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5.4二元一次方程与一次函数（三阶）-北师大版八年级上册数学课时进阶测试
一、选择题
1．（2024八上·万源期末）已知直线：与直线：交于点，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】将点C代入可得：2=-2m+4，
解得：m=1，
∴点C的坐标为（1，2），
∵直线：与直线：交于点，
∴方程组的解是，
故答案为：B.
【分析】先求出点C的坐标，再利用一次函数与二元一次方程组的关系可得答案.
2．（2024八上·盐田期末）以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】 以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象和函数y=-2x-1的图象一样.
∵k=-2<0，函数图象过二四象限；b=-1<0，图象与y轴的交点在y轴负半轴上，故函数图象经过二三四象限.
故答案为：D
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的解的关系得到一次函数，再根据一次函数图象与系数的关系得一次函数的大概图象.
3．（2024八上·南明期末）如图，已知一次函数和的图象相交于点，则根据图象可得二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解： 一次函数和的图象相交于点，
由图像可知点P坐标为（-4，-2），
二元一次方程组的解为 .
故答案为：D.
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，两条直线的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，结合图像，即可得到答案.
4．（2023八上·全椒期中）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由题知的解就是两条一次函数的交点的坐标。
把（m，2）代入y=x-2中，解得x=4
故答案为：B.
【分析】由题知的解就是两条一次函数的交点的坐标，代入求解即可。
5．（2024八上·安徽期中）把直线向上平移n个单位后，与直线的交点在第二象限，则n的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数与二元一次方程（组）的关系；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：直线向上平移n个单位后的解析式为，
联立方程组，可得，
解得：，
∴两函数的交点坐标为（，），
∵交点在第二象限，
∴，
解得：，
故答案为：D.
【分析】先联立方程组求出交点坐标，再根据第二象限点坐标的特征可得，再求出n的取值范围即可.
6．（2024八上·平湖期末）已知直线与直线的交点坐标为，则直线与直线的交点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】∵直线 与直线 的交点坐标为
∴直线 直线
∴直线 与直线 都经过点
∴直线 与直线 的交点坐标为
故答案为： D.
【分析】把 分别代入 求得 即可得到直线的解析式，根据直线 与直线 都经过点 即可求得交点坐标．
7．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是(　　).
A．x=20 B．x=5 C．x=25 D．x=15
【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：根据图象可得：方程x+5=ax+b的解为x=20.
故答案为：A.
【分析】两个一次函数的交点的横坐标即由两个一次函数组成的一元一次方程的解，据此解答即可.
8．（2023八上·湖北期末）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的图象的交点坐标为（2，1），∴关于x，y的方程组的解是．
故答案为：C．
【分析】先将求二元一次方程组的解的问题转换为两个一次函数的图象交点问题，再结合函数图象直接求出方程组的解即可.
二、填空题
9．在直角坐标系内，一次函数.与y的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是　 　.
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：观察图象可得，的解为
故答案为：
【分析】观察图形，两个一次函数的交点坐标写成解的形式即这两个一次函数式组成的二元一次方程组的解.
10．（2024八上·文山期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（1，m），则关于x，y的方程组的解为 　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】将点P(1，m）代入直线l1：y＝x+1，
可得：m=1+1=2，
∴点P的坐标为（1，2），
∵ 直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（1，2），
∴ 关于x，y的方程组的解为，
故答案为：.
【分析】先求出点P的坐标，再利用一次函数与二元一次方程组的关系结合图象直接求出方程组的解即可.
11．（2024七上·宁阳期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过　 　分钟时，当两仓库快递件数相同．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：，根据题意得：当时，；当时，，
∴，
解得：，
∴；
设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：，根据题意得：当时，；当时，，
∴，
解得：，
∴，
联立，
解得：，
∴经过分钟时，当两仓库快递件数相同．
故答案为：．
【分析】先根据所给图像，分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，再求出两条直线的交点坐标即可．
12．（2024八上·双流期末）如图，在中，，，以BC所在直线为x轴，过点A作BC的垂线为y轴建立直角坐标系，D，E分别为线段AO和线段AC上一动点，且．当的值最小时，点E的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两点之间线段最短；三角形全等及其性质
【解析】【解答】过点C作CF⊥BC于点C，且使CF=AB，连接EF，BF，BF交AC于点G
∵AO⊥BC，
∴AO∥FC，
∴∠CAO=∠ACF，
∵AB=AC，
∴∠BAO=∠CAO，
∴∠BAD=∠FCE，
∵AD=CE，
∴，
∴BD=FE，
∴BD+BE=FE+BE，
∴当B，E，F三点在同一直线上时(即点E与点G重合时），的值最小 ，此时的值为线段BF的长，
根据已知条件知：，，
∴OC=6，
∴OA=，
∴A(0，8），B(-6，0），C(6，0），
∴直线AC的解析时为：y=①，
∵CF=AB=AC=10，
∴点F的坐标为（6，10），
∴直线BF的解析式为：y=②，
联立①②，得到方程组：
解得：，
∴点G的坐标为（），
即点E 的坐标为（）。
【分析】首先根据SAS证明，得出BD=FE，从而得出BD+BE=FE+BE，即可得出当B，E，F三点在同一直线上时(即点E与点G重合时），的值最小 ，此时的值为线段BF的长，然后通过求直线AC和直线BF的解析式，进而得出连直线的交点G的坐标为（），即可得出点E 的坐标为（）。
三、解答题
13．如图，直线的函数表达式为3，且与轴交于点.直线经过点A，B，直线交于点.
