资源简介

(共39张PPT)
第3课时　三角形中几条重要线段
第13章　13.1　三角形中的边角关系
1.了解三角形的角平分线、中线与高的概念，会用工具准确画出三角形的角平分线、中线与高.(重点)
2.掌握三角形的角平分线、中线与高的性质，能灵活运用解决有关问题.(难点)
学习目标
课堂引入
定义 图示
垂线 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线
线段中点 把一条线段分成两条相等的线段的点
角平分线 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线
一、三角形的高
知识梳理
从三角形的一个顶点到它对边所在直线的________叫作三角形的高线，也叫作三角形的高.
垂线段
例1
(1)如图， 线段　　　是BC边上的高.
AD
(2)如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是　　　.
4.8
解析　根据垂线段最短，得BP⊥AC时，BP最短，
因为S△ABC＝BC·AD＝AC·BP，
所以BP＝＝4.8.
反思感悟
可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”.
(2025·广西贵港桂平市期末)如图，AD∥BC，BC＝6，且△ABC的面积为9，则点C到AD的距离是　　.
跟踪训练1
3
解析　如图，过点A作AE⊥BC于点E，
因为△ABC的面积为9，BC＝6，
所以BC·AE＝9，所以AE＝3，
过点C作CF⊥AD于点F，
因为AD∥BC，
所以CF＝AE＝3，
所以点C到AD的距离是3.
二、三角形的高的有关性质
问题1　如图所示，锐角三角形的三条高都在三角形的　　　　，它们　　　　于同一点.
内部
相交
问题2　如图所示，直角三角形的一条高在三角形的内部，另外两条高与　　　　重合，它们相交于　　　　　.
直角边
直角顶点
问题3　如图所示，钝角三角形的一条高在三角形的内部，另外两条高在三角形的　　　　，它们所在的　　　相交于一点.
外部
直线
知识梳理
三角形的高线的特征：
(1)三角形三条高所在的直线交于一点.
(2)锐角三角形三条高的交点在三角形的内部；
直角三角形三条高的交点在直角顶点；
钝角三角形三条高的交点在三角形的外部.
画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是
例2
√
已知如图两条平行线之间的距离是3 cm，A，B两点间的距离是4 cm，在m上取一点C.
(1)画出一个高是3 cm的三角形；(在所画三角形上标出高)
跟踪训练2
解　如图，△DEC即为所求.(答案不唯一)
(2)画出一个高是4 cm的三角形.(在所画三角形上标出高)
解　如图，△ABC'即为所求.
三、三角形的角平分线及其有关性质
知识梳理
1.三角形中，一个角的_______与这个角对边相交，顶点与_____之间的线段叫作三角形的角平分线.如图，在△ABC中，∠1＝∠2，线段_____就是△ABC的一条角平分线.
平分线
交点
AD
知识梳理
2.如图，锐角三角形、直角三角形和钝角三角形都有三条角平分线，它们都在三角形的内部，它们都相交于同一点，且交点均在三角形内部.
如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数.
例3
解　因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
所以∠DAC＝∠BAD＝30°.
因为CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，
所以∠B＝50°，
所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－50°－30°＝100°.
反思感悟
见到高想到角是90°，见到角平分线想到角相等，充分利用三角形的内角和是180°，这是进行角度计算的关键所在.
(1)如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝40°，CD是∠ACB的平分线，则∠ADC等于
A.80° B.75°
C.70° D.60°
跟踪训练3
解析　在△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝40°，
所以∠ACB＝180°－∠BAC－∠B＝180°－80°－40°＝60°，
因为CD是∠ACB的平分线，
所以∠ACD＝∠ACB＝30°，
所以∠ADC＝180°－∠ACD－∠BAC＝180°－30°－80°＝70°.
√
(2)(2025·安徽合肥蜀山区期末)如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝40°，AE平分∠BAC，AD是BC边上的高，则∠DAE＝　　　°.
20
解析　在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝40°，
