．
【举一反三5】如图，AC与BE相交于点D．
（1）图中有几个三角形？把它们写出来．
（2）若∠ABE＝55°，∠EDC＝70°，求∠A的度数．
【题型3】已知两角或三角的数量关系求三角形内角
【典型例题】如图所示，α，β的度数分别为（　　）
A.30°，50° B.40°，80° C.40°，40° D.60°，40°
【举一反三1】在下列条件中：①∠A＝90°﹣∠B；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝5：3：2；④∠A+∠B＝∠C；⑤∠A＝2∠B＝3∠C；能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝1：3：4，那么△ABC是 　 　三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．
【举一反三3】在△ABC中，∠B﹣∠A＝50°，∠C﹣∠B＝35°，求△ABC的各角的度数．
【题型4】三角形内角和与平行线
【典型例题】如图，a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上．若∠A＝43°，∠2＝25°，则∠1等于（　　）
A.18° B.22° C.25° D.32°
【举一反三1】如图，CE∥AB，若∠ACB＝75°，∠ECD＝55°，则∠A的度数为（　　）
A.50° B.55° C.70° D.75°
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝40°，则∠B的度数为（　　）
A.40° B.60° C.30° D.50°
【举一反三3】已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C且平行于AB，若∠A＝55°，则∠BCE的度数为　 　．
【举一反三4】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2．
（1）试说明：DG∥BC；
（2）若∠B＝54°，∠ACD＝35°，求∠3的度数．
【举一反三5】如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝48°，∠C＝63°．
（1）∠DAB＝　 　；∠EAC＝　 　；∠BAC＝　 　；
（2）通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是180°？
【题型5】三角形内角和与翻折
【典型例题】如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（　　）
A.27° B.59° C.69° D.79°
【举一反三1】如图，把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图，若∠A＝60°，∠1＝95°，则∠2的度数是（　　）
A.15° B.20° C.25° D.35°
【举一反三2】如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若∠BAE＝50°，则∠DAC的度数为 　 　°．
【举一反三3】如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上．若∠A＝55°，求∠1+∠2+∠3+∠4四个角和的度数？
【举一反三4】如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝75°，求∠1+∠2的度数．
【题型6】三角形的分类
【典型例题】△ABC的三角之比是1：2：3，则△ABC是（　　）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
【举一反三1】图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（　　）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能
【举一反三2】在如图所示的三角形中，属于锐角三角形的有 　 　，属于直角三角形的有 　 　，属于钝角三角形的有 　 　（填序号）．
【举一反三3】如图，BD是长方形ABCD的一条对角线，CE⊥BD于点E．
（1）写出图中所有的直角三角形；
（2）写出图中的锐角三角形和钝角三角形．
【举一反三4】根据下列所给条件，判断△ABC的形状．
（1）∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°；
（2）∠C＝120°；
（3）∠C＝90°；
（4）AB＝BC＝4，AC＝5．
【题型7】判断任意三条线段可否组成三角形
【典型例题】有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A.2cm，3cm，4cm B.1cm，4cm，7cm C.1cm，2cm，3cm D.8cm，2cm，3cm
【举一反三1】下列各组线段：①1cm、2cm、3cm； ②3cm、4cm、5cm；③3cm、5cm、8cm；④4cm、4cm、2cm；⑤6cm、14cm、5cm；其中能组成三角形的有（　　）
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
【举一反三2】以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　）
A.2，4，7 B.3，3，6 C.5，8，2 D.4，5，6
【举一反三3】现有3cm、4cm、7cm、9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是　 　．
【举一反三4】判断下列长度的三条线段能否组成三角形（填“能”或“不能”）．
（1）7cm，4cm，6cm； 　 　．
（2）4cm，5cm，9cm； 　 　．
（3）5cm，3cm，5cm； 　 　．
（4）2cm，3cm，6cm． 　 　．
【举一反三5】已知：三角形的三边长为a，b，c，其中a＞b＞c．
求证：长度分别为，，的三条线段可以组成三角形．
【题型8】分析第三边的取值范围，确定其整数值
【典型例题】如果某三角形的两边长分别为5和7，第三边的长为偶数，那么这个三角形的周长可以是（　　）
A.13 B.14 C.15 D.16
【举一反三1】平面内，将长分别为1，1，3，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），x可能是（　　）
A.1 B.3 C.5 D.7
【举一反三2】已知三角形两边的长分别为1cm，5cm，第三边长为整数，则第三边的长为 　 　．
【举一反三3】已知三角形的边长分别为3，8，x，若x的值为偶数，则x的值是多少？
【举一反三4】已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝4，b＝6．
（1）求c的取值范围；
（2）若c的长为小于8的偶数，求△ABC的周长．
【题型9】与非负数的综合运用
【典型例题】若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足，则△ABC的第三条边c的取值范围是（　　）
A.c＞4 B.c＜12 C.4＜c＜12 D.4≤c≤12
【举一反三1】若a、b、c为△ABC的三边，且a、b满足0，第三边c是整数，则c的值可以是（　　）
A.1 B.3 C.5 D.7
【举一反三2】已知a，b，c是△ABC的三边长，满足|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，c为奇数，则c＝　 　．
【举一反三3】已知a，b，c是一个三角形的三条边长，则化简|a﹣c﹣b|﹣|c﹣a+b|＝　 　．
【举一反三4】已知a，b，c满足|a|（c）2＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问：以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由．
【举一反三5】已知a，b，c分别为△ABC的三边长，b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程2a﹣1＝5的解，请先判断△ABC的形状，再说明理由．
【题型10】等腰三角形中的三边关系
【典型例题】已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（　　）
A.3 B.10 C.6.5 D.3或6.5
【举一反三1】小颖要制作一个等腰三角形木架，现有两根长度为3m和6m的木棒，则小颖选的木棒是（　　）
A.3m B.6m C.4m D.8m
【举一反三2】以15为腰的等腰三角形，底边a的范围是　 　．
【举一反三3】等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于　 　．
【举一反三4】已知等腰三角形的两条边长分别为1cm，3cm．求第三条边长．
【题型11】三角形的角平分线、高线、中线的定义
【典型例题】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　）
A.BE是△ABD的中线 B.BD是△BCE的角平分线 C.∠1＝∠2＝∠3 D.BC是△BDE的高
【举一反三1】如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O．有下列两个结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（　　）
A.只有①正确 B.只有②正确 C.①和②都正确 D.①和②都不正确
【举一反三2】如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，下列结论不一定成立的是（　　）
A.BC＝2CE B. C.∠AFB＝90° D.AE＝CE
【举一反三3】如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O．有下列两个结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（　　）
A.只有①正确 B.只有②正确 C.①和②都正确 D.①和②都不正确
【举一反三4】如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（　　）
A.CDBC B.2∠BAE＝∠BAC C.∠C+∠CAF＝90° D.AE＝AC
【举一反三5】如图，在△ABC中画出高线AF、中线AE、角平分线AD．再填空．
（1）∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠　 　＝∠　 　∠　 　（角平分线的定义）．
（2）∵AE是△ABC的中线．
∴　 ＝ （ ）．
（3）∵AF是△ABC的高线．
∴∠　 　＝90°（高线的定义）．
【举一反三6】如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则：
（1）BE＝　 　＝0.5　 　；
（2）∠BAD＝　 　　 　；
（3）∠AFC＝　 　＝90°；
（4）S△ABC＝ ＝ .