（1）求点的坐标.
（2）求直线的函数表达式.
（3）在直线上存在异于点的另一个点，使得与的面积相等，求点的坐标.
【答案】（1）解：把代入，得，
解得，
点的坐标为.
（2）解：设直线的函数表达式为，
把代入，得
直线的函数表达式为.
（3）解：解方程组得即.
点与点到AD的距离相等，
点的纵坐标为3.
当时，，解得，
点的坐标为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）已知l1的解析式，令y=0求出x的值即可.
（2）设l2的解析式为y=kx+b，由图联立方程组求出k，b的值.
（3）联立方程组，求出交点C的坐标，再根据三角形面积相等，求出P点坐标即可.
14．（2024八上·邛崃期末）如图，直线和直线相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）在y轴上有一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线和于点B、C，若，求p的值；
（3）在（2）的条件下，点M为y轴正半轴上任意一点，当是以为斜边的直角三角形时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）解：联立方程组得：，
解得：，
故点A的坐标为
（2）解：∵在y轴上有一动点，过点P作y轴的垂线，
∴点B、C的纵坐标是p，
令，解得，即，
令，解得，即，
又∵，即，
解得：或，
故p的值是4或；
（3）或或
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理的应用；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）设BC的中点为Q，，
①当时，即为，即为，
∴的中点为，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，即，
解得：，
∴或，
②当时，即为，即为，
∴的中点为，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，即，
解得：或(舍去)，
∴
综上所述：或或．
【分析】
（1）联立方程组得，再求解即可；
（2） 依题意可知，点B、C的纵坐标是p，令，求出点B、C的坐标，根据列出方程求解即可；
（3）设BC的中点为Q，，根据p的值求出点B、C的坐标，继而求出点Q的坐标，再根据“是以为斜边的直角三角形”得出，利用两点间的距离公式列方程求解即可．
1 / 15.4二元一次方程与一次函数（三阶）-北师大版八年级上册数学课时进阶测试
一、选择题
1．（2024八上·万源期末）已知直线：与直线：交于点，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八上·盐田期末）以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·南明期末）如图，已知一次函数和的图象相交于点，则根据图象可得二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023八上·全椒期中）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·安徽期中）把直线向上平移n个单位后，与直线的交点在第二象限，则n的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八上·平湖期末）已知直线与直线的交点坐标为，则直线与直线的交点坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是(　　).
A．x=20 B．x=5 C．x=25 D．x=15
8．（2023八上·湖北期末）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．在直角坐标系内，一次函数.与y的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是　 　.
10．（2024八上·文山期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（1，m），则关于x，y的方程组的解为 　 　．
11．（2024七上·宁阳期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过　 　分钟时，当两仓库快递件数相同．
12．（2024八上·双流期末）如图，在中，，，以BC所在直线为x轴，过点A作BC的垂线为y轴建立直角坐标系，D，E分别为线段AO和线段AC上一动点，且．当的值最小时，点E的坐标为　 　．
三、解答题
13．如图，直线的函数表达式为3，且与轴交于点.直线经过点A，B，直线交于点.
（1）求点的坐标.
（2）求直线的函数表达式.
（3）在直线上存在异于点的另一个点，使得与的面积相等，求点的坐标.
14．（2024八上·邛崃期末）如图，直线和直线相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）在y轴上有一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线和于点B、C，若，求p的值；
（3）在（2）的条件下，点M为y轴正半轴上任意一点，当是以为斜边的直角三角形时，请直接写出点M的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】将点C代入可得：2=-2m+4，
解得：m=1，
∴点C的坐标为（1，2），
∵直线：与直线：交于点，
∴方程组的解是，
故答案为：B.
【分析】先求出点C的坐标，再利用一次函数与二元一次方程组的关系可得答案.
2．【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】 以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象和函数y=-2x-1的图象一样.
∵k=-2<0，函数图象过二四象限；b=-1<0，图象与y轴的交点在y轴负半轴上，故函数图象经过二三四象限.
故答案为：D
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的解的关系得到一次函数，再根据一次函数图象与系数的关系得一次函数的大概图象.
3．【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解： 一次函数和的图象相交于点，
由图像可知点P坐标为（-4，-2），
二元一次方程组的解为 .
故答案为：D.
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，两条直线的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，结合图像，即可得到答案.
4．【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由题知的解就是两条一次函数的交点的坐标。
把（m，2）代入y=x-2中，解得x=4
故答案为：B.
