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(共30张PPT)
3.1　方　程(1)
第3章　一次方程与方程组
1.掌握方程与方程的解的概念.(重点)
2.能针对具体问题列出方程，体会方程思想.(难点)
学习目标
情境引入
我国古代数学著作《九章算术》中，有一个著名的“鸡兔同笼”问题：笼子里有若干只鸡和兔.从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚.鸡和兔各有几只？
思考：你有哪些方法解决这道经典有趣的数学题？
列算式：列出的算式表示解题的计算过程，只能用已知数.对于较复杂的问题，列算式比较困难.
情境引入
解法一：鸡：(35×4－94)÷2＝23(只)，兔：35－23＝12(只).
解法二：兔：(94－35×2)÷2＝12(只)，鸡：35－12＝23(只).
列方程：方程是根据题中的相等关系列出的等式.既可用已知数，又可用未知数，解决问题比较方便.
本章我们将学习一种新的方法，通过列方程来解决这个问题.
一、方程的概念与列方程
问题1　在参加2022年北京冬奥会的中国代表队中，自由式滑雪运动员有21人，比花样滑冰运动员的3倍少3人.参加本届冬奥会的花样滑冰运动员有多少人？
提示　设参加冬奥会的花样滑冰运动员有x人，根据题意，得3x－3＝21.
问题2　王玲今年12岁，她的爸爸36岁.再过几年，她爸爸年龄是她年龄的2倍？
提示　设再过x年，王玲爸爸的年龄是她年龄的2倍.这时王玲的年龄是(12＋x)岁，她爸爸的年龄是(36＋x)岁.根据题意，得36＋x＝2(12＋x).
问题3　已知长方形的面积为180 m2，其中长比宽多3 m，求长方形的宽是多少？
提示　设宽为x m，则长为(x＋3)m.根据题意，得x(x＋3)＝180.
知识梳理
1.含有未知数的_____叫作方程.
(1)方程中包含两个要求：①必须是等式；②必须含有未知数.两者缺一不可.
(2)方程一定是等式，但等式不一定是方程.
(3)方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示.
(4)方程中可含多个未知数.
2.列方程的一般步骤：
第一步：分析题意，找出相等关系，分清题中的已知量、未知量；
第二步：根据题意设出未知数；
第三步：用含未知数的式子将相等关系中的量表示出来，从而列出方程.
等式
(课本P93例1)根据题意，设未知数并列出方程.
(1)已知长方形的周长是16 cm，长比宽多2 cm，则这个长方形的长是多少？
例1
解　设这个长方形的长是x cm，则宽是(x－2)cm，
根据题意，得2[x＋(x－2)]＝16.
(2)把若干本书发给学生.如果每人发4本，还剩下2本；如果每人发5本，还差5本.共有多少名学生？
解　设共有y名学生，根据题意，
得4y＋2＝5y－5.
(1)下列各式中，是方程的是
A.3－2＝1 B.y－5
C.3m>2 D.2x＋1＝5
跟踪训练1
解析　A项，3－2＝1不含有未知数，不是方程，不符合题意；
B项，y－5不是等式，也不是方程，不符合题意；
C项，3m>2不是等式，也不是方程，不符合题意；
D项，2x＋1＝5是方程，符合题意.
√
(2)若学校一共购买了x台电脑分配给学生，每组一台电脑.若每6名学生为一组，那么恰好空出5台电脑；如果每4名学生为一组，那么电脑恰好分完.根据题意，可列方程为：　　　　　　　.
6(x－5)＝4x
(3)根据题意列出方程(只列方程).
①某数的40%比它的相反数的还少；
解　设该数为x，则它的相反数为－x，
根据题意得(－x)－40%x＝.
②某长方形的周长是10，长与宽之比为3∶2，则长和宽各是多少？
解　设长方形的长为y，则宽为y，
根据题意得2＝10.
③从正方形的铁皮上截去一个2 cm宽的长方形条，余下的面积是80 cm2，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？
解　设原来的正方形铁皮的边长是a cm，则剩余部分的宽为(a－2)cm，
根据题意得a(a－2)＝80.
二、方程的解与解方程
问题4　观察问题1的方程3x－3＝21：
当x＝7时，左边＝3×7－3＝18≠21；
当x＝8时，左边＝3×8－3＝21＝右边；
当x＝9时，左边＝3×9－3＝24≠21.
思考：观察上式有什么发现？什么情况下方程成立？你能得出方程的解的概念吗？
提示　当x取8时，方程的左边等于右边；x取7或9时，方程的左边不等于右边.
知识梳理
使方程两边相等的未知数的值叫作_________.
求方程的解的过程叫作_______.
方程的解
解方程
判断下列各数是否为方程x(x＋3)＝180的解：
x＝－15，x＝－12，x＝12，x＝15.