【举一反三7】如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则：
（1）BE＝　 　＝0.5　 　；
（2）∠BAD＝　 　　 　；
（3）∠AFC＝　 　＝90°；
（4）S△ABC＝ ＝ .
【举一反三8】如图，在△ABC中，
①若AD是∠BAC的平分线，则∠　 　＝∠　 　∠　 　；
②若AE＝CE，则BE是AC边上的　 　；
③若CF是AB边上的高，则∠　 　＝∠　 　＝90°，CF　 　AB．
【题型12】画三角形的角平分线、高线、中线
【典型例题】下列各图中，正确画出AC边上的高的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】画△ABC的边AC上的高，下列三角板摆放位置正确的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】画出三角形所有的中线
（1）边BC上的中线是　 　；
（2）边AC上的中线是　 　；
（3）边AB上的中线是　 　．
【举一反三3】如图，在△ABC中画出高线AF、中线AE、角平分线AD．再填空．
（1）∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠　 　＝∠　 　∠　 　（角平分线的定义）．
（2）∵AE是△ABC的中线．
∴　　 ＝　 　 （ 　 　）．
（3）∵AF是△ABC的高线．
∴∠　 　＝90°（高线的定义）．
【举一反三4】如图，已知△ABC．
（1）画出△ABC的高BD；
（2）画出△ABC的角平分线AE．
【题型13】三角形中线均分三角形面积
【典型例题】如图，△ABD与△ADC的面积相等，线段AD应该是△ABC的（　　）
A.角平分线 B.中线 C.高线 D.不能确定
【举一反三1】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，阴影部分的面积为2，则△ABC的面积是（　　）
A.2 B.4 C.6 D.8
【举一反三2】如图，已知点D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，若△ABC的面积为32，则四边形ADEF的面积为 　 　．
【举一反三3】如图，在△ABC中，E、D、F分别是AD、BF、CE的中点，若△DEF的面积是1cm2，则S△ABC＝　 　cm2．
【举一反三4】如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，连接EB，EC，CF⊥BE于点F．若BE＝9，CF＝8，求△ACE的面积．
【举一反三5】如图，AM是△ABC的中线，若S△ABC＝20cm2，AC＝5cm，MD⊥AC，求MD的长．
【题型14】识别三角形的高线
【典型例题】如图，△ABC的边BC上的高是（　　）
A.线段AF B.线段DB C.线段CF D.线段BE
【举一反三1】如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　）
A.线段AE B.线段BF C.线段AD D.线段CF
【举一反三2】下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图：
（1）在△ABC中，BC边上的高是　 　；
（2）在△AEC中，AE边上的高是　 　；
（3）在△FEC中，EC边上的高是　　 ．
【举一反三4】如图，AE⊥BC于点E，以AE为高的三角形有哪些？
【题型15】三角形面积的计算与等面积法
【典型例题】如图所示，AD、CE、BF是△ABC的三条高，AB＝5，BC＝4，AD＝3则CE＝（　　）
A. B.3 C.4 D.5
【举一反三1】如图，直角三角形的两直角边分别是3和4，AC＝5，则斜边上的高BD的长是（　　）
A.1.2 B.2.4 C.4.8 D.6
【举一反三2】如图，在△ABC中，BC＝4，AE，CD为△ABC的高，若AE＝6，CD＝3，则AB长为 　 　．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，△ABC的边AB上的高CE与边BC上的高AD的比值是 　 　．
【举一反三4】如图（1）所示，△ABC是直角三角形，BD是斜边上的高，若AB＝3，BC＝4，AC＝5，求BD的长．
解：因为S△ABCAB BC，S△ABCAC BD，所以AB BCAC BD，
所以3×4＝5BD，则BD，
以上求解的基本思想是以三角形的面积不变为相等关系，通过从不同角度表示同一三角形的面积来发现三角形各边及其上的高的关系，这种解决问题的方法我们常称为“面积法”，根据你的理解回答下面的问题：
如图（2）所示，△ABC中，AD，CE都是△ABC的高，且AD＝3cm，CE＝2cm，AB＝6cm，求CB的长．
【题型16】结合三角形的角平分线、高线、中线求角
【典型例题】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（　　）
A.25° B.35° C.45° D.55°
【举一反三1】如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC，交AC于点F．已知∠AFE＝64°，则∠FEC的度数为（　　）
A.64° B.32° C.36° D.26°
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝70°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点F，则∠BFD的度数是（　　）
A.30° B.50° C.60° D.70°
【举一反三3】如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC，交AC于点F．已知∠AFE＝64°，则∠FEC的度数为（　　）
A.64° B.32° C.36° D.26°
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝70°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点F，则∠BFD的度数是（　　）
A.30° B.50° C.60° D.70°
【举一反三5】如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C＝70°．
（1）求∠AOB的度数；
（2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数．
【举一反三6】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的高线，CE是∠ACB的角平分线，且∠CEB＝105°，分别求∠ECB，∠ECD的大小．
【题型17】结合三角形的角平分线、高线、中线求边
【典型例题】如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，则AC的长为（　　）
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
【举一反三1】如图，AE是△ABC的中线，点D是BE上一点，若BD＝5，CD＝9，则CE的长为（　　）
A.5 B.6 C.7 D.8
【举一反三2】如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（　　）
A.14 B.1 C.2 D.7
【举一反三3】如图，BD是△ABC的中线，AB＝6，BC＝4，则△ABD周长比△BCD的周长大 　 　．
【举一反三4】如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 　 　cm．
【举一反三5】在△ABC中，BC＝8，AB＝1；
（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．
【举一反三6】如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成55和45两部分，求AC和AB的长．1.1认识三角形
【题型1】三角形的定义及其表示方法 6
【题型2】已知两角求第三角的大小 8
【题型3】已知两角或三角的数量关系求三角形内角 9
【题型4】三角形内角和与平行线 11
【题型5】三角形内角和与翻折 15
【题型6】三角形的分类 18
【题型7】判断任意三条线段可否组成三角形 20
【题型8】分析第三边的取值范围，确定其整数值 22
【题型9】与非负数的综合运用 24
【题型10】等腰三角形中的三边关系 26
【题型11】三角形的角平分线、高线、中线的定义 28
【题型12】画三角形的角平分线、高线、中线 33
【题型13】三角形中线均分三角形面积 36
【题型14】识别三角形的高线 39
【题型15】三角形面积的计算与等面积法 41
【题型16】结合三角形的角平分线、高线、中线求角 43
【题型17】结合三角形的角平分线、高线、中线求边 47
