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3.2　一元一次方程及其解法(1)
第3章　一次方程与方程组
1.理解并掌握一元一次方程的概念.
2.掌握移项的定义，能够熟练利用移项、去括号解简单的一元一次方程.(重点、难点)
3.理解解方程的过程就是使方程逐步转化为x＝a的形式，体会化归思想.
学习目标
情境引入
约公元825年，中亚细亚数学家阿尔—花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程.这本书的拉丁译本取名为《对消与还原》.
对消，顾名思义，就是将方程中各项成对消除的意思.相当于现代的“合并同类项”.“还原”是什么意思呢？
一、一元一次方程及相关概念
问题1　判断下列各式哪些是方程？
①7－1＝6；②3x－3＝21；③x－1；④＝1；⑤36＋x＝2(12＋x)；
⑥x>3；⑦4y＋2＝5y－5；⑧a2－1＝0；⑨b2≠1.
提示　②④⑤⑦⑧.
问题2　观察下面的方程，它们有哪些特点？
3x－3＝21；36＋x＝2(12＋x)；4y＋2＝5y－5.
①　　　　；
②　　　　；
③　　　　.
提示　①只含有一个未知数.②未知数的次数都是1.③等式两边都是整式.
知识梳理
1.方程的两边都是整式，这样的方程称为_________.
2.只含有一个__________，未知数的次数是___，且等式两边都是_____的方程叫作一元一次方程.
3.一元方程的解也叫作___.
整式方程
未知数(元)
整式
根
1
若(m－1)＝6是关于x的一元一次方程，则m等于
A.1 B.－1
C.1或－1 D.0
例1
解析　由题意，得
|m|＝1且m－1≠0，
解得m＝－1.
√
(1)以下方程：①x－2＝；②0.2x＝1；③2x－1＝0；④＝x－3；⑤y＝0；⑥x－y＝6；⑦x2－4＝3x.其中一元一次方程有
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
跟踪训练1
√
解析　一元一次方程有②0.2x＝1；③2x－1＝0；④＝x－3；⑤y＝0，共4个.
(2)若方程＋1＝6是关于x的一元一次方程，则a的值为　　　　.
解析　若方程＋1＝6是关于x的一元一次方程，
则3a＋7＝1，
解得a＝－2.
－2
二、通过移项解一元一次方程
问题3　利用等式的基本性质解一元一次方程：5x＝3x＋8.
方程两边都减去3x，得5x－3x＝3x＋8－3x，
即2x＝8.
方程的两边同除以2，得x＝4.
x＝4就是方程5x＝3x＋8的解.
思考总结解方程的过程.
提示　
知识梳理
1.移项的定义：在解方程的过程中，等号的两边加上或减去方程中某一项的变形过程，相当于将这一项改变符号后，从方程的一边移到另一边.这种变形过程叫作移项.
2.移项的依据是等式的基本性质1.
3.“移项”起了什么作用？
通过移项，可以简化方程，使含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x＝a的形式.
解方程：
(1)2y＋3＝11－2y；
例2
解　2y＋3＝11－2y，移项，得2y＋2y＝11－3，
合并同类项，得4y＝8，
两边都除以4，得y＝2.
(2)4x－7＝5－2x；
解　4x－7＝5－2x，
移项，得4x＋2x＝5＋7，
合并同类项，得6x＝12，
两边都除以6，得x＝2.
(3)x－3＝1－x.
解　x－3＝1－x，
移项，得x＋x＝1＋3，
合并同类项，得x＝4，
两边都除以，得x＝3.
反思感悟
移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边.
(1)解方程2x－5＝1＋x移项后正确的是
A.2x－x＝1－5
B.2x－x＝1＋5
C.2x＋x＝1＋5
D.－2x－x＝1＋5
跟踪训练2
√
解析　2x－5＝1＋x，
移项得2x－x＝1＋5.
