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第1课时　三角形中边的关系
第13章　13.1　三角形中的边角关系
1.了解三角形及相关概念，能正确识别和表示三角形.
2.会根据边是否相等对三角形进行分类.(重点)
3.掌握三角形三边关系，会判定已知三条线段能否构成三角形，会求三角形第三边的取值范围.(重点、难点)
学习目标
如图，从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑物到微小的分子结构，都给我们以什么样的形象？在我们的日常生活中还有没有这样的形象呢？
情境引入
一、三角形的有关概念
知识梳理
1.由不在____________上的三条线段_________相接所组成的______图形叫作三角形.
2.如图，点A，B，C叫作这个三角形的______；线段AB，BC，CA叫作这个三角形的 ；∠A，∠B，∠C叫作这个三角形的______，简称三角形的角.
同一条直线
首尾依次
封闭
顶点
内角
边
知识梳理
3.我们把顶点为A，B，C的三角形记作“________”，读作“三角形ABC”.
4.三角形的边有时用它所对角的相应小写字母表示，如：边BC对着∠A，则边BC记作a；边CA记作b；边AB记作c.
△ABC
例1
　 (2025·广西梧州万秀区质检)如图所示的图形中，三角形的个数是
A.3 B.4
C.5 D.6
解析　根据题图可知，图中的三角形有△ABE，△ABC，△AEC，△ADC，△DEC，共有5个.
√
反思感悟
数三角形个数的四大妙招
(1)按图形的形成过程去数(即重新画一遍图形，按照三角形形成的先后顺序去数).
(2)按组成三角形的图形个数来数(如单个三角形、由2个三角形组成的三角形等).
(3)从图中的某一条线段开始沿着一定的方向来数.
(4)先固定一个顶点，变换另外两个顶点来数.
　　 　(1)观察下列图形，其中是三角形的是
跟踪训练1
√
解析　A选项中2条线段没有相接，所以不是三角形；
B满足三角形的定义，故是三角形；
C有2条线段相交，没有首尾顺次相接，所以不是三角形；
D有1条线段的端点连接了另一条线段上的一点，所以不是三角形.
(2)数一数图中共有　　个三角形.
6
二、按边给三角形分类
问题1　观察下列三角形各自的特点完成填空：
(1)三条边　　　　　的三角形叫作不等边三角形；
(2)有　　　　边相等的三角形叫作等腰三角形；其中相等的两边叫作　　，剩余的一边叫作　　　；两腰的夹角叫作　　　，腰与底边的夹角叫作　　　；
(3)　　　边都相等的三角形叫作等边三角形，又叫作正三角形；它是______的等腰三角形.
互不相等
底角
顶角
底边
腰
两条
特殊
三条
知识梳理
三角形按边长关系，可分为：
三角形
　　至少有两边相等的三角形是
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.锐角三角形
例2
解析　有两边相等的三角形一定是等腰三角形，该等腰三角形可能是等腰直角三角形，也可能是锐角三角形或钝角三角形，也可能是等边三角形.
√
反思感悟
往往容易忽略：(1)等边三角形是一种特殊的等腰三角形；(2)边和角是不同的分类角度，等腰三角形可以是锐角三角形或钝角三角形或直角三角形.
(1)三角形按边分类可分为
A.不等边三角形、等边三角形
B.等腰三角形、等边三角形
C.不等边三角形、等腰三角形、等边三角形
D.不等边三角形、等腰三角形
跟踪训练2
√
(2)若按如图表示三角形分类，则下列说法正确的是
A.M表示等边三角形
B.M表示锐角三角形
C.P表示等腰三角形
D.N表示三边都不相等的三角形
√
解析　三角形根据边分类可知，
三角形
由题图可知，M表示不等边三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形.
三、三角形的三边关系及应用
问题2　(1)如图，由点A到点B有两条路线；路线1：A→C→B；路线2：A→B；这两条路线中　　　　较短，根据是　　　　　　　　　；
(2)由(1)可以得到AC＋BC>　　　　，移项可得AB－BC<　　　，AB－AC<　　　　；
(3)同理可以得到①AC＋AB>　　　　，移项可得BC－AB<　　　，BC－AC<　　　；
②AB＋BC>　　，移项可得AC－BC<　　　　，AC－AB<　　　　.