【知识点1】三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．
（4）三角形具有稳定性． 1.（2024秋 张店区期末）请同学们认真观察，图中共有（　　）三角形．
A．5个B．6个C．7个D．8个
【答案】A 【分析】由三角形的概念，即可得到答案． 【解答】解：图形中有三角形：△ABC，△ABD，△BCD，△BCO，△COD，
∴图中共有5个三角形．
故选：A． 2.（2024秋 广阳区校级月考）下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（　　） A．B．C．D．
【答案】A 【分析】由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，由此即可判断． 【解答】解：由题意得：只有A选项中的图形是三角形，
故选：A． 【知识点2】三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 1.（2025春 新乡期末）小涵求△ABC的面积时，作了AB边上的高，下列作图正确的是（　　） A．B．C．D．
【答案】D 【分析】根据三角形的高线的定义，作AB边上的高即过点C向边AB引垂线，垂足为D即可． 【解答】解：由题意，作AB边上的高即过点C向边AB引垂线，垂足为D，作图正确的是：
故选：D． 【知识点3】三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 1.（2025春 邯郸期末）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　） A．2，3，5B．7，4，2C．3，4，8D．3，3，4
【答案】D 【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断． 【解答】解：A、2+3=5，不能组成三角形；
B、2+4＜7，不能组成三角形；
C、3+4＜8，不能组成三角形；
D、3+3＞4，能组成三角形．
故选：D． 【知识点4】三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 1.（2025春 禅城区期末）三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　）
A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】C 【分析】利用三角形内角和定理，可求出第三个内角的度数，结合100°＞90°，40°=40°，可得出该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形，再对照四个选项，即可得出结论． 【解答】解：第三个内角的度数为180°-100°-40°=40°，
∵100°＞90°，40°=40°，
∴该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形．
故选：C． 【知识点5】作图—尺规作图的定义 （1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
（2）基本要求
它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．
直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．
圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度． 1.（2024秋 阳谷县期末）下列属于尺规作图的是（　　） A．用刻度尺和圆规作△ABCB．用量角器画一个300°的角C．用圆规画半径2cm的圆D．作一条线段等于已知线段
【答案】D 【分析】根据尺规作图的定义分别分析得出即可． 【解答】解：A、用刻度尺和圆规作△ABC，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；
B、量角器不在尺规作图的工具里，错误；
C、画半径2cm的圆，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；
D、正确．
故选：D．
【题型1】三角形的定义及其表示方法
【典型例题】图中有（　　）个三角形．
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】根据三角形的定义即可得到结论．
图中有△ADC，△ABC，△DBC共3个三角形．
故选：C．
【举一反三1】如图所示的图形中，三角形的个数是（　　）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】C
【解析】根据图示知，图中的三角形有：△ABE，△ABC，△AEC，△ADC，△DEC，
共有5个，
故选：C．
【举一反三2】如图，以点A为顶点的三角形有　 　个，它们分别是　 　．
【答案】4　　△ABC，△ADC，△ABE，△ADE．
【解析】以点A为顶点的三角形有4个，它们分别是△ABC，△ADC，△ABE，△ADE．
故答案为：4，△ABC，△ADC，△ABE，△ADE．
【举一反三3】若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有 　 　对．
【答案】3
【解析】以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对．
△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC共三对．
故答案为：3．
【举一反三4】图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
【答案】解　图中共有6个三角形，分别是△ABD，△ABE，△ACB，△ADE，△ADC，△AEC．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AE⊥BC，点E是垂足，点D是边BC上的一点，连接AD．
（1）写出△ABE的三个内角；
（2）在△ABD中，∠B的对边是 　 　；在△ABC中，∠B的对边是 　 　．
【答案】解　（1）△ABE的三个内角是：∠BAE，∠B，∠AEB；
（2）在△ABD中，∠B的对边是AD；在△ABC中，∠B的对边是AC．
故答案为：AD；AC；
【题型2】已知两角求第三角的大小
【典型例题】已知一个三角形的两个内角分别为50度，65度，则它的第三个内角为（　　）
A.75° B.65° C.55° D.无法确定
【答案】B
【解析】根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
∵三角形的两个内角分别是50°、65°，
∴它的第三个角的度数为180°﹣50°﹣65°＝65°．
故选：B．
【举一反三1】已知△ABC中，∠A＝50°，∠B＝20°，则△ABC的形状为（　　）
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形
【答案】A
【解析】∵∠C＝180﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣20°＝110°，
∴△ABC是钝角三角形．
故选：A．
【举一反三2】在△ABC中，∠A+∠B＝90°，则△ABC的形状是（　　）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
【答案】B
【解析】∵∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
【举一反三3】在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，则∠C＝　 　°．
【答案】65
【解析】在△ABC中，∠A＝50°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，
∵∠B＝∠C，
∴∠C＝65°，
故答案为：65．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，求∠A的度数．
【答案】解　根据三角形的内角和定理，得
∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．
【举一反三5】如图，AC与BE相交于点D．
（1）图中有几个三角形？把它们写出来．
（2）若∠ABE＝55°，∠EDC＝70°，求∠A的度数．
【答案】解　（1）由题意得，图中的三角形有△ABC，△ABD，△BCE，△BCD，△CDE；
（2）∵∠ABE＝55°，∠EDC＝70°，
∴∠ADB＝∠EDC＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠ADB＝55°．
【题型3】已知两角或三角的数量关系求三角形内角
【典型例题】如图所示，α，β的度数分别为（　　）
A.30°，50° B.40°，80° C.40°，40° D.60°，40°
