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1.7角平分线的性质
【题型1】根据角平分线的性质求线段长 4
【题型2】角平分线的性质与面积计算 7
【知识点1】角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE
1.（2024秋 息县期末）如图，在△ABC中，AB=10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为（　　） A．1B．2C．3D．5
【答案】C 【分析】过D作DF⊥AB于F，根据AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，得DE=DF，由△ABD的面积为15，AB=10，可得DF=3，故DE=3． 【解答】解：过D作DF⊥AB于F，如图：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，
∵△ABD的面积为15，
∴AB DF=15，
∵AB=10，
∴DF=3，
∴DE=3；
故选：C． 2.（2025春 市南区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①S△ABE＞S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④AD BC=AB AC，其中结论正确的有（　　） A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B 【分析】根据三角形的中线平分面积判断①，等角的余角结合对顶角，判断②，同角的余角，结合角平分线的定义判断③，等积法，判断④即可． 【解答】解：根据三角形的中线、角平分线、高线性质逐项分析判断如下：
∵BE是△ABC的中线，
∴S△ABE=S△BCE，故①错误；
∵CF是△ABC的角平分线，
∴，
∵∠BAC=90°，AD是△ABC的高，
∴∠ACF+∠AFC=90°，∠CGD+∠BCF=90°，
∴∠AFC=∠CGD，
∵∠AGF=∠CGD，
∴∠AFG=∠AGF；故②正确；
∵∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠ACB，即：∠FAG=∠ACB=2∠ACF；故③正确；
∵，
∴AD BC=AB AC；故④正确；
故选：B． 【知识点2】作图—基本作图 基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线． 1.（2025 通许县一模）如图，AB是⊙O的弦，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点P，连接OP，交⊙O于点C，连接AC．若∠AOB=160°，则∠CAB的度数是（　　） A．70°B．35°C．40°D．20°
【答案】C 【分析】由作图可知OP垂直平分AB，即得，即可得，进而由圆周角定理即可求解． 【解答】解：由作图过程可知OP垂直平分AB，
∴，
∴，
故选：C．
【题型1】根据角平分线的性质求线段长
【典型例题】如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若△ABC面积为30cm2，AB＝8cm，AC＝7cm，则DE的长为（　　）
A.4cm B.3cm C.2cm D.5cm
【答案】A
【解析】∵AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴，
∴，
解得DE＝4cm，
故选：A．
【举一反三1】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知AC＝6cm，则BD+DE的和为（　　）
A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm
【答案】B
【解析】CD＝DE，
∴BD+DE＝BD+CD＝BC＝AC＝6cm．
故选：B．
【举一反三2】如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，若△BCE的面积为9，则DE的长为 　 　．
【答案】3
【解析】过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，
∴DE＝EF，
∵S△BCEBC×EF＝9，
∴6×EF＝9，
∴EF＝DE＝3，
故答案为：3．
【举一反三3】如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长．
【答案】（1）证明　∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED＝∠BFD＝90°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴DE＝DF；
（2）解　∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝5，
∴S△ABDAB DE＝40，
∴S△BCDBC DF＝70﹣40＝30，
∴BC＝12．
【举一反三4】已知：如图，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P与AB垂直，求证：P是AD的中点．
【答案】证明　如图，过点P作PE⊥BC于点E．
∵如图，AB∥CD，AD过点P与AB垂直，
∴AD⊥AB，AD⊥CD．
∵PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，
∴AP＝EP，EP＝DP，
∴AP＝DP，即点P是AD的中点．
【题型2】角平分线的性质与面积计算
【典型例题】如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2．
A.24 B.27 C.30 D.33
【答案】B
【解析】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝3，
同理可得OF＝OD＝3，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC
OE×ABOD×BCOF×AC
（AB+BC+AC），
∵△ABC的周长是18，
∴S△ABC18＝27（cm2）．
故选：B．
【举一反三1】如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB的中点，△ABC的面积为21，AC＝6，AB＝8，则△BED的面积为（　　）
A. B.5 C.6 D.
【答案】C
【解析】∵AD是△ABC的角平分线，
∴点D到AB和AC的距离相等，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝8：6＝4：3，
∴S△ABDS△ABC21＝12，
∵E是AB的中点，
∴S△BEDS△ABD12＝6．
故选：C．
【举一反三2】如图，在△ABC中，AD平分角BAC，AB＝6，AC＝4，△ABD的面积为9，则△ADC的面积为　 　．
【答案】6
【解析】作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD平分角BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴△ABD的面积：△ADC的面积＝AB：AC，
∵△ABD的面积为9，
∴△ADC的面积为6，
故答案为：6．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AC＝6cm，AB＝9cm，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE＝AC，连接DE，已知DE＝2cm，BD＝3cm．求：
（1）线段BC的长；
（2）若∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，请用含a的代数式表示△ABC的面积．
【答案】解　（1）∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中
∵，
∴△ADE≌△ADC（SAS）
∴DE＝DC，
∴BC＝BD+DC＝BD+DE＝2+3＝5（cm）；
（2）如图，∵∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，
∴S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC6a9a5a＝3aaa＝10a（cm）2．1.7角平分线的性质
【题型1】根据角平分线的性质求线段长 3
【题型2】角平分线的性质与面积计算 4
【知识点1】角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE
1.（2024秋 息县期末）如图，在△ABC中，AB=10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为（　　） A．1B．2C．3D．5
2.（2025春 市南区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①S△ABE＞S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④AD BC=AB AC，其中结论正确的有（　　） A．2个B．3个C．4个D．5个
【知识点2】作图—基本作图 基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线． 1.（2025 通许县一模）如图，AB是⊙O的弦，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点P，连接OP，交⊙O于点C，连接AC．若∠AOB=160°，则∠CAB的度数是（　　） A．70°B．35°C．40°D．20°
【题型1】根据角平分线的性质求线段长
【典型例题】如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若△ABC面积为30cm2，AB＝8cm，AC＝7cm，则DE的长为（　　）
A.4cm B.3cm C.2cm D.5cm
【举一反三1】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知AC＝6cm，则BD+DE的和为（　　）
A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm
【举一反三2】如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，若△BCE的面积为9，则DE的长为 　 　．
【举一反三3】如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长．
【举一反三4】已知：如图，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P与AB垂直，求证：P是AD的中点．
【题型2】角平分线的性质与面积计算
【典型例题】如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2．
A.24 B.27 C.30 D.33
【举一反三1】如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB的中点，△ABC的面积为21，AC＝6，AB＝8，则△BED的面积为（　　）
A. B.5 C.6 D.
【举一反三2】如图，在△ABC中，AD平分角BAC，AB＝6，AC＝4，△ABD的面积为9，则△ADC的面积为　 　．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AC＝6cm，AB＝9cm，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE＝AC，连接DE，已知DE＝2cm，BD＝3cm．求：
（1）线段BC的长；
（2）若∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，请用含a的代数式表示△ABC的面积．

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