资源简介

1.5三角形全等的判定
【题型1】用SSS判定三角形全等 19
【题型2】用SSS证明边或角相等 20
【题型3】三角形的稳定性 21
【题型4】用SAS判定三角形全等 23
【题型5】用SAS证明边或角相等 24
【题型6】作一个角等于已知角 25
【题型7】用ASA判定三角形全等 27
【题型8】用ASA证明边或角相等 28
【题型9】用AAS判定三角形全等 29
【题型10】用AAS证明边或角相等 31
【题型11】全等三角形的实际应用 32
【题型12】动点问题中的全等 34
【题型1】用SSS判定三角形全等 【典型例题】某中学八年级同学在听了“天宫课堂”第三课后，组成了数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，ED＝DF，那么△AED≌△AFD的依据是（　　） A.SAS B.ASA C.HL D.SSS
【举一反三1】如图，AC＝AD，BC＝BD，这样可以证明△ABC≌△ABD．其依据是（　　） A.SSS B.SAS C.SSA D.ASA
【举一反三2】下列条件中，可以判断两个三角形全等的是（　　） A.一条边对应相等 B.两条边对应相等 C.三个角对应相等 D.三条边对应相等
【举一反三3】如图，若AB＝DE，　 ，BE＝CF，则根据“SSS”可得△ABC≌△DEF． 【举一反三4】如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，AF＝DE，求证：△ABF≌△DCE． 【举一反三5】如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，请添加一个条件 　 　，使得△ABC≌△ADC；并写出证明△ABC≌△ADC的过程． 【题型2】用SSS证明边或角相等 【典型例题】如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（　　） A.∠EDBB.∠BEDC.2∠ABFD.∠AFB
【举一反三1】如图，在纸板上先任意画一个△ABC，再画一个△DEF，使AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，将△DEF剪下来，放到△ABC上，它们完全重合吗？（　　） A.重合 B.不重合 C.不一定重合 D.无法判断
【举一反三2】已知：如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：AB∥CD． 【举一反三3】如图，若AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠CAD＝40°，则∠DCF的度数是 　 　． 【举一反三4】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，求证：AD⊥BC． 【举一反三5】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：∠A＝∠C． 【题型3】三角形的稳定性 【典型例题】如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB和CD）．这样做的依据是（　　） A.矩形的对称性 B.三角形的稳定性 C.两点之间线段最短 D.垂线段最短
【举一反三1】以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（　　） A. B. C. D.
【举一反三2】下列图形中，具有稳定性的是（　　） A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在上网课时把平板放在三角形支架上用到的数学道理是 　 　． 【举一反三4】说说你的理由： 如图，这使一个栅栏不变形，工人在栅栏的背面加钉了一根木条，这样做的道理是：　 　． 【举一反三5】有一个人用四根木条钉了一个四边形的模具，两根木条连接处钉一颗钉子，但他发现这个模具老是走形，为什么？如果他想把这个模具固定，再给一根木条给你，你怎么把它固定下来，画出示意图，并说出理由． 【题型4】用SAS判定三角形全等 【典型例题】如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
【举一反三1】如图，已知：∠1＝∠2，要证明△ABC≌△AED，还需补充的条件是（　　） A.AB＝AE，BC＝DE B.AB＝AE，AC＝AD C.AC＝AE，BC＝DE D.以上都不对
【举一反三2】用尺规作一个角等于已知角．已知∠AOB．求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．作法如下： （1）作射线EG； （2）以①为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P、交OB于点Q； （3）以点E为圆心，以②为半径画弧交EG于点D； （4）以点D为圆心，以③为半径画弧交前面的弧于点F； （5）过点F作④，∠DEF即为所求作的角． 以上作图步骤中，序号代表的内容错误的是（　　） A.①表示点O B.②表示OP C.③表示OQ D.④表示射线EF
【举一反三3】如图，已知∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACD需要添加的一个条件是 　 　． 【举一反三4】如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE． 【举一反三5】如图，在△ABC中，D是BC的中点，连接AD并延长至点E，使得AD＝DE． 求证：△ADB≌△EDC． 【题型5】用SAS证明边或角相等 【典型例题】如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC的取值范围为（　　） A.3＜AC＜17 B.3＜AC＜15 C.1＜AC＜6 D.2＜AC＜12
【举一反三1】如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝75°，则∠AFD的度数等于（　　） A.30° B.32° C.33° D.35°
【举一反三2】如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝10cm，CF＝3cm，则AC＝　 　cm． 【举一反三3】如图，AB＝DE，BC＝EC，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D． 【题型6】作一个角等于已知角 【典型例题】如图，是用尺规作一个角等于已知角的示意图，由作图可得△COD≌△C′O′D′，故∠A′O′B′＝∠AOB．其中说明△COD≌△C′O′D′的依据是（　　） A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
【举一反三1】用尺规作一个角等于已知角．已知∠AOB．求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．作法如下： （1）作射线EG； （2）以①为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P、交OB于点Q； （3）以点E为圆心，以②为半径画弧交EG于点D； （4）以点D为圆心，以③为半径画弧交前面的弧于点F； （5）过点F作④，∠DEF即为所求作的角． 以上作图步骤中，序号代表的内容错误的是（　　） A.①表示点O B.②表示OP C.③表示OQ D.④表示射线EF
【举一反三2】如图，用尺规作一个角等于已知角时，以O′为圆心，以线段 　 　的长度为半径画弧． 【举一反三3】如图，在三角形ABC中，∠ACB＞∠ABC，利用尺规在∠ACB的内部作∠ACD，使得∠ACD＝∠ABC，射线CD交AB于点D．（不写作法，但保留作图痕迹） 【题型7】用ASA判定三角形全等 【典型例题】一块三角形玻璃被打碎后，店员带着如图所示的一片碎玻璃去重新配一块与原来全等的三角形玻璃，能够全等的依据是（　　） A.ASA B.AAS C.SAS D.SSS
【举一反三1】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（　　） A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
【举一反三2】在△ABC和△A'B'C'中，已知∠A＝∠A′，∠B＝∠B'，AB＝A'B'，那么△ABC≌△A′B′C′运用的判定方法是（　　） A.SAS B.AAS C.ASA D.SSS
【举一反三3】两角及其 　 　分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）． 几何语言： 在△ABC与△A'B'C'中， 所以△ABC≌　 　（ 　 　）． 【举一反三4】已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD．求证：△ABC≌△CDA．小华证明过程如下框： 小华的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”，若错误，请写出你的证明过程． 【题型8】用ASA证明边或角相等 【典型例题】如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝7，则CD的长为（　　） A.5.5 B.4 C.4.5 D.3