【答案】C
【解析】根据三角形内角和定理α＝180°﹣20°﹣（180°﹣60°）＝40°，
β＝180°﹣60°﹣80°＝40°．
故选：C．
【举一反三1】在下列条件中：①∠A＝90°﹣∠B；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝5：3：2；④∠A+∠B＝∠C；⑤∠A＝2∠B＝3∠C；能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】①∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，故可确定△ABC为直角三角形；
②∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，
解得：∠C＝36°，
则∠A＝∠B＝2∠C＝72°，故不能确定△ABC为直角三角形；
③∠A：∠B：∠C＝5：3：2，
设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴5x+3x+2x＝180°，
∴x＝18°，
∴∠A＝18°×5＝90°，故可确定直角三角形；
④∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，故可确定直角三角形；
⑤∵∠A＝2∠B＝3∠C，
∴∠B∠A，∠C∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A180°，
解得：∠A＝（98）°，
故不能确定△ABC为直角三角形．
则能确定△ABC为直角三角形的条件有3个，
故选：C．
【举一反三2】在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝1：3：4，那么△ABC是 　 　三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．
【答案】直角
【解析】根据三角形内角和、三个内角比计算出每个内角度数即可判断．
设∠A＝x，则∠B＝3x，∠C＝4x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+3x+4x＝180°，
∴x＝22.5°，
∴∠A＝22.5°，∠B＝67.5°，∠C＝90°，
故答案为：直角．
【举一反三3】在△ABC中，∠B﹣∠A＝50°，∠C﹣∠B＝35°，求△ABC的各角的度数．
【答案】解　由三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，
则
解得，∠A＝15°，∠B＝65°，∠C＝110°．
【题型4】三角形内角和与平行线
【典型例题】如图，a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上．若∠A＝43°，∠2＝25°，则∠1等于（　　）
A.18° B.22° C.25° D.32°
【答案】B
【解析】如图，过点B作BD∥a，
∵a∥b，
∴BD∥b，
在直角△ABC中，∠ABC＝90°﹣∠A-∠ACB＝180°﹣43°-90°＝47°．
∵BD∥b，
∴∠4＝∠2＝25°，
∴∠3＝∠ABC﹣∠4＝47°﹣25°＝22°．
∵BD∥a，
∴∠1＝∠3＝22°．
故选：B．
【举一反三1】如图，CE∥AB，若∠ACB＝75°，∠ECD＝55°，则∠A的度数为（　　）
A.50° B.55° C.70° D.75°
【答案】A
【解析】∵CE∥AB，
∴∠B＝∠ECD＝55°．
在△ABC中，∠B＝55°，∠ACB＝75°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣55°﹣75°＝50°．
故选：A．
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝40°，则∠B的度数为（　　）
A.40° B.60° C.30° D.50°
【答案】D
【解析】∵∠2+∠3＝90°，∠2＝∠1＝40°，
∴∠3＝50°．
∵EF∥AB，
∠B＝∠3＝50°．
故选：D．
【举一反三3】已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C且平行于AB，若∠A＝55°，则∠BCE的度数为　 　．
【答案】35°
【解析】∵AB∥DE，
∴∠A＝∠ACD＝55°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD＝35°．
故答案为：35°．
【举一反三4】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2．
（1）试说明：DG∥BC；
（2）若∠B＝54°，∠ACD＝35°，求∠3的度数．
【答案】（1）证明　∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠BFE＝∠BDC＝90°，
∴CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC；
（2）解　在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠B＝54°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠B＝180°﹣90°﹣54°＝36°，
∴∠BCA＝∠BCD+∠ACD＝36°+35°＝71°．
又∵BC∥DG，
∴∠3＝∠BCA＝71°．
【举一反三5】如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝48°，∠C＝63°．
（1）∠DAB＝　 　；∠EAC＝　 　；∠BAC＝　 　；
（2）通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是180°？
【答案】解　（1）∵DE∥BC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵∠B＝48°，∠C＝63°，
∴∠DAB＝48°，∠EAC＝63°，
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣48°﹣63°＝69°，
故答案为：48°，63°，69°；
（2）∵DE∥BC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°，
即三角形内角和是180°．
【题型5】三角形内角和与翻折
【典型例题】如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（　　）
A.27° B.59° C.69° D.79°
【答案】D
【解析】如图，∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴∠ABC＝3∠3，
在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣74°＝106°，
在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°，
即20°+2∠3+106°＝180°，
∴∠3＝27°，
∴∠C＝106°﹣27°＝79°，
故选：D．
【举一反三1】如图，把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图，若∠A＝60°，∠1＝95°，则∠2的度数是（　　）
A.15° B.20° C.25° D.35°
【答案】C
【解析】∵△ABC沿EF翻折，
∴∠BEF＝∠B'EF，∠CFE＝∠C'FE，
∴180°﹣∠AEF＝∠1+∠AEF，180°﹣∠AFE＝∠2+∠AFE，
∵∠1＝95°，
∴∠AEF（180°﹣95°）＝42.5°，
∵∠A+∠AEF+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣60°﹣42.5°＝77.5°，
∴180°﹣77.5°＝∠2+77.5°，
∴∠2＝25°，
故选：C．
【举一反三2】如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若∠BAE＝50°，则∠DAC的度数为 　 　°．
【答案】30．
【解析】∵∠B＝40°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝110°，
∵∠BAE＝50°，
∴∠CAE＝60°，
∵△ADC沿直线AD折叠得到△ADE，
∴∠CAD＝∠EAD＝30°，
故答案为：30．
【举一反三3】如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上．若∠A＝55°，求∠1+∠2+∠3+∠4四个角和的度数？
【答案】解　∵∠A＝55°，
∴△ABC中，∠B+∠C＝125°，
又∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣125°＝235°．