【分析】由题知的解就是两条一次函数的交点的坐标，代入求解即可。
5．【答案】D
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数与二元一次方程（组）的关系；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：直线向上平移n个单位后的解析式为，
联立方程组，可得，
解得：，
∴两函数的交点坐标为（，），
∵交点在第二象限，
∴，
解得：，
故答案为：D.
【分析】先联立方程组求出交点坐标，再根据第二象限点坐标的特征可得，再求出n的取值范围即可.
6．【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】∵直线 与直线 的交点坐标为
∴直线 直线
∴直线 与直线 都经过点
∴直线 与直线 的交点坐标为
故答案为： D.
【分析】把 分别代入 求得 即可得到直线的解析式，根据直线 与直线 都经过点 即可求得交点坐标．
7．【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：根据图象可得：方程x+5=ax+b的解为x=20.
故答案为：A.
【分析】两个一次函数的交点的横坐标即由两个一次函数组成的一元一次方程的解，据此解答即可.
8．【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的图象的交点坐标为（2，1），∴关于x，y的方程组的解是．
故答案为：C．
【分析】先将求二元一次方程组的解的问题转换为两个一次函数的图象交点问题，再结合函数图象直接求出方程组的解即可.
9．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：观察图象可得，的解为
故答案为：
【分析】观察图形，两个一次函数的交点坐标写成解的形式即这两个一次函数式组成的二元一次方程组的解.
10．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】将点P(1，m）代入直线l1：y＝x+1，
可得：m=1+1=2，
∴点P的坐标为（1，2），
∵ 直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（1，2），
∴ 关于x，y的方程组的解为，
故答案为：.
【分析】先求出点P的坐标，再利用一次函数与二元一次方程组的关系结合图象直接求出方程组的解即可.
11．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：，根据题意得：当时，；当时，，
∴，
解得：，
∴；
设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：，根据题意得：当时，；当时，，
∴，
解得：，
∴，
联立，
解得：，
∴经过分钟时，当两仓库快递件数相同．
故答案为：．
【分析】先根据所给图像，分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，再求出两条直线的交点坐标即可．
12．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两点之间线段最短；三角形全等及其性质
【解析】【解答】过点C作CF⊥BC于点C，且使CF=AB，连接EF，BF，BF交AC于点G
∵AO⊥BC，
∴AO∥FC，
∴∠CAO=∠ACF，
∵AB=AC，
∴∠BAO=∠CAO，
∴∠BAD=∠FCE，
∵AD=CE，
∴，
∴BD=FE，
∴BD+BE=FE+BE，
∴当B，E，F三点在同一直线上时(即点E与点G重合时），的值最小 ，此时的值为线段BF的长，
根据已知条件知：，，
∴OC=6，
∴OA=，
∴A(0，8），B(-6，0），C(6，0），
∴直线AC的解析时为：y=①，
∵CF=AB=AC=10，
∴点F的坐标为（6，10），
∴直线BF的解析式为：y=②，
联立①②，得到方程组：
解得：，
∴点G的坐标为（），
即点E 的坐标为（）。
【分析】首先根据SAS证明，得出BD=FE，从而得出BD+BE=FE+BE，即可得出当B，E，F三点在同一直线上时(即点E与点G重合时），的值最小 ，此时的值为线段BF的长，然后通过求直线AC和直线BF的解析式，进而得出连直线的交点G的坐标为（），即可得出点E 的坐标为（）。
13．【答案】（1）解：把代入，得，
解得，
点的坐标为.
（2）解：设直线的函数表达式为，
把代入，得
直线的函数表达式为.
（3）解：解方程组得即.
点与点到AD的距离相等，
点的纵坐标为3.
当时，，解得，
点的坐标为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）已知l1的解析式，令y=0求出x的值即可.
（2）设l2的解析式为y=kx+b，由图联立方程组求出k，b的值.
（3）联立方程组，求出交点C的坐标，再根据三角形面积相等，求出P点坐标即可.
14．【答案】（1）解：联立方程组得：，
解得：，
故点A的坐标为
（2）解：∵在y轴上有一动点，过点P作y轴的垂线，
∴点B、C的纵坐标是p，
令，解得，即，
令，解得，即，
又∵，即，
解得：或，
故p的值是4或；
（3）或或
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理的应用；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）设BC的中点为Q，，
①当时，即为，即为，
∴的中点为，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，即，
解得：，
∴或，
②当时，即为，即为，
∴的中点为，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，即，
解得：或(舍去)，
∴
综上所述：或或．
【分析】
（1）联立方程组得，再求解即可；
（2） 依题意可知，点B、C的纵坐标是p，令，求出点B、C的坐标，根据列出方程求解即可；
（3）设BC的中点为Q，，根据p的值求出点B、C的坐标，继而求出点Q的坐标，再根据“是以为斜边的直角三角形”得出，利用两点间的距离公式列方程求解即可．
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