【举一反三1】如图，△ABC的面积为12cm2，AP垂直于∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　） A.9cm2 B.8cm2 C.6cm2 D.5cm2
【举一反三2】如图，已知EB＝FD，∠EBA＝∠FDC，∠E＝∠F，AD＝10，BC＝4，则AC＝　 　． 【举一反三3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE． （1）求证：△ABD≌△ECB； （2）如果∠BDC＝75°，求∠ADB的度数． 【举一反三4】如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，AD∥BC，且AD＝BE． （1）证明：△ABD≌△ECB； （2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度． 【题型9】用AAS判定三角形全等 【典型例题】如图，加条件能满足AAS来判断△ACD≌△ABE的条件是（　　） A.∠AEB＝∠ADC，∠C＝∠D B.∠AEB＝∠ADC，CD＝BE C.AC＝AB，AD＝AE D.AC＝AB，∠C＝∠B
【举一反三1】如图，点B、E、C、F在同一直线上，已知∠A＝∠D，∠B＝DEF，要直接利用AAS说明△ABC≌△DEF，可补充的条件是（　　） A.∠ACB＝∠F B.AB＝DF C.AB＝DE D.AC＝DF
【举一反三2】如图，加条件能满足AAS来判断△ACD≌△ABE的条件是（　　） A.∠AEB＝∠ADC，∠C＝∠D B.∠AEB＝∠ADC，CD＝BE C.AC＝AB，AD＝AE D.AC＝AB，∠C＝∠B
【举一反三3】如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD＝BE． （1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明．你添加的条件是　 　． （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形　 　．（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程） 【举一反三4】如图所示，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，若要使△ACF≌△DBE，则还需要补充一个条件：　 　． 【举一反三5】两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？ 【题型10】用AAS证明边或角相等 【典型例题】如图，∠1＝∠2，∠C＝∠B，结论中不正确的是（　　） A.△DAB≌△DAC B.△DEA≌△DFA C.CD＝DE D.∠AED＝∠AFD
【举一反三1】如图，AB＝CD，∠A＝∠C，AO＝3，则AC＝（　　） A.6 B.3 C.9 D.12
【举一反三2】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，且BD＝CE，BE与CD交于点O，则从下列三 个条件①∠B＝∠C②∠BDO＝∠CEO③OD＝OE中选一个能使OB＝OC成立的是（　　） A.① B.①或② C.②或③ D.①或②或③
【举一反三3】如图：在四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB于E，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为　 　． 【举一反三4】如图，AD平分∠BAC，∠B＝∠C． （1）求证：BD＝CD； （2）若∠B＝∠BDC＝100°，求∠BAD的度数． 【举一反三5】如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF． （1）求证：△ACE≌△BDF； （2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长． 【题型11】全等三角形的实际应用 【典型例题】小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（　　）去． A.第1块 B.第2块 C.第3块 D.第4块
【举一反三1】如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（　　） A.SSS B.SAS C.ASA D.HL
【举一反三2】如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块，小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（　　） A.AB，BC，AC B.AB，BC，∠B C.AB，AC，∠B D.∠A，∠B，BC
【举一反三3】小明想知道一堵墙上点A的高度（AO⊥OD），但又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案，请你先补全方案，再说明理由． 第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠　 　＝∠　 　．标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量　 　的长度，即为点A的高度． 说明理由； 【举一反三4】如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明通过构造△ABC与△BCD来测量A，B间的距离，其中AC＝CD，∠ACB＝∠BCD．那么量出的BD的长度就是AB的距离．请你判断小明这个方法正确与否，并给出相应理由． 【举一反三5】如图，测量一池塘的宽度．测量点B，F，C，E在直线l上，测量点A，D在直线l的异侧，且AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D． （1）求证：△ABC≌△DEF． （2）若BE＝100，BF＝30，求CF的长． 【题型12】动点问题中的全等 【典型例题】如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是 　 　秒． 【举一反三1】如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝10cm，AC＝5cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米秒的速度沿射线AN包括点A）运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动 　 　秒时，△DEB与△BCA全等． 【举一反三2】如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【举一反三3】如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边AB→BC运动，到点C停止，速度为3cm/s，设运动时间为t． （1）如图①，当t＝　 　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； （2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AC运动，到点C停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好使△APQ与△DEF全等，求点Q的运动速度．
【题型1】用SSS判定三角形全等
【典型例题】某中学八年级同学在听了“天宫课堂”第三课后，组成了数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，ED＝DF，那么△AED≌△AFD的依据是（　　）
A.SAS B.ASA C.HL D.SSS
【举一反三1】如图，AC＝AD，BC＝BD，这样可以证明△ABC≌△ABD．其依据是（　　）
A.SSS B.SAS C.SSA D.ASA
【举一反三2】下列条件中，可以判断两个三角形全等的是（　　）
A.一条边对应相等 B.两条边对应相等 C.三个角对应相等 D.三条边对应相等
【举一反三3】如图，若AB＝DE，　 ，BE＝CF，则根据“SSS”可得△ABC≌△DEF．
【举一反三4】如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，AF＝DE，求证：△ABF≌△DCE．
【举一反三5】如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，请添加一个条件 　 　，使得△ABC≌△ADC；并写出证明△ABC≌△ADC的过程．
【题型2】用SSS证明边或角相等
【典型例题】如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（　　）
A.∠EDB B.∠BED C.2∠ABF D.∠AFB