【举一反三4】如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝75°，求∠1+∠2的度数．
【答案】解　∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，
∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝75°，
∴∠AED+∠ADE＝∠A′ED+∠A′DE＝180°﹣75°＝105°，
∴∠1+∠2＝360°﹣2×105°＝150°．
解法二：连接AA′．
∵∠1＝∠EAA′+∠EA′A，∠2＝∠DAA′+∠DA′A，∠EAD＝∠EA′D，
∴∠1+∠2＝2∠CAB＝150°．
【题型6】三角形的分类
【典型例题】△ABC的三角之比是1：2：3，则△ABC是（　　）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
【答案】B
【解析】在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，
∴∠C＝3x＝90°，
∴此三角形是直角三角形．
故选：B．
【举一反三1】图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（　　）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能
【答案】D
【解析】从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角．
故选：D．
【举一反三2】在如图所示的三角形中，属于锐角三角形的有 　 　，属于直角三角形的有 　 　，属于钝角三角形的有 　 　（填序号）．
【答案】③　　①④　　②
【解析】在如图所示的三角形中，属于锐角三角形的有③，属于直角三角形的有①④，属于钝角三角形的有②．
故答案为：③；①④；②．
【举一反三3】如图，BD是长方形ABCD的一条对角线，CE⊥BD于点E．
（1）写出图中所有的直角三角形；
（2）写出图中的锐角三角形和钝角三角形．
【答案】解　∵四边形ABCD是长方形且CE⊥BD于点E，
∴∠BAD、∠BCD、∠BEC、∠CED是直角，并是三角形的一个内角；
∴（1）直角三角形有：△ABD、△BCD、△BCE、△CDE；
（2）易找锐角三角形：△ABE，
钝角三角形：△ADE．
【举一反三4】根据下列所给条件，判断△ABC的形状．
（1）∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°；
（2）∠C＝120°；
（3）∠C＝90°；
（4）AB＝BC＝4，AC＝5．
【答案】解　（1）∵∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°，
∴∠A＜90°，∠B＜90°，∠C＜90°，
∴△ABC为锐角三角形；
（2）∵∠C＝120°＞90°，
∴△ABC为钝角三角形；
（3）∠C＝90°；
∴△ABC为直角三角形；
（4）AB＝BC，
∴△ABC为等腰三角形．
【题型7】判断任意三条线段可否组成三角形
【典型例题】有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A.2cm，3cm，4cm B.1cm，4cm，7cm C.1cm，2cm，3cm D.8cm，2cm，3cm
【答案】A
【解析】A．2+3＝54，长度是2cm、3cm、4cm的线段能组成三角形，故A符合题意；
B．1+4＝5＜7，长度是1cm、4cm、7cm的线段不能组成三角形，故B不符合题意；
C．1+2＝3，长度是1cm、2cm、3cm的线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D．2+3＝5＜8，长度是8cm、2cm、3cm的线段不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：A．
【举一反三1】下列各组线段：①1cm、2cm、3cm； ②3cm、4cm、5cm；③3cm、5cm、8cm；④4cm、4cm、2cm；⑤6cm、14cm、5cm；其中能组成三角形的有（　　）
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
【答案】B
【解析】①1+2＝3，不能组成三角形；
②3+4＞5，能组成三角形；
③3+5＝8，不能组成三角形；
④2+4＞4，能组成三角形；
⑤5+6＜14，不能组成三角形．
故能组成三角形的只有②④．
故选：B．
【举一反三2】以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　）
A.2，4，7 B.3，3，6 C.5，8，2 D.4，5，6
【答案】D
【解析】A．4+2＝6＜7，不能组成三角形；
B．3+3＝6，不能组成三角形；
C．5+2＝7＜8，不能组成三角形；
D．4+5＝9＞6，能组成三角形．
故选：D．
【举一反三3】现有3cm、4cm、7cm、9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是　 　．
【答案】2
【解析】四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9；
只有3，7，9和4，7，9能组成三角形．
故答案为：2．
【举一反三4】判断下列长度的三条线段能否组成三角形（填“能”或“不能”）．
（1）7cm，4cm，6cm； 　 　．
（2）4cm，5cm，9cm； 　 　．
（3）5cm，3cm，5cm； 　 　．
（4）2cm，3cm，6cm． 　 　．
【答案】（1）能
（2）不能
（3）能
（4）不能
【解析】（1）4+6＞7，能，组成三角形；
（2）4+5＝9，不能组成三角形；
（3）3+5＞5，能，组成三角形；
（4）2+3＜6，不能组成三角形；
故答案为：（1）能；（2）不能；（3）能；（4）不能．
【举一反三5】已知：三角形的三边长为a，b，c，其中a＞b＞c．
求证：长度分别为，，的三条线段可以组成三角形．
【答案】证明　∵三角形的三边长为a，b，c，其中a＞b＞c．
∴b+c＞a，
∴（）2+（）2＞（）2，
∴（）2+（）2＝（）2﹣2，
∴（）2﹣2（）2，
∵b＞c＞0，
∴20，
∴（）2＞（）2，
∴，
∴长度分别为，，的三条线段可以组成三角形
【题型8】分析第三边的取值范围，确定其整数值
【典型例题】如果某三角形的两边长分别为5和7，第三边的长为偶数，那么这个三角形的周长可以是（　　）
A.13 B.14 C.15 D.16
【答案】D
【解析】设三角形第三边长是x，
∴7﹣5＜x＜7+5，
∴2＜x＜12，
∵第三边的长为偶数，
∴三角形第三边长是4，或6或8或10，
∴这个三角形的周长是5+7+4＝16或5+7+6＝18或5+7+8＝20或5+7+10＝22．
故选：D．
【举一反三1】平面内，将长分别为1，1，3，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），x可能是（　　）
A.1 B.3 C.5 D.7
【答案】B
【解析】连接AC，
在△ACD中，3﹣1＜AC＜3+1，
∴2＜AC＜4，
在△ABC中，AC﹣1＜x＜AC+1，
∴1＜x＜5，
∴x可能是3．
故选：B．
【举一反三2】已知三角形两边的长分别为1cm，5cm，第三边长为整数，则第三边的长为 　 　．
【答案】5cm
【解析】设第三边的长为x cm，
∴5﹣1＜x＜5+1，
∴4＜x＜6，
∵第三边长为整数，
∴第三边的长为5cm．
故答案为：5cm．
【举一反三3】已知三角形的边长分别为3，8，x，若x的值为偶数，则x的值是多少？
【答案】解　∵3+8＝11，8﹣3＝5，
∴5＜x＜11，
∵x为偶数，
∴x可以是6或8或10．
【举一反三4】已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝4，b＝6．
（1）求c的取值范围；
（2）若c的长为小于8的偶数，求△ABC的周长．
【答案】解　（1）因为a＝4，b＝6，
所以2＜c＜10．
（2）若c的长为小于8的偶数，
所以c＝4或x＝6．
当c＝4时，△ABC的周长＝4+4+6＝14；
当c＝6时，△ABC的周长＝6+4+6＝16．
综上所述，△ABC的周长为14或16．
【题型9】与非负数的综合运用
【典型例题】若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足，则△ABC的第三条边c的取值范围是（　　）
A.c＞4 B.c＜12 C.4＜c＜12 D.4≤c≤12
【答案】C
【解析】∵a，b满足，
∴a﹣4＝0，b﹣8＝0，
即a＝4，b＝8，
∵实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，
∴8﹣4＜c＜8+4，
即4＜c＜12，
故选：C．
【举一反三1】若a、b、c为△ABC的三边，且a、b满足0，第三边c是整数，则c的值可以是（　　）