所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－80°－40°＝60°，
因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE＝∠BAC＝×60°＝30°，
因为AD是BC边上的高，
所以∠ADB＝90°，
因为∠ABC＝80°，
所以∠BAD＝90°－∠ABC＝90°－80°＝10°，
所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝30°－10°＝20°.
四、三角形的中线及其有关性质
知识梳理
1.三角形中，连接一个顶点与它对边______的线段叫作三角形的中线.如图，在△ABC中，点E是BC的中点，线段_____就是△ABC的一条中线.
2.如图，锐角三角形、直角三角形和钝角三角形都有三条中线，它们都在三角形的内部，它们都相交于同一点，且交点均在三角形内部，这个交点就是三角形的_____.
中点
AE
重心
(2025·安徽淮安凤台县期末)如图所示，在△ABC中，点D，E分别为BC，AD的中点，且S△ABC＝4 cm2，则阴影部分的面积为　　　　cm2.
例4
解析　因为D为边BC的中点，
所以S△ADB＝S△ABC＝×4＝2(cm2)，
因为E为AD的中点，
所以S阴影＝S△ADB＝×2＝1(cm2).
1
反思感悟
利用中线解决面积问题常涉及的知识点：
(1)等(同)底等(同)高的两个三角形的面积相等.
(2)三角形一边上的中线分该三角形成两个面积相等的小三角形.
(1)如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是
A.18 B.22
C.28 D.32
跟踪训练4
解析　因为点E是BC的中点，
所以BE＝CE，
因为AB＝7，AC＝10，
所以△ACE的周长＝AC＋CE＋AE＝25＝10＋CE＋AE，
所以CE＋AE＝15，
所以△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝7＋CE＋AE＝7＋15＝22.
√
(2)如图所示，已知点D，E，F分别是边BC，AC，DC的中点，S△EFC＝6 cm2，则S△ABC为　　　　.
解析　因为D，E，F分别是边BC，AC，DC的中点，S△EFC＝6 cm2，
所以S△DEC＝2S△EFC＝12(cm2)，
所以S△ADC＝2S△DEC＝24(cm2)，
所以S△ABC＝2S△ADC＝48(cm2).
48 cm2
三角形中几条重要线段 概念 图形 表示法
三角形的高线 从三角形的一个顶点到它对边所在的直线的垂线段 因为AD是△ABC的高线，所以AD⊥BC，∠ADB＝∠ADC＝90°
三角形的角平分线 三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段 因为AD是△ABC中∠BAC的平分线，所以∠1＝∠2＝∠BAC
三角形的中线 三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段 因为AD是△ABC中BC上的中线，所以BD＝CD＝BC
1.下列说法正确的是
A.三角形的重心是三角形三条角平分线的交点
B.三角形的重心是三角形三条中线的交点
C.三角形的重心是一条中线和一条角平分线的交点
D.不是每个三角形都存在重心
√
2.(2025·广西南宁武鸣区期中)如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是
A.BA＝2BF B.∠ACE＝∠ACB
C.AE＝BE D.CD⊥AB
√
3.在画三角形的三条重要线段(角平分线、中线和高线)时，不一定画在三角形内部的是　　　.
解析　三角形的角平分线和中线都在三角形内部，而锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部.
高线
4.(2025·安徽合肥庐江县质检)如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上(不与点A，B重合)，CD与BE交于点O.
(1)若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为　　；
解　因为CD是中线，
所以BD＝AD，
因为BC＝3，AC＝2，
所以△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝3＋AD＋CD，△ACD的周长＝AD＋CD＋AC＝2＋AD＋CD，
所以△BCD的周长－△ACD的周长＝3＋AD＋CD－(2＋AD＋CD)＝1.
(2)若∠ABC＝62°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数.
解　因为CD是△ABC的高，
所以∠CDB＝90°，
因为∠ABC＝62°，BE是∠ABC的平分线，
所以∠ABE＝∠ABC＝×62°＝31°，
所以∠BOD＝180°－∠ABE－∠CDB＝59°，所以∠BOC＝180°－∠BOD＝121°.
本课结束

展开更多......

收起↑