【举一反三1】如图，在纸板上先任意画一个△ABC，再画一个△DEF，使AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，将△DEF剪下来，放到△ABC上，它们完全重合吗？（　　）
A.重合 B.不重合 C.不一定重合 D.无法判断
【举一反三2】已知：如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：AB∥CD．
【举一反三3】如图，若AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠CAD＝40°，则∠DCF的度数是 　 　．
【举一反三4】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，求证：AD⊥BC．
【举一反三5】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：∠A＝∠C．
【题型3】三角形的稳定性
【典型例题】如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB和CD）．这样做的依据是（　　）
A.矩形的对称性 B.三角形的稳定性 C.两点之间线段最短 D.垂线段最短
【举一反三1】以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】下列图形中，具有稳定性的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在上网课时把平板放在三角形支架上用到的数学道理是 　 　．
【举一反三4】说说你的理由：
如图，这使一个栅栏不变形，工人在栅栏的背面加钉了一根木条，这样做的道理是：　 　．
【举一反三5】有一个人用四根木条钉了一个四边形的模具，两根木条连接处钉一颗钉子，但他发现这个模具老是走形，为什么？如果他想把这个模具固定，再给一根木条给你，你怎么把它固定下来，画出示意图，并说出理由．
【题型4】用SAS判定三角形全等
【典型例题】如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　）
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
【举一反三1】如图，已知：∠1＝∠2，要证明△ABC≌△AED，还需补充的条件是（　　）
A.AB＝AE，BC＝DE B.AB＝AE，AC＝AD C.AC＝AE，BC＝DE D.以上都不对
【举一反三2】用尺规作一个角等于已知角．已知∠AOB．求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．作法如下：
（1）作射线EG；
（2）以①为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P、交OB于点Q；
（3）以点E为圆心，以②为半径画弧交EG于点D；
（4）以点D为圆心，以③为半径画弧交前面的弧于点F；
（5）过点F作④，∠DEF即为所求作的角．
以上作图步骤中，序号代表的内容错误的是（　　）
A.①表示点O B.②表示OP C.③表示OQ D.④表示射线EF
【举一反三3】如图，已知∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACD需要添加的一个条件是 　 　．
【举一反三4】如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE．
【举一反三5】如图，在△ABC中，D是BC的中点，连接AD并延长至点E，使得AD＝DE．
求证：△ADB≌△EDC．
【题型5】用SAS证明边或角相等
【典型例题】如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC的取值范围为（　　）
A.3＜AC＜17 B.3＜AC＜15 C.1＜AC＜6 D.2＜AC＜12
【举一反三1】如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝75°，则∠AFD的度数等于（　　）
A.30° B.32° C.33° D.35°
【举一反三2】如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝10cm，CF＝3cm，则AC＝　 　cm．
【举一反三3】如图，AB＝DE，BC＝EC，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．
【题型6】作一个角等于已知角
【典型例题】如图，是用尺规作一个角等于已知角的示意图，由作图可得△COD≌△C′O′D′，故∠A′O′B′＝∠AOB．其中说明△COD≌△C′O′D′的依据是（　　）
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
【举一反三1】用尺规作一个角等于已知角．已知∠AOB．求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．作法如下：
（1）作射线EG；
（2）以①为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P、交OB于点Q；
（3）以点E为圆心，以②为半径画弧交EG于点D；
（4）以点D为圆心，以③为半径画弧交前面的弧于点F；
（5）过点F作④，∠DEF即为所求作的角．
以上作图步骤中，序号代表的内容错误的是（　　）
A.①表示点O B.②表示OP C.③表示OQ D.④表示射线EF
【举一反三2】如图，用尺规作一个角等于已知角时，以O′为圆心，以线段 　 　的长度为半径画弧．
【举一反三3】如图，在三角形ABC中，∠ACB＞∠ABC，利用尺规在∠ACB的内部作∠ACD，使得∠ACD＝∠ABC，射线CD交AB于点D．（不写作法，但保留作图痕迹）
【题型7】用ASA判定三角形全等
【典型例题】一块三角形玻璃被打碎后，店员带着如图所示的一片碎玻璃去重新配一块与原来全等的三角形玻璃，能够全等的依据是（　　）
A.ASA B.AAS C.SAS D.SSS
【举一反三1】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（　　）
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
【举一反三2】在△ABC和△A'B'C'中，已知∠A＝∠A′，∠B＝∠B'，AB＝A'B'，那么△ABC≌△A′B′C′运用的判定方法是（　　）
A.SAS B.AAS C.ASA D.SSS
【举一反三3】两角及其 　 　分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）．
几何语言：
在△ABC与△A'B'C'中，
所以△ABC≌　 　（ 　 　）．
【举一反三4】已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD．求证：△ABC≌△CDA．小华证明过程如下框：
小华的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”，若错误，请写出你的证明过程．
【题型8】用ASA证明边或角相等
【典型例题】如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝7，则CD的长为（　　）
A.5.5 B.4 C.4.5 D.3
【举一反三1】如图，△ABC的面积为12cm2，AP垂直于∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　）
A.9cm2 B.8cm2 C.6cm2 D.5cm2
【举一反三2】如图，已知EB＝FD，∠EBA＝∠FDC，∠E＝∠F，AD＝10，BC＝4，则AC＝　 　．
【举一反三3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）如果∠BDC＝75°，求∠ADB的度数．
【举一反三4】如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，AD∥BC，且AD＝BE．
（1）证明：△ABD≌△ECB；
（2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度．
【题型9】用AAS判定三角形全等
【典型例题】如图，加条件能满足AAS来判断△ACD≌△ABE的条件是（　　）
A.∠AEB＝∠ADC，∠C＝∠D B.∠AEB＝∠ADC，CD＝BE C.AC＝AB，AD＝AE D.AC＝AB，∠C＝∠B
【举一反三1】如图，点B、E、C、F在同一直线上，已知∠A＝∠D，∠B＝DEF，要直接利用AAS说明△ABC≌△DEF，可补充的条件是（　　）
A.∠ACB＝∠F B.AB＝DF C.AB＝DE D.AC＝DF
【举一反三2】如图，加条件能满足AAS来判断△ACD≌△ABE的条件是（　　）
A.∠AEB＝∠ADC，∠C＝∠D B.∠AEB＝∠ADC，CD＝BE C.AC＝AB，AD＝AE D.AC＝AB，∠C＝∠B
【举一反三3】如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD＝BE．