A.1 B.3 C.5 D.7
【答案】B
【解析】由题意得，a﹣3＝0，b﹣2＝0，
解得a＝3，b＝2，
∵3﹣2＝1，3+2＝5，
∴1＜c＜5．
故选：B．
【举一反三2】已知a，b，c是△ABC的三边长，满足|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，c为奇数，则c＝　 　．
【答案】7．
【解析】∵|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，
∴a﹣7＝0，b﹣2＝0，
解得：a＝7，b＝2，
由三角形三边关系定理得：7﹣2＜c＜7+2，即5＜c＜9，
又∵c为奇数，
∴c＝7．
故答案为：7．
【举一反三3】已知a，b，c是一个三角形的三条边长，则化简|a﹣c﹣b|﹣|c﹣a+b|＝　 　．
【答案】0
【解析】∵a，b，c是一个三角形的三条边长，
∴a﹣c﹣b＜0，c﹣a+b＞0，
∴|a﹣c﹣b|﹣|c﹣a+b|
＝﹣（a﹣c﹣b）﹣（c﹣a+b）
＝﹣a+c+b﹣c+a﹣b
＝0．
故答案为：0．
【举一反三4】已知a，b，c满足|a|（c）2＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问：以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由．
【答案】解　（1）根据题意得：a0，0，c0，
解得：a，b＝5，c．
（2）因为5，
所以以a，b，c为边能构成三角形．
该三角形的周长为：a+b+c5．
【举一反三5】已知a，b，c分别为△ABC的三边长，b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程2a﹣1＝5的解，请先判断△ABC的形状，再说明理由．
【答案】解　△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0．
∴b＝2，c＝3，
又∵2a﹣1＝5，
∴a＝3．
∴△ABC是等腰三角形．
【题型10】等腰三角形中的三边关系
【典型例题】已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（　　）
A.3 B.10 C.6.5 D.3或6.5
【答案】C
【解析】（1）当3是腰长时，底边为16﹣3×2＝10，
此时3+3＝6＜10，不能组成三角形；
（2）当3是底边时，腰长为（16﹣3）＝6.5，
此时3，6.5，6.5三边能够组成三角形．
所以腰长为6.5．
故选：C．
【举一反三1】小颖要制作一个等腰三角形木架，现有两根长度为3m和6m的木棒，则小颖选的木棒是（　　）
A.3m B.6m C.4m D.8m
【答案】B
【解析】根据三角形的三边关系，得
第三边应大于两边之差，即6﹣3＝3；而小于两边之和，即6+3＝9．
因为三角形是等腰三角形，
所以所给答案中，只有6m符合条件．
故选：B．
【举一反三2】以15为腰的等腰三角形，底边a的范围是　 　．
【答案】0＜a＜30
【解析】∵等腰三角形的腰长为a，
∴底边a的取值范围为：0＜a＜15+15，即0＜a＜30．
故答案为：0＜a＜30．
【举一反三3】等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于　 　．
【答案】15
【解析】当3为腰，6为底时，3+3＝6，不能构成等腰三角形；
当6为腰，3为底时，3+6＞6，能构成等腰三角形，周长为3+6+6＝15．
故答案为：15．
【举一反三4】已知等腰三角形的两条边长分别为1cm，3cm．求第三条边长．
【答案】解　当腰长为1cm，底边为3cm时，
∵1+1＜3，
∴不能构成三角形，故比情况不存在；
当腰长为3cm，底边为时1cm，
∵3﹣3＜1＜3+3，
∴能构成三角形，
∴第三条边长为3cm．
【题型11】三角形的角平分线、高线、中线的定义
【典型例题】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　）
A.BE是△ABD的中线 B.BD是△BCE的角平分线 C.∠1＝∠2＝∠3 D.BC是△BDE的高
【答案】C
【解析】A．由图可知：BE是△ABD的中线，正确，不符合题意；
B．由图可知：BD是△BCE的角平分线，正确，不符合题意；
C．∵BD是△BCE的角平分线，
∴∠3＝∠2，
∵BE是中线，
∴∠1≠∠2，
∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意．
D．由图可知：
∵∠C＝90°
∴BC是△ABE的高，正确，不符合题意；
故选：C．
【举一反三1】如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O．有下列两个结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（　　）
A.只有①正确 B.只有②正确 C.①和②都正确 D.①和②都不正确
【答案】A
【解析】AD是三角形ABC的角平分线，
则是∠BAC的角平分线，
所以AO是△ABE的角平分线，故①正确；
BE是三角形ABC的中线，
则E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，故②错误．
故选：A．
【举一反三2】如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，下列结论不一定成立的是（　　）
A.BC＝2CE B. C.∠AFB＝90° D.AE＝CE
【答案】D
【解析】∵AE是中线，
∴BE＝CE，
BC＝2CE．
∴故选项A正确，不符合题意；
∵AF是高，
∴∠AFB＝90°，故选项C正确，不符合题意；
∵AD是角平分线，
∴∠BAD∠BAC．
故选项B正确，不符合题意；
根据题意不一定得出AE＝CE，
故选项D不正确符合题意．
故选：D
【举一反三3】如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O．有下列两个结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（　　）
A.只有①正确 B.只有②正确 C.①和②都正确 D.①和②都不正确
【答案】A
【解析】AD是三角形ABC的角平分线，
则是∠BAC的角平分线，
所以AO是△ABE的角平分线，故①正确；
BE是三角形ABC的中线，
则E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，故②错误．
故选：A．
【举一反三4】如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（　　）
A.CDBC B.2∠BAE＝∠BAC C.∠C+∠CAF＝90° D.AE＝AC
【答案】D
【解析】A．∵AD是△ABC的中线，
∴，
故此选项不符合题意；
B．∵AE是△ABC的角平分线，
∴2∠BAE＝∠BAC，
C．∵AF是△ABC的高线，
∴∠AFC＝90°，
∴∠C+∠CAF＝180°-∠AFC=90°，
故此选项不符合题意；
D．无法证得AE＝AC，
故此选项符合题意；
故选：D．
【举一反三5】如图，在△ABC中画出高线AF、中线AE、角平分线AD．再填空．
（1）∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠　 　＝∠　 　∠　 　（角平分线的定义）．
（2）∵AE是△ABC的中线．
∴　 ＝ （ ）．
（3）∵AF是△ABC的高线．
∴∠　 　＝90°（高线的定义）．
【答案】（1）BAD；DAC；BAC；
（2）BE；EC；三角形中线的定义；
（3）F
【解析】（1）∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC∠BAC（角平分线的定义）；
（2）∵AE是△ABC的中线，
∴BE＝EC（三角形中线的定义），
（3）∵AF是△ABC的高线．
∴∠F＝90°（高线的定义）．
【举一反三6】如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则：
（1）BE＝　 　＝0.5　 　；
（2）∠BAD＝　 　　 　；
（3）∠AFC＝　 　＝90°；
（4）S△ABC＝ ＝ .
【答案】（1）EC，BC；（2）∠CAD，∠BAC；（3）∠AFB；（4）2S△ABD，2S△ACD
【解析】（1）BE＝EC＝0.5BC；
（2）∠BAD＝∠CAD∠BAC；
（3）∠AFC＝∠AFB＝90°；
（4）S△ABC＝2S△ABD＝2S△ACD．
故答案为：（1）EC，BC；
（2）∠CAD，∠BAC；
（3）∠AFB；
（4）2S△ABD，2S△ACD．
【举一反三7】如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则：
（1）BE＝　 　＝0.5　 　；
（2）∠BAD＝　 　　 　；
（3）∠AFC＝　 　＝90°；
（4）S△ABC＝ ＝ .
