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5.4二元一次方程与一次函数（二阶）-北师大版八年级上册数学课时进阶测试
一、选择题
1． 在直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取(　　)个.
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由题意得：
解得：
∴
∵交点为整数，
∴k可取的整数解有0，2，3，5，-1，-3共6个
故答案为：C.
【分析】让这两条直线的解析式组成方程组，求得整数解即可.
2．（2025八上·余姚期末）如图，已知一次函数 和 的图象交于点 ，则关于 的二元一次方程经 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵ 一次函数 和 的图像交于点 ，
∴ 二元一次方程 的解就是M点的坐标，即x=1，y=3.
故答案为：C。
【分析】计算两条直线的交点，即将两条直线对应的一次函数联立为二元一次方程组，求解即可。所以将两条直线对应的一次函数联立为二元一次方程组求出的解，就是该两条直线的交点坐标。本题从图中即可得出答案。
3．（2025八上·滨江期末）如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数，
∴当时，，
解得：，
∵一次函数，
∴当时，，
解得：，
∴，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
边上的高即为点A的纵坐标1，
∴的面积为：，
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，，然后利用三角形的面积公式解题即可.
4．（2024八上·宝安期中）已知一次函数与的自变量与因变量的部分对应数值如下表，则关于x，y的二元一次方程组的解为（　　）
x … -1 0 1 2 …
y1 … -3 1 5 9 …
y2 … -7 -3 1 5 …
A． B． C． D．无解
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：把代入，
得，
解得，
，
把代入，
得，
解得，
，
与的图像是平行的，
∴一次函数与的图像无交点，
∴关于的二元一次方程组无解；
故答案为：D
【分析】根据待定系数法求出两个一次函数的解析式，进而根据两个一次函数的平行问题结合题意即可求解。
5．（2024八上·沙坪坝期末）如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与交于点，
∴关于的二元一次方程组的解为，
故选：A．
【分析】直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可求出答案.
6．如图，根据直线l1和l2的交点坐标，可以得到下列哪个方程组的解 (　　).
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：设直线 l1 的解析式为y=kx+b，∵直线 l1 过（0，3）和（3，0），
∴，解得，∴直线 l1 的解析式为，观察四个选项，只有B中有一个方程为.
故答案为：B.
【分析】用排除法求解，求出直线 l1 的解析式即可.
7．（2024八上·渠县期末）已知方程组 的解为，则函数y=2x+3与的交点坐标为（　　）
A．（1，5） B．（-1，1） C．（1，2） D．（4，1）
【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解： ∵方程组 的解为，
∴函数y=2x+3与的交点坐标为（-1，1） .
故答案为：B.
【分析】函数y=2x+3与的交点坐标即为方程组 的解.
8．（2024八上·深圳期末） 一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　）
A．
B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为4. 5
C．关于的方程组的解为
D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3
【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：A、由图象，y＝kx+b与y轴交于点（0，-1），∴b＝-1；y＝mx+n与y轴交于点（0，2），∴n＝2；故A选项正确，不符合题意；
B、这两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积为，故B选项正确，不符合题意；
C、由图象，两个函数图象的交点为（3，4），故关于x，y的方程组的解为.故C选项正确，不符合题意；
D、当x从0开始增加到3时，函数y=kx+b的图象始终在y=mx+n的图象下方，说明总有kx+b故答案为：D.
【分析】A、由图象与y轴交点可得b，n的值；B、求坐标系中三角形的面积要找准水平方向的宽和竖直方向的高；C、两个一次函数的图象交点的横、纵坐标即由两个函数表达式建立的方程组的解；D、根据图象位置的高低可以判断函数值的大小.
二、填空题
9．（2024·吴兴期末）已知关于x，y的方程组的解为，则一次函数y＝kx+3与y＝2x+b的图象交点坐标为　 　．
【答案】（1，-2）
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程组的解为，
∴一次函数y＝kx+3与y＝2x+b的图象交点坐标为：，
故答案为：.
【分析】根据题意可知一次函数y＝kx+3与y＝2x+b的图象交点坐标即为关于x，y的方程组的解.
10．（2023八上·沙坪坝期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，若点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：将代入中，
得，
∴点的坐标为，
∵直线与直线相交于点，
∴方程组组的解为．
【分析】
方程组的解即两直线的交点坐标．
11．（初中数学北师大版八年级上册第五章 二元一次方程组练习题 (100)）如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组 的解是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：因为函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P（1，1），
所以方程组 的解是 ．
故答案为 ．
【分析】根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，结合函数图象即可求出答案.
12．（2024八上·福田期末）如图，已知函数和图象交于点P，点P的纵坐标为，则关于x、y的方程组的解是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：把代入
解得
函数和的图象交于点
即，同时满足两个一次函数的解析式
所以关于，的方程组的解是
故答案为：．
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，已知点P的纵坐标为1.5，且点P在函数y=-x+1上，根据代入计算可得x=-0.5，则两个一次函数的交点； 而关于x、y的方程组的解就是交点坐标，所以可得.