（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明．你添加的条件是　 　．
（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形　 　．（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）
【举一反三4】如图所示，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，若要使△ACF≌△DBE，则还需要补充一个条件：　 　．
【举一反三5】两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？
【题型10】用AAS证明边或角相等
【典型例题】如图，∠1＝∠2，∠C＝∠B，结论中不正确的是（　　）
A.△DAB≌△DAC B.△DEA≌△DFA C.CD＝DE D.∠AED＝∠AFD
【举一反三1】如图，AB＝CD，∠A＝∠C，AO＝3，则AC＝（　　）
A.6 B.3 C.9 D.12
【举一反三2】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，且BD＝CE，BE与CD交于点O，则从下列三
个条件①∠B＝∠C②∠BDO＝∠CEO③OD＝OE中选一个能使OB＝OC成立的是（　　）
A.① B.①或② C.②或③ D.①或②或③
【举一反三3】如图：在四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB于E，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为　 　．
【举一反三4】如图，AD平分∠BAC，∠B＝∠C．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若∠B＝∠BDC＝100°，求∠BAD的度数．
【举一反三5】如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．
【题型11】全等三角形的实际应用
【典型例题】小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（　　）去．
A.第1块 B.第2块 C.第3块 D.第4块
【举一反三1】如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（　　）
A.SSS B.SAS C.ASA D.HL
【举一反三2】如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块，小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（　　）
A.AB，BC，AC B.AB，BC，∠B C.AB，AC，∠B D.∠A，∠B，BC
【举一反三3】小明想知道一堵墙上点A的高度（AO⊥OD），但又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案，请你先补全方案，再说明理由．
第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO；
第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠　 　＝∠　 　．标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量　 　的长度，即为点A的高度．
说明理由；
【举一反三4】如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明通过构造△ABC与△BCD来测量A，B间的距离，其中AC＝CD，∠ACB＝∠BCD．那么量出的BD的长度就是AB的距离．请你判断小明这个方法正确与否，并给出相应理由．
【举一反三5】如图，测量一池塘的宽度．测量点B，F，C，E在直线l上，测量点A，D在直线l的异侧，且AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）若BE＝100，BF＝30，求CF的长．
【题型12】动点问题中的全等
【典型例题】如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是 　 　秒．
【举一反三1】如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝10cm，AC＝5cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米秒的速度沿射线AN包括点A）运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动 　 　秒时，△DEB与△BCA全等．
【举一反三2】如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【举一反三3】如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边AB→BC运动，到点C停止，速度为3cm/s，设运动时间为t．
（1）如图①，当t＝　 　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
（2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AC运动，到点C停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好使△APQ与△DEF全等，求点Q的运动速度．1.5三角形全等的判定
【题型1】用SSS判定三角形全等 5
【题型2】用SSS证明边或角相等 8
【题型3】三角形的稳定性 11
【题型4】用SAS判定三角形全等 13
【题型5】用SAS证明边或角相等 16
【题型6】作一个角等于已知角 19
【题型7】用ASA判定三角形全等 21
【题型8】用ASA证明边或角相等 23
【题型9】用AAS判定三角形全等 27
【题型10】用AAS证明边或角相等 30
【题型11】全等三角形的实际应用 34
【题型12】动点问题中的全等 38
【知识点1】三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 1.（2024秋 宜州区期末）2024年10月15日至20日举行环广西公路自行车世界巡回赛，如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（　　） A．两点之间，线段最短B．三角形两边之和大于第三边C．三角形具有稳定性D．垂线段最短
【答案】C 【分析】三角形具有稳定性，由此即可得到答案． 【解答】解：自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是三角形具有稳定性．
故选：C． 2.（2024秋 北京期末）如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学依据是（　　） A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短C．三角形具有稳定性D．三角形的任意两边之和大于第三边
【答案】C 【分析】由三角形具有稳定性，即可得到答案． 【解答】解：木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学依据是三角形具有稳定性．
故选：C． 【知识点2】全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 1.（2024秋 临高县期末）如图，AE∥FD，AE=FD，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（　　） A．AB=BCB．EC=BFC．∠A=∠DD．AB=CD
【答案】D 【分析】添加条件AB=CD可证明AC=BD，然后再根据AE∥FD，可得∠A=∠D，再利用SAS定理证明△EAC≌△FDB即可． 【解答】解：∵AE∥FD，
∴∠A=∠D，
∵AB=CD，
∴AC=BD，
在△AEC和△DFB中，
∴△EAC≌△FDB（SAS），
故选：D． 【知识点3】作图—基本作图 基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线． 1.（2025春 长春期末）用直尺和圆规作△ABC的中线AD，作图正确的是（　　） A．B．C．D．
【答案】A 【分析】根据垂线的尺规作图及角平分线的尺规作图进行排除选项． 【解答】解：A、由图可知：尺规作图是作BC的垂直平分线，所以AD是△ABC的中线，故A符合题意；
B、由图可知：尺规作图是作AB的垂直平分线，所以AD不是△ABC的中线，故B不符合题意；
C、由图可知：AD不是△ABC的中线，故C不符合题意；
D、由图可知：AD是∠BAC的平分线，所以AD不是△ABC的中线，故D不符合题意；
故选：A． 2.（2025春 绿园区校级期中）如图，在正方形ABCD中，AB=3，连接AC．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC的延长线于点E，则CE的长为（　　） A．3B．C．4D．