【答案】（1）EC，BC；（2）∠CAD，∠BAC；（3）∠AFB；（4）2S△ABD，2S△ACD
【解析】（1）BE＝EC＝0.5BC；
（2）∠BAD＝∠CAD∠BAC；
（3）∠AFC＝∠AFB＝90°；
（4）S△ABC＝2S△ABD＝2S△ACD．
故答案为：（1）EC，BC；
（2）∠CAD，∠BAC；
（3）∠AFB；
（4）2S△ABD，2S△ACD．
【举一反三8】如图，在△ABC中，
①若AD是∠BAC的平分线，则∠　 　＝∠　 　∠　 　；
②若AE＝CE，则BE是AC边上的　 　；
③若CF是AB边上的高，则∠　 　＝∠　 　＝90°，CF　 　AB．
【答案】BAD，CAD，BAC，中线，AFC，BFC，⊥
【解析】在△ABC中，
①若AD是∠BAC的平分线，则∠BAD＝∠CAD∠BAC；
②若AE＝CE，则BE是AC边上的中线；
③若CF是AB边上的高，则∠AFC＝∠BFC＝90°，CF⊥AB．
故答案为：BAD，CAD，BAC，中线，AFC，BFC，⊥．
【题型12】画三角形的角平分线、高线、中线
【典型例题】下列各图中，正确画出AC边上的高的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．
故选：D．
【举一反三1】画△ABC的边AC上的高，下列三角板摆放位置正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A，B，D都不是△ABC的边AC上的高，
故选：C．
【举一反三2】画出三角形所有的中线
（1）边BC上的中线是　 　；
（2）边AC上的中线是　 　；
（3）边AB上的中线是　 　．
【答案】（1）AD；（2）BE；（3）CF
【解析】如图所示：
（1）边BC上的中线是AD；
（2）边AC上的中线是BE；
（3）边AB上的中线是CF．
故答案为AD；BE；CF．
【举一反三3】如图，在△ABC中画出高线AF、中线AE、角平分线AD．再填空．
（1）∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠　 　＝∠　 　∠　 　（角平分线的定义）．
（2）∵AE是△ABC的中线．
∴　　 ＝　 　 （ 　 　）．
（3）∵AF是△ABC的高线．
∴∠　 　＝90°（高线的定义）．
【答案】（1）BAD；DAC；BAC；（2）BE；EC；三角形中线的定义；（3）F
【解析】（1）∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC∠BAC（角平分线的定义）；
（2）∵AE是△ABC的中线，
∴BE＝EC（三角形中线的定义），
（3）∵AF是△ABC的高线．
∴∠F＝90°（高线的定义）．
故答案为：（1）BAD；DAC；BAC；
（2）BE；EC；三角形中线的定义；
（3）F．
【举一反三4】如图，已知△ABC．
（1）画出△ABC的高BD；
（2）画出△ABC的角平分线AE．
【答案】解　（1）如图，线段BD即为所求；
（2）如图，线段AE即为所求．
【题型13】三角形中线均分三角形面积
【典型例题】如图，△ABD与△ADC的面积相等，线段AD应该是△ABC的（　　）
A.角平分线 B.中线 C.高线 D.不能确定
【答案】B
【解析】∵△ABD与△ADC的面积相等，
∴线段AD应该是△ABC的中线，
故选：B．
【举一反三1】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，阴影部分的面积为2，则△ABC的面积是（　　）
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】B
【解析】∵阴影部分的面积为2，
∴S△EBD+S△ACE＝2，
在△ABC中，D是BC的中点，
∴AD为△ABC的中线，ED为△EBC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD，S△EBD＝S△ECD，
∴S△ABD﹣S△EBD＝S△ACD﹣S△ECD，
∴S△ABE＝S△ACE，
∵点E为AD的中点，
∴CE是△ACD的中线，
∴S△ACE＝S△ECD，
∴S△EBD＝S△ECD＝S△ABE＝S△ACE，
∴S△ABC＝2（S△EBD+S△ACE）＝2×2＝4．
故选：B．
【举一反三2】如图，已知点D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，若△ABC的面积为32，则四边形ADEF的面积为 　 　．
【答案】12．
【解析】∵点D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，
∴S△ABD＝S△CBD，S△ABF＝S△ADF，S△BDE＝S△CDE，S△BEF＝S△DEF，
∴S△ADFS△ABDS△ABC32＝8，
S△DEFS△BDES△BCDS△ABC32＝4，
∴S四边形ADEF＝S△ADF+S△DEF＝8+4＝12．
故答案为：12．
【举一反三3】如图，在△ABC中，E、D、F分别是AD、BF、CE的中点，若△DEF的面积是1cm2，则S△ABC＝　 　cm2．
【答案】7
【解析】连接CD，BE，AF，如图所示：
∵AE＝ED，三角形中线等分三角形的面积，
∴S△AEF＝S△DEF，
同理S△AEF＝S△AFC，
∴S△AEC＝2S△DEF；
同理可得：S△ABD＝2S△DEF，S△BFC＝2S△DEF，
∴S△ABC＝S△AEC+S△ABD+S△BFC+S△DEF＝2S△DEF+2S△DEF+2S△DEF+S△DEF＝7S△DEF＝7cm2，
故答案为：7．
【举一反三4】如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，连接EB，EC，CF⊥BE于点F．若BE＝9，CF＝8，求△ACE的面积．
【答案】解　∵CF⊥BE于点F，
∴S△BCEBE CF9×8＝36，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴S△CDES△BCE36＝18，
∵E是AD的中点，
∴S△ACE＝S△CDE＝18．
【举一反三5】如图，AM是△ABC的中线，若S△ABC＝20cm2，AC＝5cm，MD⊥AC，求MD的长．
【答案】解　∵AM是△ABC的中线，S△ABC＝20cm2，
∴△ABM的面积＝△ACM的面积△ABC的面积＝10（cm2），
∵AC＝5cm，MD⊥AC，
∴AC MD＝10，
∴5DM＝10，
解得：MD＝4cm，
∴MD的长为4cm．
【题型14】识别三角形的高线
【典型例题】如图，△ABC的边BC上的高是（　　）
A.线段AF B.线段DB C.线段CF D.线段BE
【答案】A
【解析】由图可得：△ABC的边BC上的高是AF．
故选：A．
【举一反三1】如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　）
A.线段AE B.线段BF C.线段AD D.线段CF
【答案】A
【解析】△ABC中，BC边上的高是线段AE．
故选：A．
【举一反三2】下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由图可得，线段BD是△ABC的高的图是D选项．
故选：D．
【举一反三3】如图：
（1）在△ABC中，BC边上的高是　 　；
（2）在△AEC中，AE边上的高是　 　；
（3）在△FEC中，EC边上的高是　　 ．
【答案】（1）AB（2）DC（3）EF
【解析】（1）在△ABC中，BC边上的高是AB；
（2）在△AEC中，AE边上的高是DC；
（3）在△FEC中，EC边上的高是EF；
故答案为：AB，DC，EF．
【举一反三4】如图，AE⊥BC于点E，以AE为高的三角形有哪些？
【答案】解　以AE为高的三角形有：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC共六个．
【题型15】三角形面积的计算与等面积法
【典型例题】如图所示，AD、CE、BF是△ABC的三条高，AB＝5，BC＝4，AD＝3则CE＝（　　）
A. B.3 C.4 D.5
【答案】A
【解析】因为AD、CE、BF是△ABC的三条高，AB＝5，BC＝4，AD＝3，
所以可得：BC ADAB CE，
可得：CE．
故选：A．
【举一反三1】如图，直角三角形的两直角边分别是3和4，AC＝5，则斜边上的高BD的长是（　　）
A.1.2 B.2.4 C.4.8 D.6
【答案】B
【解析】∵∠ABC＝90，BD⊥AC，
∴BD ACAB BC，即BD×5＝3×4，
解得BD＝2.4．
故选：B．
【举一反三2】如图，在△ABC中，BC＝4，AE，CD为△ABC的高，若AE＝6，CD＝3，则AB长为 　 　．
【答案】8
【解析】∵AE，CD为△ABC的高，
∴S△ABCBC AEAB CD，
∴BC AEAB CD，
∵BC＝4，AE＝6，CD＝3，
∴AB＝8，
故答案为：8．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，△ABC的边AB上的高CE与边BC上的高AD的比值是 　 　．
【答案】2
【解析】∵△ABC的边AB上的高为CE，边BC上的高为AD，AB＝2，BC＝4，
∴S△ABCAB×CEBC×AD，
即CE＝2AD，
∴CE：AD＝2，
故答案为：2．
【举一反三4】如图（1）所示，△ABC是直角三角形，BD是斜边上的高，若AB＝3，BC＝4，AC＝5，求BD的长．
解：因为S△ABCAB BC，S△ABCAC BD，所以AB BCAC BD，
所以3×4＝5BD，则BD，
