资源简介

(共25张PPT)
第4课时　三角形的外角及性质
第13章　13.2　命题与证明
1.理解并掌握三角形的外角的概念，能够在复杂图形中找出外角.(重点)
2.掌握三角形外角有关的性质，会利用三角形的外角性质解决问题.(重点、难点)
学习目标
1.三角形的内角和是180 °.
2.如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，则∠ACB和∠ACD的度数为多少？
3.回顾上一节课学习的三角形内角和定理的证明方法.
课堂引入
一、外角有关的概念
知识梳理
如图，把△ABC的一边BC延长至点D，得到∠ACD.像这样，由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的______.
外角
例1
(1)如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
解　∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.
(2)如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
解　∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD ＝∠BCE；在三角形每个顶点处都有两个外角.
(3)画出△ABC的所有外角，共有几个呢？
解　如图，每一个三角形都有6个外角.每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
(1)如图所示，下列四个判断中，正确的是
A.∠ACE是△ABC的外角
B.∠ECD是△ABC的外角
C.∠DCF是△ABC的外角
D.∠ACD是△ABC的外角
跟踪训练1
解析　A选项中，∠ACE不是△ABC的外角，原说法错误，故本选项错误；
B选项中，∠ECD不是△ABC的外角，原说法错误，故本选项错误；
C选项中，∠DCF不是△ABC的外角，原说法错误，故本选项错误；
D选项中，∠ACD是△ABC的外角，原说法正确，故本选项正确.
√
(2)如图，∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
解　∠BEC是△AEC的外角；∠AEC是△BEC的外角；∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
二、探究三角形外角的性质及应用
问题1　如图，因为∠A＋∠B＋∠ACB＝　　　　　，(三角形的内角和定理)
∠BCD＋∠ACB＝　　　　　　，(邻补角的定义)
所以∠A＋∠B＋　　＝∠BCD＋　　　，(等量代换)
所以∠A＋∠B＝　　　　　　.(等式性质)
提示　如图，因为∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，(三角形的内角和定理)
∠BCD＋∠ACB＝180°，(邻补角的定义)
所以∠A＋∠B＋∠ACB＝∠BCD＋∠ACB，(等量代换)
所以∠A＋∠B＝∠BCD.(等式性质)
知识梳理
三角形内角和定理的推论3：三角形的外角等于与它_______的两个内角的和.
不相邻
问题2　(1)如图①，因为∠2＝∠1＋∠B，所以∠2>　　　，∠2>　　；
(2)如图②，因为∠2＝∠1＋　　　，∠3＝∠2＋　　　，所以∠3>∠2>∠1.
∠1
∠B
∠B
∠D
知识梳理
三角形内角和定理的推论4：三角形的外角大于与它_______的任何一个内角.
不相邻
例2
(课本P81例5)已知：如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角.
求证：∠1＋∠2＋∠3＝360°.
证明　∵∠1＝∠ABC＋∠ACB，
∠2＝∠BAC＋∠ACB，
∠3＝∠BAC＋∠ABC，
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∴∠1＋∠2＋∠3＝2(∠ABC＋∠ACB＋∠BAC).(等式性质)
∵∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，(三角形内角和定理)
∴∠1＋∠2＋∠3＝360°.
反思感悟
在三角形每个顶点处各取一个外角，由三角形的内角和定理可推出三角形的外角和为360°.
例3
如图，已知点P是△ABC内任意一点，试说明∠A与∠P的大小关系.
解　如图，延长BP交AC于点D，
则∠BPC>∠PDC，
而∠PDC>∠A，
所以∠BPC>∠A.
(1)(2025·广西北海海城区质检)如图，在△ABC中，点D在边AC上(不与端点重合)，连接BD.则∠1，∠2，∠3的大小关系是　　　　　　　.
跟踪训练2
解析　因为∠2＝∠1＋∠ABD，∠3＝∠2＋∠CBD，∠ABD>0°，∠CBD>0°，所以∠1<∠2<∠3.
∠1<∠2<∠3
(2)如图，∠A＝51°，∠B＝20°，∠C＝30°，求∠BDC的度数.
解　如图，连接AD并延长至点E，
因为∠BDE＝∠B＋∠BAD，
∠CDE＝∠C＋∠CAD，
又因为∠BDC＝∠BDE＋∠CDE，
所以∠BDC＝∠B＋∠BAD＋∠C＋∠CAD＝∠B＋∠C＋∠BAC.
因为∠BAC＝51°，∠B＝20°，∠C＝30°，
所以∠BDC＝101°.
1.如图，下列关于外角的说法正确的是
A.∠FBA是△ABC的外角
B.∠FBG是△ABC的外角
C.∠DCE是△ABC的外角
D.∠GBA是△ABC的外角
√
2.(2025·广西梧州苍梧县期末)如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数是
A.120° B.90°
C.100° D.30°
√
解析　因为∠ACD是△ABC的外角，∠ACD＝120°，∠B＝20°，
所以∠A＝∠ACD－∠B＝120°－20°＝100°.
3.如图所示，请用不等号“<”或“>”表示∠1，∠2，∠3的大小关系　　　　　　　.
∠1>∠2>∠3
4.如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝38°，E是BC边上一点，ED交CA的延长线于点D，交AB于点F，∠D＝32°.求∠AFE的大小.
解　因为∠B＝45°，∠C＝38°，
所以∠DAB＝45°＋38°＝83°，
因为∠D＝32°，
所以∠AFE＝83°＋32°＝115°.
本课结束

展开更多......

收起↑