【答案】B 【分析】由正方形的性质和勾股定理求出AC的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质求出∠CEA=∠CEA，得到CE=AC，即可求解． 【解答】解：由作图可知，AE平分∠CAD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，BC=AB=3，∠B=90°，
在Rt△ABC中，AC=3，
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠CEA=∠DAE，
∴∠CEA=∠DAE=∠CAE，
∴，
故选：B．
【题型1】用SSS判定三角形全等
【典型例题】某中学八年级同学在听了“天宫课堂”第三课后，组成了数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，ED＝DF，那么△AED≌△AFD的依据是（　　）
A.SAS B.ASA C.HL D.SSS
【答案】D
【解析】∵E，F分别是AB，AC的中点，AB＝AC，
∴AE＝AF，
在△AED与△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（SSS）．
故选：D．
【举一反三1】如图，AC＝AD，BC＝BD，这样可以证明△ABC≌△ABD．其依据是（　　）
A.SSS B.SAS C.SSA D.ASA
【答案】A
【解析】三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可证明△ABC≌△ABD（SSS）．
在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（SSS），
∴证明△ABC≌△ABD，其依据是SSS．
故选：A．
【举一反三2】下列条件中，可以判断两个三角形全等的是（　　）
A.一条边对应相等 B.两条边对应相等 C.三个角对应相等 D.三条边对应相等
【答案】D
【解析】∵全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，
∴A．不符合全等三角形的判定定理，即不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
B．不符合全等三角形的判定定理，即不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
C．不符合全等三角形的判定定理，即不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
D．符合SSS定理，即能推出两三角形全等，故本选项符合题意；
故选：D．
【举一反三3】如图，若AB＝DE，　 ，BE＝CF，则根据“SSS”可得△ABC≌△DEF．
【答案】AC＝DF
【解析】可添加AC＝DF，利用SSS来证明三角形全等，
理由如下：∵BE＝CF，
∴BC＝EF，且AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
故答案为：AC＝DF．
【举一反三4】如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，AF＝DE，求证：△ABF≌△DCE．
【答案】解　∵BE＝FC，
∴BE+EF＝FC+EF，即BF＝CE，
∴在△ABF与△DCE中，，
∴△ABF≌△DCE（SSS）．
【举一反三5】如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，请添加一个条件 　 　，使得△ABC≌△ADC；并写出证明△ABC≌△ADC的过程．
【答案】解　添加一个条件BC＝DC，证明如下：
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
故答案为：BC＝DC（答案不唯一）．
【题型2】用SSS证明边或角相等
【典型例题】如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（　　）
A.∠EDB B.∠BED C.2∠ABF D.∠AFB
【答案】D
【解析】在△ABC和△DEB中，，
∴△ABC≌△DEB （SSS），
∴∠ACB＝∠DBE．
∵∠AFB是△BFC的外角，
∴∠ACB+∠DBE＝∠AFB，
∠ACB∠AFB，
故选：D．
【举一反三1】如图，在纸板上先任意画一个△ABC，再画一个△DEF，使AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，将△DEF剪下来，放到△ABC上，它们完全重合吗？（　　）
A.重合 B.不重合 C.不一定重合 D.无法判断
【答案】A
【解析】在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴△ABC与△DEF能完全重合，
故选：A．
【举一反三2】已知：如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：AB∥CD．
【答案】解　在△ADC和△CBA中，
，
∴△ADC≌△CBA，
∴∠ACD＝∠CAB，
∴AB∥CD．
【举一反三3】如图，若AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠CAD＝40°，则∠DCF的度数是 　 　．
【答案】70°
【解析】在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠D＝∠B＝30°，
∵∠CAD＝40°，
∴∠DCF＝∠CAD+∠D＝70°，
故答案为：70°．
【举一反三4】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，求证：AD⊥BC．
【答案】证明　∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠ADB＝∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC．
【举一反三5】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：∠A＝∠C．
【答案】证明　如图，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠A＝∠C．
【题型3】三角形的稳定性
【典型例题】如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB和CD）．这样做的依据是（　　）
A.矩形的对称性 B.三角形的稳定性 C.两点之间线段最短 D.垂线段最短
【答案】B
【解析】木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条．这样做的依据是三角形的稳定性，
故选：B．
【举一反三1】以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A．木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性；
B．活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上变形，是利用三角形的稳定性；
C．伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形的稳定性；
D．小马扎的座面与张开的马扎腿形成三角形，三边与三角固定，防止坐上变形，是利用三角形的稳定性．
故选：C．
【举一反三2】下列图形中，具有稳定性的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A．四边形不具有稳定性，故A不符合题意，
B．对角线两侧是三角形，具有稳定性，故B符合题意，
C．对角线下方是四边形，不具有稳定性，故C不符合题意，
D．连线左侧是五边形，不具有稳定性，故D不符合题意，
故选：B．
【举一反三3】如图，在上网课时把平板放在三角形支架上用到的数学道理是 　 　．
【答案】三角形具有稳定性
【解析】在上网课时把平板放在三角形支架上用到的数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【举一反三4】说说你的理由：
如图，这使一个栅栏不变形，工人在栅栏的背面加钉了一根木条，这样做的道理是：　 　．
【答案】三角形具有稳定性
【解析】道理是：三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【举一反三5】有一个人用四根木条钉了一个四边形的模具，两根木条连接处钉一颗钉子，但他发现这个模具老是走形，为什么？如果他想把这个模具固定，再给一根木条给你，你怎么把它固定下来，画出示意图，并说出理由．
【答案】解　∵多边形ABCD是四边形，四边形具有不稳定性，
∴这个模具老是走形，
如图所示；在B、D处钉一颗钉子，把BD连接，
可以把把它固定下来，理由是三角形具有稳定性．
【题型4】用SAS判定三角形全等
【典型例题】如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　）
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
