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第6课时　全等三角形判定方法的综合运用
第14章　14.2　三角形全等的判定
1.理解三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问题.(重点)
2.经历探索三角形全等的几种判定方法的过程，能进行合情推理.(难点)
3.培养良好的几何思维，体会几何学的应用价值.(难点)
学习目标
1.判定两个三角形全等除了定义以外，我们还学习了哪些方法？
2.全等三角形有什么性质？
课堂引入
一、灵活选用合适的方法证明三角形全等
例1
　　如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
解析　根据已知可知两个三角形已经具备有一角与一边对应相等，所以根据全等三角形的判定方法，可以添加一边或一角都可以得到这两个三角形全等.若根据“SAS”判定时，则可以添加AC=DC；若根据“ASA”判定时，则可以添加∠B=∠E；若根据AAS判定时，则可以添加∠A=∠D.
AC=DC(或∠B=∠E或∠A=∠D，答案不唯一)
反思感悟
(1)已知一边一角，可任意添加一个角的条件，用AAS或ASA判定全等；添加边的条件时只能添加夹这个角的边，用SAS判定全等.若添加另一边即这个角的对边，符合SSA的情形，不能判定三角形全等.
(2)添加条件时，应结合图形和四种判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，注意不能是SSA的情形.
　　　(1)(2025·广西河池期中)如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件，不能肯定△ABC≌△AED的是
A.∠C=∠D B.∠B=∠E
C.AB=AE D.BC=ED
跟踪训练1
√
解析　因为∠1=∠2，
所以∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，
即∠CAB=∠DAE，
对于选项A，添加∠C=∠D，则能判定△ABC≌△AED，理由如下：
在△ABC和△AED中，
所以△ABC≌△AED(ASA)，
故选项A不符合题意；
对于选项B，添加∠B=∠E，则能判定△ABC≌△AED，理由如下：
在△ABC和△AED中，
所以△ABC≌△AED(AAS)，
故选项B不符合题意；
对于选项C，添加AB=AE，则能判定△ABC≌△AED，理由如下：
在△ABC和△AED中，
所以△ABC≌△AED(SAS)，
故选项C不符合题意；
对于选项D，添加BC=ED，则不能判定△ABC≌△AED，理由如下：
在△ABC和△AED中，
BC=ED，AC=AD，∠CAB=∠DAE，不符合全等三角形的判定，
所以添加选项D中的条件，不能判定△ABC≌△AED，
故选项D符合题意.
(2)如图，已知点A，D，B，F在一条直线上，AC=EF，BC=DE，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是　　　　　　　　　　　　.
∠ACB=∠FED(答案不唯一)
解析　添加条件∠ACB=∠FED，
因为
所以△ABC≌△FDE(SAS).
二、三角形全等的判定的综合应用
　　(课本P107例8)已知：如图，AB=CD，BC=DA，E，F是AC上的两点，且AE=CF.
求证：BF=DE.
例2
证明　在△ABC和△CDA中，∵
∴△ABC≌△CDA.(SSS)
∴∠1=∠2.(全等三角形的对应角相等)
在△BCF和△DAE中，∵
∴△BCF≌△DAE.(SAS)∴BF=DE.(全等三角形的对应边相等)
　　(课本P108例9)求证：全等三角形对应边上的高相等.
已知：如图，△ABC≌△A'B'C'.AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'对应边上的高.
求证：AD=A'D'.
例3
证明　方法一　∵△ABC≌△A'B'C'，(已知)
∴AB=A'B'，∠B=∠B'.(全等三角形的对应边相等、对应角相等)
∵AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，(已知)
∴∠ADB=∠A'D'B'=90°.(垂直的定义)
在△ABD和△A'B'D'中，
∵
∴△ABD≌△A'B'D'.(AAS)
∴AD=A'D'.(全等三角形的对应边相等)
方法二　∵△ABC≌△A'B'C'，(已知)
∴BC=B'C'，S△ABC=S△A'B'C'.(全等三角形的对应边相等、面积相等)
又∵S△ABC=·BC·AD，S△A'B'C'=·B'C'·A'D'，
∴·BC·AD=·B'C'·A'D'.
∴AD=A'D'.(等式的性质)
反思感悟
多次判定三角形全等，需要先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件；注意“SSA”不能作为全等三角形一种证明方法使用.
　　　如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AD=BC.求证：BD=AC.
以下是合作小组三名同学关于此题的讨论：
跟踪训练2
小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等，从而得到BD=AC.”
小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等，从而得到BD=AC.”
小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明BD=AC.”
看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请补充三名同学的证明过程并写出你的解决方法.
解　小丽方法：
因为AC⊥BC，BD⊥AD，
所以∠D=∠C=90°.
所以在△AOD和△BOC中，
所以△AOD≌△BOC，
所以AO=BO，DO=CO.
