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第1课时　定义与命题
第13章　13.2　命题与证明
1.理解定义、命题的概念，知道命题可分为真命题和假命题.(重点)
2.会区分命题的条件和结论，理解原命题和逆命题的概念.(重点)
3.了解反例的作用，能通过举反例说明一个命题是假命题.(难点)
学习目标
以下5个语句，有什么不同，你能对它们进行分类吗？如果你能分类，分类的依据是什么？
①不许大声喧哗！
②妈妈的兄弟叫舅舅.
③奇数一定是质数吗？
④用动物皮革制成的鞋叫皮鞋.
⑤相等的两个角是对顶角.
情境引入
一、定义和命题
知识梳理
1.能明确界定某个对象______的语句叫作定义.
2.可以判断正确或不正确的_________叫作命题.其中经判断是正确的命题叫作____命题.经判断是错误的命题叫作____命题.
含义
陈述语句
真
假
例1
　下列语句中，哪些是定义？哪些是命题？
①若x<5，则x＋1<6；
②含有未知数的等式叫作方程；
③书包是布做的；
④两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线；
⑤3＋6≠9；
⑥你本次月考成绩如何？
解　②④是定义，①③⑤是命题，⑥不是定义也不是命题.
反思感悟
定义一般含有字眼“叫作”，它揭示了描述对象的本质特征；命题必须是一个完整的语句，包括肯定句和否定句，而疑问句、感叹句和祈使句都不是命题.
例2
下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？请说明理由.
(1)同角的补角相等；
解　命题“同角的补角相等”是真命题，理由如下：
因为同角或等角的补角相等，
所以原命题为真命题.
(2)一条直线截另外两条直线所得到的同位角相等；
解　命题“一条直线截另外两条直线所得到的同位角相等”是假命题，理由如下：
因为一条直线截另外两条平行直线所得到的同位角相等，
所以原命题为假命题.
(3)有公共顶点且相等的两个角是对顶角；
解　命题“有公共顶点且相等的两个角是对顶角”是假命题，理由如下：
因为有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角是对顶角，
所以原命题为假命题.
(4)两个无理数的和仍是无理数.
解　命题“两个无理数的和仍是无理数”是假命题，理由如下：
例如＋(－)＝0，两个无理数的和为有理数，
所以原命题为假命题.
反思感悟
“错误的命题不是命题”，这一说法是不正确的，事实上假命题也是命题.
(1)下列语句属于命题的是
A.不许大声喧哗
B.好美丽的天空呀
C.你的青春偶像是谁呢
D.北京是中华人民共和国的首都
跟踪训练1
√
解析　A选项中，是祈使句，未做判断，故本选项错误；
B选项中，是感叹句，不符合命题的概念，故本选项错误；
C选项中，是问句，未做判断，故本选项错误；
D选项中，符合命题的概念，故本选项正确.
(2)下列语句属于定义的有
①含有未知数的等式称为方程；
②等式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2称为完全平方公式；
③如果a，b为实数，那么(a－b)2＝a2－2ab＋b2；
④三角形内角和等于180°.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
√
解析　①含有未知数的等式称为方程，是定义；
②等式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2称为完全平方公式，是定义；
③如果a，b为实数，那么(a－b)2＝a2－2ab＋b2，是命题，不是定义；
④三角形内角和等于180°，是命题，不是定义；
则属于定义的有2个.
二、命题的组成及互逆关系
知识梳理
1.命题通常由______和_____两部分组成，常写成“如果……那么……”的形式.
2.以“如果……那么……”为关联词的命题的一般形式是“如果p，那么q”，或者说成“若p，则q”，其中p是这个命题的_____(或题设)，q是这个命题的______(或题断).
3.将命题“如果p，那么q”中的条件与结论______，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的________.
条件
结论
条件
结论
互换
逆命题
把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出该命题的条件和结论.
(1)等角的余角相等；
例3
解　如果两个角相等，那么它们的余角相等.
条件：两个角相等.
结论：这两个角的余角相等.
(2)两个锐角的和大于钝角.
解　如果两个角是锐角，那么这两个角的和大于钝角.
条件：两个角是锐角.
结论：这两个角的和大于钝角.
反思感悟
命题改写的原则：不改变命题的原意，为了改写后语句通顺、措辞准确，可适当增加或删减修饰词语或调换词序.
写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假.
(1)如果a＝b，则a2＝b2；
例4
解　如果a2＝b2 ，则 a＝b，假命题.
(2)同位角相等，两直线平行.
解　两直线平行，同位角相等，真命题.
反思感悟
互逆命题是指两个命题间的关系；当一个命题是真(假)命题时，它的逆命题不一定是真(假)命题.
先指出下列命题的条件和结论，再写出它们的逆命题，并判断其真假.
(1)如果∠1与∠2是邻补角，那么∠1＋∠2＝180°；
跟踪训练2
解　如果∠1与∠2是邻补角，那么∠1＋∠2＝180°，
条件：∠1与∠2是邻补角；
结论：∠1＋∠2＝180°.
逆命题：如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1与∠2是邻补角，是假命题.
(2)等边三角形也是等腰三角形；
解　等边三角形也是等腰三角形，
条件：一个三角形是等边三角形；
结论：这个三角形也是等腰三角形.
逆命题：等腰三角形也是等边三角形，是假命题.
(3)如果a＝b，那么a3＝b3.
解　如果a＝b，那么a3＝b3，
条件：a＝b，
结论：a3＝b3，
逆命题：如果a3＝b3，则a＝b，是真命题.
三、举反例说明命题是假命题
知识梳理
1.符合命题______，但不满足命题_____的例子，我们称之为反例.
2.要说明一个命题是假命题，只要举出____个反例即可.
条件
结论
一
举例说明下列命题的逆命题是假命题：
(1)如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除；
例5
解　如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除，逆命题是如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5，是假命题，
反例：30能被5整除，但个位数字不是5.
(2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等.
解　如果两个角都是直角，那么这两个角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角都是直角，是假命题，
反例：两个角都是40°，但都不是直角.
反思感悟
说明一个命题是假命题的反例一般有多个，只需举出一个反例即可说明其是假命题.
举反例说明下列命题是假命题.
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
跟踪训练3
解　两条平行直线被第三条直线所截形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等.
(2)若ab＝0，则a＋b＝0.
解　当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.
1.下列是定义的是
A.两点确定一条直线
B.同角或等角的补角相等
C.点到直线的垂线段的长度叫作该点到这条直线的距离
D.以上都不是
√
解析　A选项中，两点确定一条直线是命题，不是定义，不符合题意；
B选项中，同角或等角的补角相等，是命题，不是定义，不符合题意；
C选项中，是点到直线的距离的定义，符合题意.
2.(2025·广西桂林永福县期中)下列属于命题的是
A.期中测试卷难吗
B.请你把书递过来
C.今天下雨了
D.连接A，B两点
√
解析　A选项中，是疑问句，不是命题；
B选项中，是祈使句，不是命题；
C选项中，今天下雨了，对某件事情做出了判断，是命题；
D选项中，是祈使句，不是命题.
3.把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改成“如果……那么……”
的形式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行
4.请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假，若是假命题，请举出一个反例.
(1)等角的补角相等；
解　条件：有两个角相等；结论：这两个角的补角相等；
该命题是真命题.
(2)绝对值相等的两个数相等.
解　条件：有两个数的绝对值相等；结论：这两个数相等；
该命题是假命题，
反例：|2|＝|－2|，2≠－2.
本课结束

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