【答案】B
【解析】在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（SAS），
故选：B．
【举一反三1】如图，已知：∠1＝∠2，要证明△ABC≌△AED，还需补充的条件是（　　）
A.AB＝AE，BC＝DE B.AB＝AE，AC＝AD C.AC＝AE，BC＝DE D.以上都不对
【答案】B
【解析】∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
∵∠BAC和∠DAE的夹边分别是AB和AC、AE和AD，
∴只要AB＝AE，AC＝AD，符合SAS，则△ABC≌△AED，
故选：B．
【举一反三2】用尺规作一个角等于已知角．已知∠AOB．求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．作法如下：
（1）作射线EG；
（2）以①为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P、交OB于点Q；
（3）以点E为圆心，以②为半径画弧交EG于点D；
（4）以点D为圆心，以③为半径画弧交前面的弧于点F；
（5）过点F作④，∠DEF即为所求作的角．
以上作图步骤中，序号代表的内容错误的是（　　）
A.①表示点O B.②表示OP C.③表示OQ D.④表示射线EF
【答案】C
【解析】作法：（1）作射线EG；
（2）以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P、交OB于点Q；
（3）以点E为圆心，以OP为半径画弧交EG于点D；
（4）以点D为圆心，以PQ为半径画弧交前面的弧于点F；
（5）过点F作EF，∠DEF即为所求作的角．
∴内容错误的是“③”．
故选：C．
【举一反三3】如图，已知∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACD需要添加的一个条件是 　 　．
【答案】AC＝AB．（答案不唯一）
【解析】AC＝AB，理由如下，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：AC＝AB．
【举一反三4】如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE．
【答案】证明　∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC 和△ADE 中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
【举一反三5】如图，在△ABC中，D是BC的中点，连接AD并延长至点E，使得AD＝DE．
求证：△ADB≌△EDC．
【答案】证明　∵D为BC的中点，
∴BD＝CD．
在△ADB与△EDC中，
，
∴△ADB≌△EDC（SAS）．
【题型5】用SAS证明边或角相等
【典型例题】如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC的取值范围为（　　）
A.3＜AC＜17 B.3＜AC＜15 C.1＜AC＜6 D.2＜AC＜12
【答案】A
【解析】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．
在△ABD与△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB．
在△ACE中，AE﹣EC＜AC＜AE+CE，
即5+5﹣7＜AC＜5+5+7，
3＜AC＜17．
故选：A．
【举一反三1】如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝75°，则∠AFD的度数等于（　　）
A.30° B.32° C.33° D.35°
【答案】B
【解析】在△BDE和△BCA中，
，
∴△BDE≌△BCA（SAS），
∴∠BDE＝∠CBA＝75°，
∴∠C＝62°，
∴∠A＝180°﹣75°﹣62°＝43°，
∴∠AFD＝∠BDE﹣∠A＝75°﹣43°＝32°．
故选：B．
【举一反三2】如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝10cm，CF＝3cm，则AC＝　 　cm．
【答案】13
【解析】∵AE＝BE，DE是AB的垂线，
∴AD＝BD，∠ADE＝∠BDE＝90°，
在△ADF和△BDF中，
，
∴△ADF≌△BDF（SAS），
∴AF＝BF，
∴AC＝AF+CF＝BF+CF，
∵BF＝10cm，CF＝3cm，
∴AC＝13cm，
故答案为：13．
【举一反三3】如图，AB＝DE，BC＝EC，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．
【答案】证明　在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
【题型6】作一个角等于已知角
【典型例题】如图，是用尺规作一个角等于已知角的示意图，由作图可得△COD≌△C′O′D′，故∠A′O′B′＝∠AOB．其中说明△COD≌△C′O′D′的依据是（　　）
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
【答案】A
【解析】由作图痕迹得，
故△COD≌△C′O′D′（SSS），
故选：A．
【举一反三1】用尺规作一个角等于已知角．已知∠AOB．求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．作法如下：
（1）作射线EG；
（2）以①为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P、交OB于点Q；
（3）以点E为圆心，以②为半径画弧交EG于点D；
（4）以点D为圆心，以③为半径画弧交前面的弧于点F；
（5）过点F作④，∠DEF即为所求作的角．
以上作图步骤中，序号代表的内容错误的是（　　）
A.①表示点O B.②表示OP C.③表示OQ D.④表示射线EF
【答案】C
【解析】作法：（1）作射线EG；
（2）以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P、交OB于点Q；
（3）以点E为圆心，以OP为半径画弧交EG于点D；
（4）以点D为圆心，以PQ为半径画弧交前面的弧于点F；
（5）过点F作EF，∠DEF即为所求作的角．
∴内容错误的是“③”．
故选：C．
【举一反三2】如图，用尺规作一个角等于已知角时，以O′为圆心，以线段 　 　的长度为半径画弧．
【答案】OC
【解析】用尺规作一个角等于已知角时，以O′为圆心，以线段OC的长度为半径画弧．
故答案为：OC．
【举一反三3】如图，在三角形ABC中，∠ACB＞∠ABC，利用尺规在∠ACB的内部作∠ACD，使得∠ACD＝∠ABC，射线CD交AB于点D．（不写作法，但保留作图痕迹）
【答案】解　如图所示，∠ACD即为所求．
【题型7】用ASA判定三角形全等
【典型例题】一块三角形玻璃被打碎后，店员带着如图所示的一片碎玻璃去重新配一块与原来全等的三角形玻璃，能够全等的依据是（　　）
A.ASA B.AAS C.SAS D.SSS
【答案】A
【解析】这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定，从而可根据“ASA”重新配一块与原来全等的三角形玻璃．
故选：A．
【举一反三1】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（　　）
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
【答案】D
【解析】根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：D．
【举一反三2】在△ABC和△A'B'C'中，已知∠A＝∠A′，∠B＝∠B'，AB＝A'B'，那么△ABC≌△A′B′C′运用的判定方法是（　　）
A.SAS B.AAS C.ASA D.SSS
【答案】C
【解析】已知∠A＝∠A′，∠B＝∠B'，AB＝A'B'，那么△ABC≌△A′B′C′运用的判定方法是ASA，
故选：C．
【举一反三3】两角及其 　 　分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）．
几何语言：
在△ABC与△A'B'C'中，
所以△ABC≌　 　（ 　 　）．
【答案】夹边　　△A'B'C'　　ASA
【解析】两角及其 夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）．
几何语言：
在△ABC与△A'B'C'中，
所以△ABC≌△A'B'C'（ ASA）．
故答案为：夹边；△A'B'C'；ASA．
【举一反三4】已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD．求证：△ABC≌△CDA．小华证明过程如下框：
小华的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”，若错误，请写出你的证明过程．
【答案】解　小华的证法不正确．
证明　∵AD//BC，
