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第4课时　其他判定两个三角形全等的条件
第14章　14.2　三角形全等的判定
1.掌握三角形全等的“AAS”判定，并能应用它判别两个三角形是否全等，以及运用该条件解决一些简单的实际问题.(重点)
2.经历比较、证明等探究过程，提高分析、归纳、表达、逻辑推理等能力，并通过对知识方法的探究，培养反思的习惯及理性思维.(难点)
学习目标
给出三个条件画三角形时，共有六种情况，我们已经研究了三种：(SAS，ASA，SSS)每种情况下作出的三角形都全等，剩下的以下三种情况画出的三角形是否全等？
(1)三角相等；
(2)两边和其中一边的对角对应相等；
(3)两角和其中一角的对边对应相等.
情境引入
一、“AAA”和“SSA”不能判定三角形全等
问题1　如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，但这两个三角形　　　，故三个内角对应相等的三角形　　　　　.
不全等
不一定全等
问题2　如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD；△ABC和△ABD满足AB=　　，AC=AD，∠B=　　，但△ABC与△ABD不全等；由此得到结论：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形　　　　　.
AB
∠B
不一定全等
例1
　　下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是
A.AB=DE，∠B=∠E，BC=EF
B.AB=DE，∠A=∠D，AC=DF
C.BC=EF，∠B=∠E，AC=DF
D.BC=EF，∠C=∠F，AC=DF
√
解析　四个选项都是两边一角分别相等，但选项A，B，D是两边及其夹角对应相等，符合全等的条件；
而选项C是两边及其一边的对角对应相等，不符合全等的条件.
反思感悟
判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等；解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的.
　　　如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；
④∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
其中能使△ABC≌△DEF的条件共有　　组.
跟踪训练1
3
解析　第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF；
第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF；
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF；
第④组是AAA，不能证明△ABC≌△DEF.
所以有3组能证明△ABC≌△DEF.
二、判定三角形全等的条件——角角边
问题3　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等吗？为什么？
已知：在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，AC=A'C'，
求证：△ABC≌△A'B'C'.
提示　因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A'+∠B'+∠C'=180°，
而∠A=∠A'，∠B=∠B'，
所以∠C=∠C'，
在△ABC和△A'B'C'中，
所以△ABC≌△A'B'C'(ASA).
知识梳理
两角分别 且其中一组等角的 相等的两个三角形全等，简记为“角角边”或“ ”.
相等
对边
AAS
　　(课本P104例6)已知：如图，点B，F，C，D在一条直线上，AB=ED，AB∥ED，AC∥EF.
求证：△ABC≌△EDF.
例2
证明　∵AB∥ED，AC∥EF，(已知)
∴∠B=∠D，∠ACB=∠EFD.(两直线平行，内错角相等)
在△ABC和△EDF中，∵
∴△ABC≌△EDF.(AAS)
反思感悟
当要证明全等的两个三角形已有两组角分别相等时，一定要再找一组边(可以是两角的夹边，也可以是其中一组等角的对边)相等，方可得到这两个三角形全等.
　　　(1)(2025·安徽合肥期中)如图，已知∠1=∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需添加条件
A.AD=BC B.BD=AC
C.∠D=∠C D.OA=OB
跟踪训练2
√
解析　因为∠1=∠2，AB=BA，
所以补充AD=BC，OA=OB不能证明△ACB≌△BDA，
补充BD=AC，由SAS证明△ACB≌△BDA，
补充∠D=∠C，由AAS可证明△ACB≌△BDA.
(2)如图，点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于点F，∠1=∠2=∠3，AB=AD.求证：△ABC≌△ADE.
证明　因为∠1=∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，
所以∠1+∠DAF=∠2+∠DAF，∠C=180°-∠3-∠DFC，∠E=180°-∠2-∠AFE，
所以∠BAC=∠DAE，∠C=∠E，
在△ABC与△ADE中，
所以△ABC≌△ADE(AAS).
1.如图，在△ABC中，图中的字母a，b，c表示三角形的边长，则①②③④四个三角形中的条件能够判定和△ABC全等的是
√
A.①和② B.②和③
C.③和④ D.②和④
解析　①图的三角形与△ABC不能证明两个三角形全等；
②图的三角形与△ABC可以利用SAS证明两个三角形全等；
③图的三角形与△ABC不能证明两个三角形全等；
④图的三角形与△ABC可以利用AAS证明两个三角形全等.
2.如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是
A.∠A=∠D B.BC=EF
C.AC=DF D.∠ACB=∠F
√
解析　因为∠B=∠DEF，AB=DE，
所以添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；
所以添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
所以添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF.
3.如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两条凳子之间(凳子与地面垂直).已知DC=a，CE=b.则两条凳子的高度之和为　　.
a+b
解析　由题意可得∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
则∠DAC=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
所以△ACD≌△CBE(AAS)，
故BE=DC=a，CE=AD=b，
则两条凳子的高度之和为a+b.
4.(2025·广西防城港质检)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.求证：△BDE≌△CDF.
证明　因为CF∥AB，
所以∠B=∠FCD，∠BED=∠F，
因为点D是BC的中点，
所以BD=CD，
在△BDE与△CDF中，
所以△BDE≌△CDF(AAS).
本课结束

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