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(共28张PPT)
第3课时　三角形内角和定理的证明及其推论1，2
第13章　13.2　命题与证明
1.掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2.(重点、难点)
2.了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处.(难点)
3.经历思考、操作、推理等学习活动，培养学生的推理能力和表达能力.(难点)
学习目标
前面我们用折叠法、度量法和剪拼法得到了三角形的内角和是180°，那么能否用演绎推理的方法进一步证实这个结论？
情境引入
一、三角形内角和定理的证明及应用
问题1　补全下列三种三角形内角和定理的证明过程.
已知：如图所示的△ABC.
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
方法1：如图1，延长BC到D，过点C作CE∥　　　　　　，
所以 ∠A＝　　　　，(两直线平行，内错角相等)
∠B＝　　　　　，(两直线平行，同位角相等)
又因为∠1＋∠2＋　　　　　＝180°，
所以　　　　　＋　　　　　＋∠ACB＝180°.
方法2：如图2，过点A作l∥　　　　　　，
所以∠B＝　　　　　　，(两直线平行，内错角相等)
∠C＝　　　　　　，(两直线平行，　　　　　　相等)
因为∠2＋∠1＋　　　　　　＝180°，
所以　　　　　＋　　　　　＋∠BAC＝180°.
方法3：如图3，过点D作DE∥　　　　　，作DF∥　　　　　　.
所以∠C＝　　　　　，∠B＝　　　　，(两直线平行，______相等)
∠A＋∠AED＝180°，∠AED＋∠EDF＝180°，(两直线平行，同旁内角　　　　　　)
所以 ∠A＝　　　　　　　.
因为∠EDB＋∠EDF＋　　　　　＝180°，
所以∠A＋　　　　　＋　　　　　　180°.
提示　方法1：如图1，延长BC到D，过点C作CE∥BA，
所以 ∠A＝∠1，(两直线平行，内错角相等)
∠B＝∠2，(两直线平行，同位角相等)
又因为∠1＋∠2＋∠ACB＝180°，
所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
方法2：如图2，过点A作l∥BC，
所以∠B＝∠1，(两直线平行，内错角相等)
∠C＝∠2，(两直线平行，内错角相等)
因为∠2＋∠1＋∠BAC＝180°，
所以∠B＋∠C＋∠BAC＝180°.
方法3：如图3，过点D作DE∥AC，作DF∥AB，
所以∠C＝∠EDB，∠B＝∠FDC，(两直线平行，同位角相等)
∠A＋∠AED＝180°，∠AED＋∠EDF＝180°，(两直线平行，同旁内角互补)
所以∠A＝∠EDF.
因为∠EDB＋∠EDF＋∠FDC＝180°，
所以∠A＋∠B＋∠C＝180°.
问题2　问题1中三种证明方法的核心是什么？
提示　借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
问题3　证明三角形的内角和定理还有哪些辅助线的作法？
提示　如图，还有多种辅助线的作法.
知识梳理
1.为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作_______.辅助线通常画成____线.
2.为了证明三角形的三个角的和为180°，将三个角转化为一个平角，这种转化思想是数学中的常用方法.
辅助线
虚
例1
如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于点E，交AC于点F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解　因为DE⊥AB(已知)，
所以∠FEA＝90°(垂直定义)，
因为在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°(已知)，
所以∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝180°－90°－30°＝60°，
又因为∠CFD＝∠AFE(对顶角相等)，
所以∠CFD＝60°，
所以在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°(已知)，
所以∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝180°－60°－80°＝40°.
反思感悟
有关三角形内角和定理应用的几种基本图形及结论：
(1)下面三个图形中有∠1＋∠2＝∠3＋∠4；
(2)下面图形中有∠A＋∠B＝∠C＋∠D.
(2025·安徽合肥巢湖市期中)如图，AE为∠BAD的平分线，CF为∠BCD的平分线，且AE∥CF，求证：∠B＝∠D.
跟踪训练1
证明　因为AE∥CF(已知)，
所以∠1＝∠5，∠4＝∠6(两直线平行，同位角相等)，
因为AE平分∠BAD，CF平分∠BCD(已知)，
所以∠1＝∠2，∠3＝∠4(角平分线的定义)，
所以∠2＝∠5，∠3＝∠6(等量代换)，
因为∠2＋∠6＋∠B＝180°，∠3＋∠5＋∠D＝180°(三角形内角和定理)，
所以∠B＝∠D(等量代换).
二、三角形内角和定理的推论1，2及应用
问题4　在△ABC中，∠C＝90°，求∠A＋∠B的度数.
提示　在△ABC中，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝90°，
所以∠A＋∠B＝90°.
问题5　在△ABC中，∠A＋∠B＝90°，则∠C度数是多少？
提示　在△ABC中，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝90°，
所以∠C＝90°.
知识梳理
1.由基本事实、定理直接得出的真命题叫作______.
2.三角形内角和定理的推论1：直角三角形的两锐角______.
3.三角形内角和定理的推论2：有两个角_____的三角形是直角三角形.
推论
互余
互余
例2
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B，证明：△ACD是直角三角形.
证明　因为∠ACB＝90°，
所以∠A＋∠B＝90°，
因为∠ACD＝∠B，
所以∠A＋∠ACD＝90°，
所以∠ADC＝90°，
所以△ACD是直角三角形.
反思感悟
在运用直角三角形的判定或性质时，多结合“同角或等角的余角相等”“对顶角相等”等结论，可找出更多角的关系，有利于解决问题.
如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
跟踪训练2
解　∠CAE＝∠DBE.理由如下：
因为∠C＝∠D＝90°，
所以在Rt△CAE中，∠CAE＋∠CEA＝90°，
在Rt△DBE中，∠DBE＋∠DEB＝90°(直角三角形两锐角互余).
因为∠CEA＝∠DEB(对顶角相等)，
所以∠CAE＝∠DBE(等角的余角相等).
1.(2025·广西梧州蒙山县期末)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝55°，则∠A的度数为
A.35° B.45° C.135° D.145°
√
解析　在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝55°，
所以∠A＝90°－∠B＝90°－55°＝35°.
2.在△ABC中，∠A＝56°，∠B＝34°，则△ABC是
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角或钝角三角形
√
解析　由题意∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－56°－34°＝90°，
所以△ABC是直角三角形.
3.在下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；
③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝∠B＝∠C；⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
√
解析　①由∠A＋∠B＋∠C＝180°得到2∠C＝180°，即∠C＝90°，是直角三角形；
②由题可得∠C＝180°×＝90°，是直角三角形；
③由∠A＋∠B＋∠C＝180°得到2∠C＋2∠C＋∠C＝180°，
解得∠C＝36°，∠A＝∠B＝72°，不是直角三角形；
④由∠A＋∠B＋∠C＝180°得到∠A＋2∠A＋3∠A＝180°，
解得∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，是直角三角形；
⑤由∠A＋∠B＋∠C＝180°得到∠A＋∠A＋∠A＝180°，
解得∠A＝°，不是直角三角形.
4.在直角三角形中，两个锐角的度数比为1∶5，则较大的锐角度数为　　　　.
解析　设较小的一个锐角为x，则另一个锐角为5x，
则x＋5x＝90°，
解得x＝15°，
则较大的一个锐角为15°×5＝75°.
75°
本课结束

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