∴∠1＝∠3，
又∵AB//CD，
∴∠2＝∠4，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（ASA）．
【题型8】用ASA证明边或角相等
【典型例题】如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝7，则CD的长为（　　）
A.5.5 B.4 C.4.5 D.3
【答案】B
【解析】∵AB∥EF，
∴∠A＝∠E，
在△ABC和△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD（ASA），
∴AC＝ED＝7，
∴AD＝AE﹣ED＝10﹣7＝3，
∴CD＝AC﹣AD＝7﹣3＝4．
故选：B．
【举一反三1】如图，△ABC的面积为12cm2，AP垂直于∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　）
A.9cm2 B.8cm2 C.6cm2 D.5cm2
【答案】C
【解析】延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABD，
∴∠ABP＝∠DBP，
∵BP⊥AP，
∴∠BPA＝∠BPD＝90°，
∵BP＝BP，
∴△BAP≌△BDP（ASA），
∴AP＝PD，
∴△ABP的面积＝△BDP的面积，△APC的面积＝△DPC的面积，
∵△ABC的面积为12cm2，
∴△PBC的面积＝△BPD的面积+△DCP的面积
△ABC的面积
12
＝6（cm2），
故选：C．
【举一反三2】如图，已知EB＝FD，∠EBA＝∠FDC，∠E＝∠F，AD＝10，BC＝4，则AC＝　 　．
【答案】3
【解析】在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AB＝CD，
∴AC＝BD，
∵AD＝10，BC＝4，
∴AD﹣BC＝AC+BD＝6，
∴AC＝3．
故答案为3．
【举一反三3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）如果∠BDC＝75°，求∠ADB的度数．
【答案】（1）证明　∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBE，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（ASA）；
（2）解　∵△ABD≌△ECB，
∴BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝75°，
∴∠DBC＝30°，
∴∠ADB＝∠CBD＝30°．
【举一反三4】如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，AD∥BC，且AD＝BE．
（1）证明：△ABD≌△ECB；
（2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度．
【答案】（1）证明　∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠EBC，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（ASA）．
（2）解　△ABD≌△ECB，
∴DB＝BC＝15，AD＝EB＝6，
∴DE＝DB﹣EB＝15﹣6＝9，
∴DE的长度是9．
【题型9】用AAS判定三角形全等
【典型例题】如图，加条件能满足AAS来判断△ACD≌△ABE的条件是（　　）
A.∠AEB＝∠ADC，∠C＝∠D B.∠AEB＝∠ADC，CD＝BE C.AC＝AB，AD＝AE D.AC＝AB，∠C＝∠B
【答案】B
【解析】A．∠AEB＝∠ADC，∠C＝∠D，再加上公共∠A＝∠A，不能判定△ACD≌△ABE，故此选项错误；
B．∠AEB＝∠ADC，CD＝BE，再加上公共∠A＝∠A，可以用AAS来判定△ACD≌△ABE，故此选项正确；
C．AC＝AB，AD＝AE，又∠A＝∠A符合的是SAS，而不是AAS，故此选项错误；
D．∠AEB和∠BDC不是对应角，不能判定△ACD≌△ABE，故此选项错误．
故选：B．
【举一反三1】如图，点B、E、C、F在同一直线上，已知∠A＝∠D，∠B＝DEF，要直接利用AAS说明△ABC≌△DEF，可补充的条件是（　　）
A.∠ACB＝∠F B.AB＝DF C.AB＝DE D.AC＝DF
【答案】D
【解析】添加BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
添加AC＝DF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
故选：D．
【举一反三2】如图，加条件能满足AAS来判断△ACD≌△ABE的条件是（　　）
A.∠AEB＝∠ADC，∠C＝∠D B.∠AEB＝∠ADC，CD＝BE C.AC＝AB，AD＝AE D.AC＝AB，∠C＝∠B
【答案】B
【解析】A．∠AEB＝∠ADC，∠C＝∠D，再加上公共∠A＝∠A，不能判定△ACD≌△ABE，故此选项错误；
B．∠AEB＝∠ADC，CD＝BE，再加上公共∠A＝∠A，可以用AAS来判定△ACD≌△ABE，故此选项正确；
C．AC＝AB，AD＝AE，又∠A＝∠A符合的是SAS，而不是AAS，故此选项错误；
D．AC＝AB，∠C＝∠D，再加上公共∠A＝∠A，是“ASA“判定△ACD≌△ABE，故此选项错误．
故选：B．
【举一反三3】如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD＝BE．
（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明．你添加的条件是　 　．
（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形　 　．（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）
【答案】解　添加条件例举：BA＝BC；∠AEB＝∠CDB；∠BAC＝∠BCA；
证明例举（以添加条件∠AEB＝∠CDB为例）：
∵∠AEB＝∠CDB，BE＝BD，∠B＝∠B，
∴△BEA≌△BDC（AAS）．
另一对全等三角形是：△ADF≌△CEF（AAS）或△AEC≌△CDA（AAS）．
故填∠AEB＝∠CDB；△ADF≌△CEF或△AEC≌△CDA．
【举一反三4】如图所示，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，若要使△ACF≌△DBE，则还需要补充一个条件：　 　．
【答案】∠E＝∠F
【解析】∵AB＝CD，DE∥AF
∴AC＝DB，∠A＝∠D
∵∠E＝∠F
∴△ACF≌△DBE（AAS）
∴此处添加∠E＝∠F．
【举一反三5】两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？
【答案】解　△AOF≌△DOC．
证明　∵两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，
∴AB＝DB，BF＝BC，
∴AB﹣BF＝BD﹣BC，∴AF＝DC
∵∠A＝∠D，∠AOF＝∠DOC，
即，
∴△AOF≌△DOC（AAS）．
【题型10】用AAS证明边或角相等
【典型例题】如图，∠1＝∠2，∠C＝∠B，结论中不正确的是（　　）
A.△DAB≌△DAC B.△DEA≌△DFA C.CD＝DE D.∠AED＝∠AFD
【答案】C
【解析】在△DAB和△DAC中
，
∴△DAB≌△DAC（AAS），
∴AB＝AC．
在△ABF和△ACE中
，
∴△ABF≌△ACE（ASA）
∴AF＝AE．
在△DEA和△DFA中
∴△DEA≌△DFA（SAS），
∴∠AED＝∠AFD，DE＝DF．
∴C不正确．
故选：C．
【举一反三1】如图，AB＝CD，∠A＝∠C，AO＝3，则AC＝（　　）
A.6 B.3 C.9 D.12
【答案】A
【解析】∵在△ABO和△CDO中
∴△ABO≌△CDO（AAS），
∴OC＝OA＝3，
∴AC＝3+3＝6，
故选：A．
【举一反三2】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，且BD＝CE，BE与CD交于点O，则从下列三
个条件①∠B＝∠C②∠BDO＝∠CEO③OD＝OE中选一个能使OB＝OC成立的是（　　）
A.① B.①或② C.②或③ D.①或②或③
【答案】B
【解析】选①或②，
理由：∵∠BOD＝∠COE，∠B＝∠C，BD＝CE，
∴△BOD≌△COE（AAS），
∴OB＝OC，
故①成立；
∵∠BOD＝∠COE，∠BDO＝∠CEO，BD＝CE，
∴△BOD≌△COE（AAS），
∴OB＝OC，
故②成立；
在△BOD和△COE中，
由于BD＝CE，OD＝OE，∠BOD＝∠COE，
即已知SSA不能作为三角形全等的判定条件，
故③不一定成立；
故选：B．
【举一反三3】如图：在四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB于E，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为　 　．
【答案】4
【解析】过点C作CF⊥DE交DE于F，
