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第2课时　两角及其夹边分别相等的两个三角形
第14章　14.2　三角形全等的判定
1.能利用“角边角”判定两个三角形全等.(重点)
2.通过证三角形全等来证明线段相等或角相等.(难点)
学习目标
如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具？如果可以，带哪块去合适？
情境引入
一、判定三角形全等的条件——角边角
问题　先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使A'B'=AB，∠A'=∠A，∠B'=∠B(即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
作法：(1)画A'B'=　　；
(2)在A'B'的同旁画∠DA'B'=　　，∠EB'A'=　　，A'D，B'E相交于点C'.
结论：把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们相互重合，说明它们　　.
AB
∠A
∠B
全等
知识梳理
两角及其 分别 的两个三角形全等，简记为“角边角”或“ ”.
夹边
相等
ASA
例1
　　(课本P98例3)已知：如图，点A，B，E在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠4.
求证：DB=CB.
证明　∵∠ABD与∠3互为邻补角，∠ABC与∠4互为邻补角，(已知)
又∵∠3=∠4，(已知)
∴∠ABD=∠ABC.(等角的补角相等)
在△ADB和△ACB中，∵
∴△ADB≌△ACB.(ASA)
∴DB=CB.(全等三角形的对应边相等)
反思感悟
证明三角形全等时常见的隐含条件：(1)公共边或公共角相等；(2)对顶角相等；(3)等边加(或减)等边，其和(或差)仍相等；(4)等角加(或减)等角，其和(或差)仍相等.
　　　(1)已知：如图，点A，F，E，C在同一条直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D.
求证：△ABE≌△CDF.
跟踪训练1
证明　因为AB∥DC，
所以∠A=∠C.
在△ABE和△CDF中，
所以△ABE≌△CDF(ASA).
(2)(2025·安徽合肥期末)如图，已知△ABC和△ADE，AB=AD，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D.求证：AC=AE.
证明　因为∠BAD=∠CAE，
所以∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
所以△BAC≌△DAE(ASA)，
所以AC=AE.
二、“角边角”的应用
　　(课本P99例4)如图，点A，B位于河岸两侧，且AB垂直于河岸MN.要测量A，B两点之间的距离，可以在MN上取两点C，D，使BC=CD，再过点D作MN的垂线DE，使点A，C，E在同一直线上，这时测得ED的长就可得到A，B两点之间的距离，请说明这种测量方法的依据.
例2
证明　∵AB⊥MN，ED⊥MN，(已知)
∴∠ABC=∠EDC=90°.(垂直的定义)
在△ABC和△EDC中，∵
∴△ABC≌△EDC.(ASA)
∴AB=ED.(全等三角形的对应边相等)
反思感悟
生活中求距离的问题，可以根据实际问题中给定的条件，把实际问题转化为全等三角形问题，先确定出哪两个三角形全等，再根据全等三角形的性质求出两点之间的距离.
　　　(2025·广西贵港期中)小强为了测量一幢高楼高度AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P.如图，CD⊥DB，AB⊥DB，测得旗杆顶点C处视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶点A处视线PA与地面夹角∠APB=54°，且CD=PB.
(1)证明：△CPD≌△PAB；
跟踪训练2
证明　因为∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，
所以∠DCP=∠APB=54°，
在△CPD和△PAB中，
所以△CPD≌△PAB(ASA).
(2)CD=10米，DB=36米，求大楼AB的高.
解　因为△CPD≌△PAB，
所以PD=AB，
因为DB=36米，PB=CD=10米，
所以AB=36-10=26(米)，
故楼AB高是26米.
1.在△ADF和△BCE中，AD=BC，∠A=∠B，直接利用“ASA”证得△ADF≌△BCE的条件是
A.AF=BE B.∠D=∠C
C.∠F=∠B D.CE=DF
√
解析　在△ADF和△BCE中，
所以△ADF≌△BCE(ASA).
2.如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是
A.SAS B.SSS
C.AAS D.ASA
√
解析　根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形.
3.(2025·广西桂林期中)如图，点P在∠AOB的平分线上，若利用“ASA”使△AOP≌△BOP，且不添加辅助线，则需添加的一个条件是　　　　　　　.
∠APO=∠BPO
解析　添加∠APO=∠BPO.
理由：因为点P在∠AOB的平分线上，
所以∠AOP=∠BOP，在△AOP和△BOP中，
因为
所以△AOP≌△BOP(ASA).
4.如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF.求证：AF=DF.
证明　因为AB∥CD，
所以∠B=∠FED，
在△ABF和△DEF中，
所以△ABF≌△DEF(ASA)，所以AF=DF.
本课结束

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