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*3.6　三元一次方程组及其解法(1)
第3章　一次方程与方程组
1.知道三元一次方程组的概念.
2.会运用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组.(重点、难点)
学习目标
情境引入
许多实际问题涉及的未知数往往不止两个，如本章“数学史话”——“方程”的由来.
“方程”中的第一题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何.”翻译为：现在有上等稻子3捆、中等稻子2捆、下等稻子1捆，总共可以打出39斗米；上等稻子2捆、中等稻子3捆、下等稻子1捆，总共可以打出34斗米；上等稻子1捆、中等稻子2捆、下等稻子3捆，总共可以打出26斗米.问上等稻子、中等稻子和下等稻子每一捆各能打出多少斗米？”
一、三元一次方程组
问题1　情境引入的问题中有几个未知量？你能找出哪些等量关系？
提示　未知量有3个：设上、中、下等稻子(禾)每捆(秉)可出米(实)分别为x斗，y斗，z斗，
(1)3上禾＋2中禾＋下禾＝39，即3x＋2y＋z＝39， ①
(2)2上禾＋3中禾＋下禾＝34，即2x＋3y＋z＝34， ②
(3)上禾＋2中禾＋3下禾＝26，即x＋2y＋3z＝26. ③
问题2　观察问题1中的方程，你有什么发现？
提示
问题3　将三个方程联立在一起：
这个方程组和我们以前学过的二元一次方程组有什么区别呢？又怎样求出这个方程组的解呢？
知识梳理
1.由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组.
2.判断关键：①整式方程；②共含三个未知数；③含有未知数的项的次数都是1.
下列方程中，属于三元一次方程的是
A.π＋x＋y＝6
B.xy＋y＋z＝6
C.x＋2y＋3z＝9
D.3x＋2y－4z＝4x＋2y－2z
例1
解析　A项，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意；
B项，含未知数的项的最高次幂为2，不是三元一次方程，不符合题意；
C项，是三元一次方程，符合题意；
D项，方程化简为－x－2z＝0，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意.
√
下列是三元一次方程组的是
A. B.
C. D.
跟踪训练1
√
解析　对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2，
故本选项中方程组不是三元一次方程组；
对于B选项，第一个方程中分母含有未知数，
故本选项中方程组不是三元一次方程组；
对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3，
故本选项中的方程组不是三元一次方程组；
对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，
故本选项中的方程组是三元一次方程组.
二、三元一次方程组的解法
问题4　解二元一次方程组的消元法(加减法和代入法)是否也能用来解三元一次方程组呢？
解方程组：
(1)观察哪个未知数易于消去？如何操作？
提示　x的系数在①中为1，可用加减法消x.
①×2＋②→(－2x＋2x)＋(－y＋2y)＋(z＋4z)＝6－3→y＋5z＝3， ④
③－①→(x－x)＋(2y－y)＋(－4z－2z)＝－5－3→y－6z＝－8. ⑤
(2)如何继续求解？
提示　解二元一次方程组：
④－⑤→11z＝11→z＝1，代入④得y＝－2，再代入①得x＝3.
最终解为
(3)追问：若选择先消y，应如何操作？
提示　利用①中y的系数为1，将y＝3－x－2z代入②③(代入法).
知识梳理
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
解方程组：
例2
解　
①＋③，得10y＝30，解得y＝3，
②＋③，得8y－4z＝27，④
将y＝3代入④，得z＝－，
将z＝－，y＝3代入②，得x＝，
所以原方程组的解为
(1)解方程组如果要使运算简便，那么消元时最
好应
A.先消去x B.先消去y
C.先消去z D.先消常数项
跟踪训练2
√
解析　观察未知数x，y，z的系数特点发现：
未知数y的系数要么相等，要么互为相反数，
所以要使运算简便，那么消元时最好应先消去y.
(2)(ⅰ)解方程组：
解　
①＋②，得x＋z＝2， ④
②＋③，得5x－8z＝36，⑤
④×5－⑤，得13z＝－26，解得z＝－2，
把z＝－2代入④，得x＝4，
把x＝4，z＝－2代入②，得y＝0.
所以原方程组的解是
(ⅱ)解方程组：
解　
②－①，得6y＋8z＝16，
即3y＋4z＝8， ④
③－①，得3z＝15，解得z＝5，
把z＝5代入④，得3y＋20＝8，解得y＝－4，
把y＝－4，z＝5代入①，得x＋4－5＝2，解得x＝3，
所以原方程组的解为
1.三元一次方程组消去未知数c后，所得二元一次方程
组是
A. B.
C. D.
√
解析　
②－③，得3a＋3b＝3，即a＋b＝1，
③×3＋①，得5a－2b＝19，
所以
2.已知则x＋y＋z的值为　　　　.
解析　三个方程相加得2(x＋y＋z)＝12，
解得x＋y＋z＝6.
6
3.解方程组：(1)
解　
②＋③，得5a＋b＝7，④
④－①，得4a＝4，解得a＝1，
把a＝1代入①，得1＋b＝3，解得b＝2，
把a＝1代入②，得4－c＝7，解得c＝－3，
所以原方程组的解为
(2)
解　
③－①，得－x＋z＝3，④
②＋④，得4z＝4，解得z＝1.
把z＝1代入④，得－x＋1＝3，解得x＝－2.
把x＝－2代入①，得y＝8.
所以原方程组的解为
本课结束

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