∵AD＝CD，∠ADE＝90°﹣∠CDF＝∠DCF，∠AED＝∠DFC＝90°，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴DE＝CF＝BE，
又四边形ABCD的面积为16，即S矩形BCFE+2S△CDF＝16，
即BE EF+2CF DF＝16，
BE DE＝BE BE＝16，解得DE＝4．
故此题答案为4．
【举一反三4】如图，AD平分∠BAC，∠B＝∠C．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若∠B＝∠BDC＝100°，求∠BAD的度数．
【答案】（1）证明　∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴BD＝CD．
（2）解　由（1）得：△ABD≌△ACD，
∴∠C＝∠B＝100°，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC+∠B+∠BDC+∠C＝360°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°．
【举一反三5】如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．
【答案】（1）证明　在△ACE和△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（AAS）；
（2）解　由（1）知△ACE≌△BDF，
∴BD＝AC＝2，
∵AB＝8，
∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝4，
故CD的长为4．
【题型11】全等三角形的实际应用
【典型例题】小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（　　）去．
A.第1块 B.第2块 C.第3块 D.第4块
【答案】D
【解析】由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．
故选：D．
【举一反三1】如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（　　）
A.SSS B.SAS C.ASA D.HL
【答案】C
【解析】因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：C．
【举一反三2】如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块，小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（　　）
A.AB，BC，AC B.AB，BC，∠B C.AB，AC，∠B D.∠A，∠B，BC
【答案】C
【解析】A．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
B．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
D．根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意；
故选：C．
【举一反三3】小明想知道一堵墙上点A的高度（AO⊥OD），但又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案，请你先补全方案，再说明理由．
第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO；
第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠　 　＝∠　 　．标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量　 　的长度，即为点A的高度．
说明理由；
【答案】解　OCD，ABO，OD；
理由：在△AOB与△DOC中，，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OA＝OD．
故答案为：OCD，ABO，OD．
【举一反三4】如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明通过构造△ABC与△BCD来测量A，B间的距离，其中AC＝CD，∠ACB＝∠BCD．那么量出的BD的长度就是AB的距离．请你判断小明这个方法正确与否，并给出相应理由．
【答案】解　正确；理由如下：
在△ABC与△DBC中，
．
∴△ABC≌△DBC（SAS）．
∴AB＝DB．
【举一反三5】如图，测量一池塘的宽度．测量点B，F，C，E在直线l上，测量点A，D在直线l的异侧，且AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）若BE＝100，BF＝30，求CF的长．
【答案】（1）证明　∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
（2）解　∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF＝EC，
又∵BE＝100，BF＝30，
∴CF＝BE﹣BF﹣EC＝100﹣30﹣30＝40．
【题型12】动点问题中的全等
【典型例题】如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是 　 　秒．
【答案】4
【解析】∵∠CMD＝90°，
∴∠CMA+∠DMB＝90°，
又∵∠CAM＝90°，
∴∠CMA+∠C＝90°，
∴∠C＝∠DMB．
在Rt△ACM和Rt△BMD中，
，
∴Rt△ACM≌Rt△BMD（AAS），
∴BD＝AM＝12米，
∴BM＝20﹣12＝8（米），
∵该人的运动速度为2m/s，
∴他到达点M时，运动时间为8÷2＝4（s）．
故答案为4．
【举一反三1】如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝10cm，AC＝5cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米秒的速度沿射线AN包括点A）运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动 　 　秒时，△DEB与△BCA全等．
【答案】2.5，7.5，10，0
【解析】①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝5，
∴BE＝5，
∴AE＝10﹣5＝5，
∴点E的运动时间为5÷2＝2.5（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，
∵AC＝5，
∴BE＝5，
∴AE＝10+5＝15，
∴点E的运动时间为15÷2＝7.5（秒）；
③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
AE＝10+10＝20，
点E的运动时间为20÷2＝10（秒），
故答案为：2.5，7.5，10，0
【举一反三2】如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解　（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，
又∵∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
，
解得
；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
，
解得
；
综上所述，存在，
或 ，
使得△ACP与△BPQ全等．
【举一反三3】如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边AB→BC运动，到点C停止，速度为3cm/s，设运动时间为t．
（1）如图①，当t＝　 　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
（2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AC运动，到点C停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好使△APQ与△DEF全等，求点Q的运动速度．
【答案】解　（1）根据题意，当点P运动到AB的中点或BC的中点时，△APC的面积等于△ABC面积的一半，
∵AB＝15cm，BC＝9cm，
∴3t＝7.5或3t＝15+4.5，
解得t＝2.5或t＝6.5，
故答案为：2.5s或6.5s；
（2）△APQ与△DEF全等，分情况讨论：
在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A，
①AP＝DE，AQ＝DF，
则有3t＝4，
解得t，
点Q的速度为（m/s）；
②AP＝DF，AQ＝DE，
则有3t＝5，
解得t，
∴点Q的速度为4（m/s），
综上所述，点Q的速度为m/s或m/s．

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