13．（2024八上·宁明期末）在同一平面直角坐标系中，直线y=-x+4与y=2x+m相交于点P(n， 3) ，则关于x，y的方程组 的解为　 　.
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：把P（n，3）代入y＝ x＋4得3＝ n＋4，
∴n＝1，
∴P点坐标为（1，3），
∵直线y＝ x＋4与y＝2x＋m相交于点P（1，3），
∴关于x，y的方程组的解为，
故答案为：.
【分析】先求出点P的坐标，再将求二元一次方程组的解的问题转换为两个一次函数的图象交点问题求解即可.
14．（2024八上·百色期末）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解为　 　.
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：把P（n，3）代入y＝ x＋4得3＝ n＋4，
∴n＝1，
∴P点坐标为（1，3），
∵直线y＝ x＋4与y＝2x＋m相交于点P（1，3），
∴关于x，y的方程组
的解为，
故答案为：.
【分析】先求出点P的坐标，再将求二元一次方程组的解的问题转换为两个一次函数的图象交点问题求解即可.
三、解答题
15． 已知直线y=2x与y=-x+b的交点坐标为(1， a)， 试确定方程组 的解和a，b的值.
【答案】解：将(1，a)的坐标代入y=2x ，得a=2.
∴直线y=2x与y=-x+b的交点坐标为(1，2).
∴方程组 的解是
将(1，2)的坐标代入y=-x+b，得2=-1+b ，解得b=3.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】将点(1，a)代入y=2x求出a的值，即可得到方程组的解，然后代入直线y=-x+b求出b的值即可.
16．如图，已知直线：与y轴交于点A，且和直线：交于点，根据以上信息解答下列问题：
（1）求a的值；
（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；
（3）若直线，表示的两个一次函数都大于0，此时恰好，求直线的函数解析式．
【答案】（1）解：因为点在直线上，
所以当时，
（2）解：方程组的解即直线和的交点坐标P，
即方程组的解为
（3）解：∵当直线和表示的两个一次函数的函数值都大于0时，恰好，
所以直线过点．
又因为直线过点，
所以
解得
所以直线的函数表达式为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）由点在直线上，代入可求出a＝ 5；
（2）因为直线y＝3x＋1直线y＝mx＋n交于点P，方程组的解即直线和的交点坐标P；
（3）因为直线和表示的两个一次函数的函数值都大于0时，恰好，
所以直线过点，又有直线过点，可得关于m、n的方程组，解方程组即可．
1 / 15.4二元一次方程与一次函数（二阶）-北师大版八年级上册数学课时进阶测试
一、选择题
1． 在直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取(　　)个.
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2025八上·余姚期末）如图，已知一次函数 和 的图象交于点 ，则关于 的二元一次方程经 的解是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八上·滨江期末）如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（　　）
A．1 B． C．2 D．
4．（2024八上·宝安期中）已知一次函数与的自变量与因变量的部分对应数值如下表，则关于x，y的二元一次方程组的解为（　　）
x … -1 0 1 2 …
y1 … -3 1 5 9 …
y2 … -7 -3 1 5 …
A． B． C． D．无解
5．（2024八上·沙坪坝期末）如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，根据直线l1和l2的交点坐标，可以得到下列哪个方程组的解 (　　).
A． B．
C． D．
7．（2024八上·渠县期末）已知方程组 的解为，则函数y=2x+3与的交点坐标为（　　）
A．（1，5） B．（-1，1） C．（1，2） D．（4，1）
8．（2024八上·深圳期末） 一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　）
A．
B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为4. 5
C．关于的方程组的解为
D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3
二、填空题
9．（2024·吴兴期末）已知关于x，y的方程组的解为，则一次函数y＝kx+3与y＝2x+b的图象交点坐标为　 　．
10．（2023八上·沙坪坝期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，若点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解是　 　．
11．（初中数学北师大版八年级上册第五章 二元一次方程组练习题 (100)）如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组 的解是　 　．
12．（2024八上·福田期末）如图，已知函数和图象交于点P，点P的纵坐标为，则关于x、y的方程组的解是　 　．
13．（2024八上·宁明期末）在同一平面直角坐标系中，直线y=-x+4与y=2x+m相交于点P(n， 3) ，则关于x，y的方程组 的解为　 　.
14．（2024八上·百色期末）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解为　 　.
三、解答题
15． 已知直线y=2x与y=-x+b的交点坐标为(1， a)， 试确定方程组 的解和a，b的值.
16．如图，已知直线：与y轴交于点A，且和直线：交于点，根据以上信息解答下列问题：
（1）求a的值；
（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；
（3）若直线，表示的两个一次函数都大于0，此时恰好，求直线的函数解析式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由题意得：
解得：
∴
∵交点为整数，
∴k可取的整数解有0，2，3，5，-1，-3共6个
故答案为：C.
【分析】让这两条直线的解析式组成方程组，求得整数解即可.
2．【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵ 一次函数 和 的图像交于点 ，
∴ 二元一次方程 的解就是M点的坐标，即x=1，y=3.
