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第5课时　两个直角三角形全等的判定
第14章　14.2　三角形全等的判定
1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”.(重点)
2.能灵活选择方法判定两个直角三角形全等.(重点、难点)
学习目标
我们学过的判定三角形全等的方法有哪四种？这些对直角三角形是否一样适用？
课堂引入
一、直角三角形全等的判定方法
问题1　两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
提示　全等，斜边和一个锐角对应相等，再加上直角相等，根据“AAS”可得这两个直角三角形全等.
问题2　两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
提示　全等，一条直角边和一锐角对应相等，再加上直角相等，根据“AAS”或“ASA”可得这两个直角三角形全等.
问题3　两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
提示　全等，两直角边对应相等，再加上直角相等，根据“SAS”可得这两个直角三角形全等.
例1
　　(2025·马鞍山花山区期中)如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高.求证：Rt△ADE≌Rt△ADF.
证明　因为AD是△ABC的角平分线，
所以∠EAD=∠FAD.
因为DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
所以∠DEA=∠DFA=90°.
在Rt△ADE与Rt△ADF中，
所以Rt△ADE≌Rt△ADF(AAS).
反思感悟
学过的判定三角形全等的方法有四种：SAS，ASA，SSS和AAS，它们对直角三角形一样适用，注意充分运用直角相等这一隐含条件.
　　　已知：如图，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分别B，E，AE，BC相交于点F，且AB=BC.求证：△ABF≌△CBD.
跟踪训练1
证明　因为CB⊥AD，
所以∠ABC=∠CBD=90°，所以∠C+∠D=90°，
因为AE⊥DC，
所以∠A+∠D=90°，所以∠A=∠C，
在△ABF和△CBD中，
所以△ABF≌△CBD(ASA).
二、判定三角形全等的条件——斜边、直角边
问题4　任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°.再画一个Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=BC，A'B'=AB，把画好的Rt△A'B'C'剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？
画法：
(1)先画　　　　=90°；
∠MC'N
(2)在射线C'M上截取　　=BC；
B'C'
(3)以点B'为圆心，AB为半径画弧，交射线C'N于点A'；
(4)连接A'B'.
结论：把画好的Rt△A'B'C'剪下来，放到Rt△ABC上，它们能　　　.
重合
知识梳理
斜边和一条 分别相等的两个 三角形全等，简记为“斜边、直角边”或“ ”.
直角边
直角
HL
　　(课本P106例7)已知：如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE=CD.
求证：BD=CE.
例2
证明　∵BD，CE分别是△ABC的高，
∴∠BEC=∠CDB=90°.
在Rt△BEC和Rt△CDB中，∵
∴Rt△BEC≌Rt△CDB.(HL)
∴BD=CE.
反思感悟
“HL”本质上是指“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
　　　如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE.
求证：BC=BE.
跟踪训练2
证明　在Rt△ADC和Rt△AFE中，
所以Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).所以CD=EF.
在Rt△ABD和Rt△ABF中，
所以Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).
所以BD=BF.
所以BD-CD=BF-EF.即BC=BE.
1.已知：如图所示，在△ABC与△ABD中，∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△ABD(HL)成立，还需要加的条件是
A.∠BAC=∠BAD
B.BC=BD或AC=AD
C.∠ABC=∠ABD
D.AB为公共边
√
解析　需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由如下：
若添加的条件为BC=BD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
因为所以Rt△ABC≌Rt△ABD(HL)；
若添加的条件为AC=AD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
因为所以Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).
2.(2025·广西南宁期末)下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是
A.一锐角对应相等 B.两锐角对应相等
C.一条边对应相等 D.两条直角边对应相等
√
解析　两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A，C；
而B构成了AAA，不能判定全等；
D构成了SAS，可以判定两个直角三角形全等.
3.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，其中左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等.若DF=6 m，DE=8 m，AD=4 m，则BF=　　m.
18
解析　由题意知，滑梯，墙，地面正好构成直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
所以Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，
所以AB=DE=8 m，
所以BF=AB+AD+DF=8+4+6=18(m).
4.如图，AC⊥CB，DB⊥CB，AB=DC.求证：∠ABD=∠ACD.
证明　因为AC⊥CB，DB⊥CB，
所以∠ACB=∠DBC=90°.
在Rt△ACB和Rt△DBC中，
所以Rt△ACB≌Rt△DBC(HL)，所以∠1=∠2，
所以∠DBC-∠1=∠ACB-∠2，即∠ABD=∠ACD.
本课结束

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