路线2
AB
两点之间线段最短
AC
BC
AC
AB
AC
BC
AB
BC
知识梳理
1.一般地，三角形中任意两边的和______第三边.
2.三角形中任意两边的差______第三边.
大于
小于
　 (课本P65例1)等腰三角形的周长为18 cm.
(1)如果腰长是底边长的2倍，求各边长；
例3
解　设等腰三角形的底边长为x cm，则腰长为2x cm.
根据题意，得x＋2x＋2x＝18，
解方程，得x＝3.6.
所以该三角形的三边长为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm.
(2)如果一边长为4 cm，求另两边长.
解　①若等腰三角形的底边长为4 cm，设腰长为y cm.
根据题意，得2y＋4＝18，
解方程，得y＝7.
②若等腰三角形的腰长为4 cm，设底边长为z cm.
根据题意，得2×4＋z＝18.
解方程，得z＝10.
由于4＋4<10，可知以4 cm为腰长不能构成周长为18 cm的等腰三角形.
所以该三角形的另两边长都是7 cm.
反思感悟
关于等腰三角形，要注意
一分类：题目中没有明确已知边是腰或底时，要分类讨论；
二验证：计算时一定要检验三边是否满足三角形的三边关系.
(1)(2025·安徽芜湖南陵县期末)下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是
A.3 cm，4 cm，8 cm
B.8 cm，7 cm，15 cm
C.5 cm，5 cm，11 cm
D.13 cm，12 cm，20 cm
跟踪训练3
√
解析　A选项中，3 cm＋4 cm<8 cm，不能摆成三角形，本选项不符合题意；
B选项中，8 cm＋7 cm＝15 cm，不能摆成三角形，本选项不符合题意；
C选项中，5 cm＋5 cm<11 cm，不能摆成三角形，本选项不符合题意；
D选项中，13 cm＋12 cm>20 cm，能摆成三角形，本选项符合题意.
(2)已知三角形两边的长分别为1 cm，5 cm，第三边长为整数，则第三边的长为　　　.
解析　设第三边的长为x cm，
所以5－1所以4因为第三边长为整数，
所以第三边的长为5 cm.
5 cm
(3)已知等腰三角形的两边长分别为4和10，求这个等腰三角形的周长.
解：因为等腰三角形的两边长分别为4和10，
所以等腰三角形的周长为4＋4＋10＝18.
判断以上解法是否正确，如不正确，写出正确的解法.
解　以上解法不正确，
正确的解法如下：
分两种情况：
当腰长为4，底边长为10时，
因为4＋4＝8<10，
所以不能组成三角形；
当腰长为10，底边长为4时，
因为10＋4＝14>10，能组成三角形，
所以等腰三角形的周长＝10＋10＋4＝24.
综上所述，这个等腰三角形的周长为24.
1.(2025·广西南宁兴宁区质检)如图，用数字标注了3个三角形，其中△ABD表示的是
A.① B.②
C.③ D.都不对
√
解析　因为△ABD是由线段AB，BD，AD 首尾顺次连接所组成的封闭图形，所以△ABD对应的图形是①.
2.以下列长度的三条线段为边，不能构成三角形的是
A.2，3，3 B.3，4，5
C.2，5，8 D.3，6，7
√
解析　根据三角形三边关系，
A选项中，因为3－2<3<3＋2，能构成三角形，所以此选项正确，不符合
题意；
B选项中，因为4－3<5<4＋3，能构成三角形，所以此选项正确，不符合
题意；
C选项中，因为2＋5<8，不能构成三角形，所以此选项错误，符合题意；
D选项中，因为6－3<7<6＋3，能构成三角形，所以此选项正确，不符合　
题意.
3.(2025·安徽阜阳阜南县期中)如图，以AB为边的三角形的个数是　　.
4
解析　以AB为边的三角形有△ABC，△ABD，△ABF，△ABE，一共有4个.
4.已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝4，b＝6.
(1)求c的取值范围；
解　由三角形三边关系定理得到6－4所以2(2)若c的长为小于6的偶数，求△ABC的周长.
解　由(1)知2因为c的长为小于6的偶数，
所以c＝4，
所以△ABC的周长＝4＋6＋4＝14.
本课结束

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