以上求解的基本思想是以三角形的面积不变为相等关系，通过从不同角度表示同一三角形的面积来发现三角形各边及其上的高的关系，这种解决问题的方法我们常称为“面积法”，根据你的理解回答下面的问题：
如图（2）所示，△ABC中，AD，CE都是△ABC的高，且AD＝3cm，CE＝2cm，AB＝6cm，求CB的长．
【答案】解　因为S△ABCBC ADAB CE，所以BC AD＝AB CE，
所以3BC＝6×2，则BC＝4cm．
【题型16】结合三角形的角平分线、高线、中线求角
【典型例题】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（　　）
A.25° B.35° C.45° D.55°
【答案】B
【解析】∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠EAD+∠2，
∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝40°﹣25°＝15°，
Rt△ABD中，∠B＝180°-90°﹣∠BAD＝90°﹣40°﹣15°＝35°．
故选：B．
【举一反三1】如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC，交AC于点F．已知∠AFE＝64°，则∠FEC的度数为（　　）
A.64° B.32° C.36° D.26°
【答案】B
【解析】∵EF∥BC，∠AFE＝64°，
∴∠ABC＝∠AFE＝64°，∠EFC=180°-∠AFE=116°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ECF∠ACB64°＝32°，
∴∠FEC＝180°-∠EFC﹣∠ECF＝180°-116°﹣32°＝32°．
故选：B．
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝70°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点F，则∠BFD的度数是（　　）
A.30° B.50° C.60° D.70°
【答案】C
【解析】在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE∠ABC＝30°，
∵AD⊥BC，
∴△BDF为直角三角形，
∴∠BFD＝180°-90°﹣∠CBE＝60°．
故选：C．
【举一反三3】如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC，交AC于点F．已知∠AFE＝64°，则∠FEC的度数为（　　）
A.64° B.32° C.36° D.26°
【答案】B
【解析】∵EF∥BC，∠AFE＝64°，
∴∠ABC＝∠AFE＝64°，∠EFC=180°-∠AFE=116°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ECF∠ACB64°＝32°，
∴∠FEC＝180°-∠EFC﹣∠ECF＝180°-116°﹣32°＝32°．
故选：B．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝70°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点F，则∠BFD的度数是（　　）
A.30° B.50° C.60° D.70°
【答案】C
【解析】在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE∠ABC＝30°，
∵AD⊥BC，
∴△BDF为直角三角形，
∴∠BFD＝180°-90°﹣∠CBE＝60°．
故选：C．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C＝70°．
（1）求∠AOB的度数；
（2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数．
【答案】解　（1）∵AE、BF是∠BAC、∠ABC的角平分线，
∴，
在△ABC中，∠C＝70°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝110°，
∴；
（2）∵在△ABC中，AD是高，∠C＝70°，∠ABC＝60°，
∴∠DAC＝180°-90°﹣∠C＝180°-90°﹣70°＝20°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝50°
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°，
∴∠DAE＝5°．
【举一反三6】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的高线，CE是∠ACB的角平分线，且∠CEB＝105°，分别求∠ECB，∠ECD的大小．
【答案】解　∵∠ACB＝90°，CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ECB∠ACB90°＝45°．
∵∠AEC+∠CEB＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CEB＝75°．
在△CDE中，∠CDE+∠CED+∠ECD＝180°，
∴∠ECD＝180°﹣∠CDE﹣∠CED＝180°﹣90°﹣75°＝15°．
【题型17】结合三角形的角平分线、高线、中线求边
【典型例题】如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，则AC的长为（　　）
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
【答案】C
【解析】∵CM为△ABC的AB边上的中线，
∴AM＝BM，
∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，
∴（BC+BM+CM）﹣（AC+AM+CM）＝3cm，
∴BC﹣AC＝3cm，
∵BC＝8cm，
∴AC＝5cm，
故选：C．
【举一反三1】如图，AE是△ABC的中线，点D是BE上一点，若BD＝5，CD＝9，则CE的长为（　　）
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】C
【解析】∵BD＝5，CD＝9，
∴BC＝BD+CD＝14，
∵AE是△ABC的中线，
∴CE＝BEBC＝7，
故选：C．
【举一反三2】如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（　　）
A.14 B.1 C.2 D.7
【答案】C
【解析】∵如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD．
∵△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ADC的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD，
∴△ABD与△ADC的周长之差为：AB﹣AC＝8﹣6＝2．
故选：C．
【举一反三3】如图，BD是△ABC的中线，AB＝6，BC＝4，则△ABD周长比△BCD的周长大 　 　．
【答案】2
【解析】∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（BC+CD+BD），
＝AB+AD+BD﹣BC﹣CD﹣BD，
＝AB﹣BC，
∵AB＝6，BC＝4，
∴△ABD和△BCD的周长差＝6﹣4＝2．
答：△ABD和△BCD的周长差为2．
故答案为：2．
【举一反三4】如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 　 　cm．
【答案】23
【解析】∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝10﹣7＝3（cm），
∵△ACD的周长为20cm，AB比AC长3cm，
∴△ABD周长为：20+3＝23（cm）．
故答案为23．
【举一反三5】在△ABC中，BC＝8，AB＝1；
（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．
【答案】解　（1）由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，
∴7＜AC＜9，
∵AC是整数，
∴AC＝8；
（2）∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为10，
∴AB+AD+BD＝10，
∵AB＝1，
∴AD+BD＝9，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+BD＝8+9＝17．
【举一反三6】如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成55和45两部分，求AC和AB的长．
【答案】解　设BC＝2x，则AC＝4x，
∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD＝x，
由题意得：x+4x＝55，AB+x＝45，
解得：x＝11，AB＝34，
∴AC＝4x＝44，
∵AB+BC＞AC，
∴AC的长为44，AB的长为34，
答：AC的长为44，AB的长为34．

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