故答案为：C。
【分析】计算两条直线的交点，即将两条直线对应的一次函数联立为二元一次方程组，求解即可。所以将两条直线对应的一次函数联立为二元一次方程组求出的解，就是该两条直线的交点坐标。本题从图中即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数，
∴当时，，
解得：，
∵一次函数，
∴当时，，
解得：，
∴，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
边上的高即为点A的纵坐标1，
∴的面积为：，
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，，然后利用三角形的面积公式解题即可.
4．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：把代入，
得，
解得，
，
把代入，
得，
解得，
，
与的图像是平行的，
∴一次函数与的图像无交点，
∴关于的二元一次方程组无解；
故答案为：D
【分析】根据待定系数法求出两个一次函数的解析式，进而根据两个一次函数的平行问题结合题意即可求解。
5．【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与交于点，
∴关于的二元一次方程组的解为，
故选：A．
【分析】直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：设直线 l1 的解析式为y=kx+b，∵直线 l1 过（0，3）和（3，0），
∴，解得，∴直线 l1 的解析式为，观察四个选项，只有B中有一个方程为.
故答案为：B.
【分析】用排除法求解，求出直线 l1 的解析式即可.
7．【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解： ∵方程组 的解为，
∴函数y=2x+3与的交点坐标为（-1，1） .
故答案为：B.
【分析】函数y=2x+3与的交点坐标即为方程组 的解.
8．【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：A、由图象，y＝kx+b与y轴交于点（0，-1），∴b＝-1；y＝mx+n与y轴交于点（0，2），∴n＝2；故A选项正确，不符合题意；
B、这两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积为，故B选项正确，不符合题意；
C、由图象，两个函数图象的交点为（3，4），故关于x，y的方程组的解为.故C选项正确，不符合题意；
D、当x从0开始增加到3时，函数y=kx+b的图象始终在y=mx+n的图象下方，说明总有kx+b故答案为：D.
【分析】A、由图象与y轴交点可得b，n的值；B、求坐标系中三角形的面积要找准水平方向的宽和竖直方向的高；C、两个一次函数的图象交点的横、纵坐标即由两个函数表达式建立的方程组的解；D、根据图象位置的高低可以判断函数值的大小.
9．【答案】（1，-2）
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程组的解为，
∴一次函数y＝kx+3与y＝2x+b的图象交点坐标为：，
故答案为：.
【分析】根据题意可知一次函数y＝kx+3与y＝2x+b的图象交点坐标即为关于x，y的方程组的解.
10．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：将代入中，
得，
∴点的坐标为，
∵直线与直线相交于点，
∴方程组组的解为．
【分析】
方程组的解即两直线的交点坐标．
11．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：因为函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P（1，1），
所以方程组 的解是 ．
故答案为 ．
【分析】根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，结合函数图象即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：把代入
解得
函数和的图象交于点
即，同时满足两个一次函数的解析式
所以关于，的方程组的解是
故答案为：．
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，已知点P的纵坐标为1.5，且点P在函数y=-x+1上，根据代入计算可得x=-0.5，则两个一次函数的交点； 而关于x、y的方程组的解就是交点坐标，所以可得.
13．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：把P（n，3）代入y＝ x＋4得3＝ n＋4，
∴n＝1，
∴P点坐标为（1，3），
∵直线y＝ x＋4与y＝2x＋m相交于点P（1，3），
∴关于x，y的方程组的解为，
故答案为：.
【分析】先求出点P的坐标，再将求二元一次方程组的解的问题转换为两个一次函数的图象交点问题求解即可.
14．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：把P（n，3）代入y＝ x＋4得3＝ n＋4，
∴n＝1，
∴P点坐标为（1，3），
∵直线y＝ x＋4与y＝2x＋m相交于点P（1，3），
∴关于x，y的方程组
的解为，
故答案为：.
【分析】先求出点P的坐标，再将求二元一次方程组的解的问题转换为两个一次函数的图象交点问题求解即可.
15．【答案】解：将(1，a)的坐标代入y=2x ，得a=2.
∴直线y=2x与y=-x+b的交点坐标为(1，2).
∴方程组 的解是
将(1，2)的坐标代入y=-x+b，得2=-1+b ，解得b=3.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】将点(1，a)代入y=2x求出a的值，即可得到方程组的解，然后代入直线y=-x+b求出b的值即可.
16．【答案】（1）解：因为点在直线上，
所以当时，
（2）解：方程组的解即直线和的交点坐标P，
即方程组的解为
（3）解：∵当直线和表示的两个一次函数的函数值都大于0时，恰好，
所以直线过点．
又因为直线过点，
所以
解得
所以直线的函数表达式为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）由点在直线上，代入可求出a＝ 5；
（2）因为直线y＝3x＋1直线y＝mx＋n交于点P，方程组的解即直线和的交点坐标P；
（3）因为直线和表示的两个一次函数的函数值都大于0时，恰好，
所以直线过点，又有直线过点，可得关于m、n的方程组，解方程组即可．
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