例2
解　当x＝12时：左边＝12×15＝180＝右边，是方程的解；
当x＝－12时：左边＝－12×(－9)＝108≠180，不是方程的解；
当x＝15时：左边＝15×18＝270≠180，不是方程的解；
当x＝－15时：左边＝(－15)×(－12)＝180＝右边，是方程的解.
(1)x＝3是下列哪个方程的解
A.3x－1＝2 B.2x－3＝－x
C.|x－3|＝1 D.(x－1)2＝4
跟踪训练2
√
解析　A项，把x＝3代入方程3x－1＝2，左边＝3×3－1＝8，右边＝2，左边≠右边，故选项A不符合题意；
B项，把x＝3代入方程2x－3＝－x，左边＝2×3－3＝3，右边＝－3，左边≠右边，故选项B不符合题意；
C项，把x＝3代入|x－3|＝1，左边＝|3－3|＝0，右边＝1，左边≠右边，故选项C不符合题意；
D项，把x＝3代入方程(x－1)2＝4，左边＝(3－1)2＝22＝4，右边＝4，故选项D符合题意.
(2)判断下列各题大括号内的值是不是相应方程的解.
①2x－3＝5(x－3)，{6，4}；
解　当x＝6时，左边＝2×6－3＝9，
右边＝5×(6－3)＝15，左边≠右边，所以x＝6不是原方程的解.
当x＝4时，左边＝2×4－3＝5，
右边＝5×(4－3)＝5，左边＝右边，所以x＝4是原方程的解.
②x2＝2－x，{1，－2}.
解　当x＝1时，左边＝12＝1，
右边＝2－1＝1，左边＝右边，所以x＝1是原方程的解.
当x＝－2时，左边＝(－2)2＝4，
右边＝2－(－2)＝4，左边＝右边，所以x＝－2是原方程的解.
(3)一个数的2倍加30，比这个数的6倍少14，求这个数.
①设这个数为x，列出关于x的方程；
解　设这个数为x，依题意得，
2x＋30＝6x－14.
②请在x＝9，x＝10，x＝11中，找出所列的方程的解.
解　当x＝9时，左边＝18＋30＝48，右边＝54－14＝40，左边≠右边，所以x＝9不是方程2x＋30＝6x－14的解；当x＝10时，左边＝20＋30＝50，右边＝60－14＝46，左边≠右边，所以x＝10不是方程2x＋30＝6x－14的解；当x＝11时，左边＝22＋30＝52，右边＝66－14＝52，左边＝右边，
所以x＝11是方程2x＋30＝6x－14的解.
1.在6＋(－2)＝4，7x>5，2x－1＝5，2x－3，x＝3中，方程有
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
√
解析　6＋(－2)＝4不含未知数，7x>5，2x－3不是等式，它们不是方程，
2x－1＝5，x＝3符合方程的定义，它们是方程，共2个.
2.下列方程中，解为x＝2的为
A.3x＝3＋x
B.x(x－7)＝－10
C.(x－3)(x－1)＝0
D.2x＝10－4x
√
解析　把x＝2代入x(x－7)＝－10得－10＝－10；
将x＝2代入其他选项均不能满足左边等于右边.
3.已知式子：①3－4＝1；②2x－5y；③1＋2x＝0；④6x＋4y＝2；⑤3x2－2x＋1＝0.其中是方程的有　　　　　.(只填序号即可)
③④⑤
解析　由题意知，含有未知数的等式是方程，
①3－4＝1中不含有未知数，不是方程，是等式；
②2x－5y不是等式，不是方程；
③1＋2x＝0，④6x＋4y＝2，⑤3x2－2x＋1＝0都是含有未知数的等式，属于方程.
4.《九章算术》中有这样一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价各几何？其译文是：假设合伙买金，每人出400钱，还剩余3 400钱；每人出300钱，还剩余100钱.问人数、金价各是多少？如果设有x个人，那么可以列方程为　　　 　.
400x－3 400＝300x－100
5.根据下列问题，设未知数，列出方程.
(1)环形跑道一周长400 m，沿跑道跑多少周，可以跑3 000 m？
解　设沿跑道跑x周，可以跑3 000 m.根据题意，得400x＝3 000.
(2)甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔各买了多少支？
解　设买甲种铅笔x支，则乙种铅笔(20－x)支.根据题意，得0.3x＋0.6(20－x)＝9.
(3)一个梯形的下底长比上底长多2 cm，高是5 cm，面积是40 cm2，求上底长；
解　设上底长x cm，则下底长(x＋2)cm.根据题意，得5(x＋x＋2)÷2＝40.
(4)用买10个大水杯的钱，可以买15个小水杯，大水杯比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？
解　设小水杯的单价为x元，则大水杯的单价(x＋5)元.根据题意，得10(x＋5)＝15x.
本课结束

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