(2)已知x＝2是方程ax－5＝3a－3的解，则a＝　　　　　.
解析　因为x＝2是方程ax－5＝3a－3的解，
所以2a－5＝3a－3，
所以－a＝－3＋5，
所以a＝－2.
－2
(3)解方程：①3x－2＝2x＋1；
解　3x－2＝2x＋1，
移项，得3x－2x＝1＋2，
合并同类项，得x＝3.
②2x＋4＝5x－2.
解　2x＋4＝5x－2，
移项，得2x－5x＝－2－4，
合并同类项，得－3x＝－6，
两边同除以－3，得x＝2.
三、通过去括号解一元一次方程
知识梳理
去括号必须注意的事项：
1.如果括号外的因数是负数时，去括号后，原括号内各项的符号要改变；
2.乘数与括号内多项式相乘时，乘数应乘括号内的每一项，不要漏乘.
解下列方程：
(1)3＝1－2(4＋x)；
例3
解　去括号，得3＝1－8－2x，
移项，得2x＝1－8－3，
合并同类项，得2x＝－10，
两边都除以2，得x＝－5.
(2)x＋1－2(x－1)＝1－3x.
解　去括号，得x＋1－2x＋2＝1－3x，
移项，得x－2x＋3x＝1－1－2，
合并同类项，得2x＝－2，
两边都除以2，得x＝－1.
(1)解方程2(2x－1)＝1－(3－x)，去括号正确的是
A.4x－1＝1－3－x
B.4x－1＝1－3＋x
C.4x－2＝1－3＋x
D.4x－2＝1－3－x
跟踪训练3
√
(2)解方程：①5(x－5)＋2(x－12)＝0.
解　5(x－5)＋2(x－12)＝0，
5x－25＋2x－24＝0，
5x＋2x＝25＋24，
7x＝49，
解得x＝7.
②5(x＋1)＝8x－2(x－1).
解　5(x＋1)＝8x－2(x－1)，
5x＋5＝8x－2x＋2，
5x＋5＝6x＋2，
5x－6x＝2－5，
－x＝－3，
x＝3.
1.下列各式中，属于一元一次方程的是
A.x＋3y＝0 B.3x＋1＝4
C.x＋1>1 D.－2xy＋5xy＝3xy
√
解析　A项，含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B项，是一元一次方程，故此选项符合题意；
C项，不是方程，故此选项不符合题意；
D项，含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意.
2.解方程3x＋4＝4x－5时，移项正确的是
A.3x－4x＝－5－4
B.3x＋4x＝4－5
C.3x＋4x＝4＋5
D.3x－4x＝－5＋4
√
3.当关于x的方程2x－1＝ax＋3的解为x＝1时，a的值是
A.－1 B.－2
C.－3 D.4
√
解析　把x＝1代入2x－1＝ax＋3，得
2－1＝a＋3，
解得a＝－2.
4.解方程：
(1)5x＋3＝－2x－11；
解　5x＋3＝－2x－11，
移项、合并同类项，得7x＝－14，
两边同除以7，得x＝－2.
(2)5x－2(x－1)＝x－2.
解　5x－2(x－1)＝x－2，
去括号，得5x－2x＋2＝x－2，
移项、合并同类项，得2x＝－4，
两边同除以2，得x＝－2.
5.已知关于x的方程(m－4)xm+5＋24＝0是一元一次方程.试求：
(1)m的值及方程的解；
解　关于x的方程(m－4)xm+5＋24＝0是一元一次方程，
所以m＋5＝1，
解得m＝－4，
此时m－4＝－8≠0，
原方程为－8x＋24＝0，
解得x＝3.
(2)在(1)的条件下求出代数式(3m＋6)－3(4m－1)－m的值.
解　(3m＋6)－3(4m－1)－m
＝3m＋6－12m＋3－m
＝－10m＋9，
把m＝－4代入，原式＝－10×(－4)＋9＝49.
本课结束

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