所以AO+CO=BO+DO，即BD=AC.
小颖方法：
连接AB.如图1.
因为AC⊥BC，BD⊥AD，
所以∠D=∠C=90°.
在Rt△ABD和Rt△BAC中，
所以Rt△ABD≌Rt△BAC.
所以BD=AC.
小雨方法：
连接AB，
因为AC⊥BC，BD⊥AD，
所以∠D=∠C=90°.
所以在△AOD和△BOC中，
所以△AOD≌△BOC，
所以S△AOD=S△BOC，
所以S△AOD+S△AOB=S△BOC+S△AOB，
即S△ABD=S△ABC.
又因为S△ABD=AD·BD，S△ABC=BC·AC，
所以AD·BD=BC·AC，
因为AD=BC，
所以BD=AC.
其他方法：如图2，连接CD，
作OE⊥CD于E，因为AC⊥BC，BD⊥AD，
所以∠ADO=∠BCO=90°.
所以在△AOD和△BOC中，
所以△AOD≌△BOC，
所以∠A=∠B，OD=OC，
因为∠OED=∠OEC=90°，OE=OE，
所以Rt△OED≌Rt△OEC，
所以∠ODC=∠OCD，
所以∠ADC=∠BCD.
在△ADC和△BCD中，
所以△ADC≌△BCD，
所以AC=BD.
1.根据下列条件，能唯一画出△ABC的是
A.AB=3，BC=4，AC=8
B.AB=4，BC=3，∠A=30°
C.∠A=60°，∠B=45°，AB=6
D.∠C=90°，AB=6
√
解析　A项，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”.
在AB=3，BC=4，AC=8中，AB+BC=3+4=7，而7<8，不满足三边关系，所以不能构成三角形，更无法唯一画出△ABC，不符合题意；
B项，已知AB=4，BC=3，∠A=30°.此时∠A不是AB与BC的夹角(AB与BC的夹角是∠B)，根据这些条件画出的三角形不唯一，因为以B为顶点，BC=3，AB=4，∠A=30°，C点的位置不唯一，所以不能唯一画出△ABC，不符合题意；
C项，已知∠A=60°，∠B=45°，AB=6，因为两角及其夹边确定(ASA，即角边角判定定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等)，∠A，∠B的夹边是AB，所以根据这些条件能唯一确定△ABC，可以唯一画出△ABC，符合题意；
D项，已知∠C=90°，AB=6(斜边)，但未给出其他边或角，无法唯一确定直角三角形的两直角边，排除，不符合题意.
2.(2025·安徽淮南期末)如图，点A，D，C，F在一条直线上，AB=DE，∠A=∠EDF，下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是
A.AD=CF
B.∠BCA=∠F
C.∠B=∠E
D.BC=EF
√
解析　已知点A，D，C，F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠EDF.添加的一个条件是AD=CF，可以得到AC=DF，根据SAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项A不符合题意；
添加的一个条件是∠BCA=∠EFD，根据AAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意；
添加的一个条件是∠B=∠E，根据ASA可以证明△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；
添加的一个条件是BC=EF，根据SSA不可以证明△ABC≌△DEF，故选项D符合题意.
3.如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=4，则五边形ABCDE的面积为
A.8 B.16
C.12 D.10
√
解析　如图，延长DE至点F，使EF=BC，连接AC，AD，AF，
在△ABC与△AEF中，，
所以△ABC≌△AEF，
所以AC=AF，
因为AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∠AED=90°，
所以CD=EF+DE=DF，
在△ACD与△AFD中，
所以△ACD≌△AFD，
所以五边形ABCDE的面积是S=2S△ADF=2×·DF·AE=2××4×4=16.
4.如图，△ABC≌△DEF，M，N分别是AB，AC上的点，在△DEF中画出与MN对应的线段PQ，并说明PQ=MN.以下是小亮的部分解答过程，请补全图形(用尺规作图)和说理过程.
解：以D为圆心，AM的长为半径作弧，交DE于点P；　　　　，交DF于点Q，连接PQ.
因为△ABC≌△DEF，
根据“全等三角形对应角相等”，
所以　　　　.
在△AMN和△DPQ中，
因为AM=DP，∠A=∠D，AN=DQ，
根据全等三角形的判定条件“　　　　”，
所以△AMN≌△DPQ.
根据　　　　， 所以PQ=MN.
解　如图所示，
以D为圆心，AM的长为半径作弧，交DE于点P；以D为圆心，AN的长为半径作弧，交DF于点Q，连接PQ.
因为△ABC≌△DEF，
根据“全等三角形对应角相等”，所以∠A=∠D.
在△AMN和△DPQ中，
因为AM=DP，∠A=∠D，AN=DQ，
根据全等三角形的判定条件“SAS”，
所以△AMN≌△DPQ.
根据全等三角形对应边相等，所以PQ=MN.
本课结束

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