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　函数的奇偶性、周期性
2026年高考数学一轮复习专题课件★★　
函数的奇偶性
回归教材
奇偶性 定义
偶函数 一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且___________________，那么函数f (x)就叫做偶函数
奇函数 一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且___________________，那么函数f (x)就叫做奇函数
f(－x)＝f (x)
f(－x)＝－f (x)
奇偶函数的性质
(1)奇函数的图象关于_____对称，偶函数的图象关于____对称．
(2)若奇函数f (x)在x＝0处有定义，则f(0)＝__．
(3)若函数f (x)是偶函数，则f (x)＝f(|x|)，反之也成立．
(4)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于y轴对称的区间上具有相反的单调性．
(5)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
(6)只有f (x)＝0(定义域是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是偶函数．
原点
y轴
0
一些常见的奇偶函数
若a＞0，且a≠1.
(1)函数f (x)＝ax＋a－x为_____函数，函数f (x)＝ax－a－x为_____函数．
偶
奇
奇
奇
奇
周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_______________，那么函数y＝f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个________的正数，那么这个________________就叫做f (x)的最小正周期．
f (x＋T)＝f (x)
最小
最小正数
1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若函数f (x)是奇函数，则必有f(0)＝0.
夯实双基
答案　(1)×　
(2)“a＋b＝0”是“函数f (x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的必要条件．
答案　(2)√　
答案　(3)√　
(4)对于函数y＝f (x)，若存在x，使f(－x)＝－f (x)，则函数y＝f (x)一定是奇函数．
答案　(4)×　
(5)若非零常数T是函数f (x)的一个周期，则kT(k∈N＋)也是函数的一个周期．
答案　(5)√
2．(课本习题改编)下列函数中为奇函数的是________；为偶函数的是________．(填序号)
①f (x)＝2x4＋3x2； ②f (x)＝x3－2x；
③f (x)＝ ； ④f (x)＝x3＋1；
⑤y＝x2sin x; ⑥y＝|ln x|.
②③⑤
①
3．若函数y＝f (x)(x∈R)是奇函数，则下列各点一定在函数y＝f (x)的图象上的是(　　)
A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))
√
解析　∵函数y＝f (x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)．即点(－a，－f(a))一定在函数y＝f (x)的图象上．
4．(2025·北京通州区期末)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，当x∈[－1，1]时，f (x)＝x2＋1，则f(2 024.5)等于(　　)
√
5．(2025·衡水中学调研)若函数 为奇函数，则实数a的值为________，且当x≥4时，f (x)的最大值为________．
2
√
授 人 以 渔
02
PART TWO
题型一　判断函数的奇偶性(自主学习)
判断下列函数的奇偶性．
(1)f (x)＝x－sin x；
【答案】　(1)奇函数　
【解析】　(1)∵x∈R，f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sin x＝－f (x)，∴f (x)为奇函数．
(2)f (x)＝x3＋x＋1；
【答案】　(2)非奇非偶函数　
【解析】　(2)∵x∈R，f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1，
∴f(－x)≠±f (x)，∴f (x)为非奇非偶函数．
【答案】　(3)既是奇函数又是偶函数　
【解析】　(3)f (x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，
所以f (x)既是奇函数又是偶函数．
【答案】　(4)奇函数　
【答案】　(5)奇函数
【解析】　(5)显然函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f (x)；当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f (x)．
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f (x)，则函数f (x)为奇函数．
状元笔记
判断函数的奇偶性的方法
(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则可立即判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于±f (x)．
(2)图象法：函数是奇(或偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称．
(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)
思考题1　判断下列函数的奇偶性．
【答案】　(1)偶函数　
【解析】　(1)易知f (x)的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝ ＝f (x)，故f (x)为偶函数．
【答案】　(2)奇函数　
【答案】　(3)偶函数
题型二　函数奇偶性的应用
(1)已知函数f (x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f (x)＝x

＋1，则f (x)的解析式为__________________．
【解析】　∵f (x)为奇函数，∴f(－x)＝－f (x)．
当x＝0时，有f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.
当x＜0时，－x＞0.
f (x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.
(2)已知偶函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)< 的x的取值范围是_____________．
(3)若函数f (x＋1)为偶函数，则函数f (x)的图象的对称轴方程为__________．
x＝1
【解析】　∵f (x＋1)为偶函数，
∴函数g(x)＝f (x＋1)的图象关于直线x＝0对称．
又函数f (x)的图象是由函数g(x)＝f (x＋1)的图象向右平移一个单位长度得到的，
∴函数f (x)的图象关于直线x＝1对称．
状元笔记
应用函数奇偶性可解决以下三类问题
(1)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x)的方程(组)，从而得到f (x)的解析式．
(2)解不等式：利用奇偶性与单调性将抽象函数的不等式化简，进而得出未知数的范围．
(3)画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的函数图象及判断另一对称区间上函数的单调性．
√
思考题2 (1)若函数f (x)＝ 是奇函数，则g(－3)＝(　　)
A．4　　　　　　　　 B．3
C．－3 D．－4
【解析】　由函数y＝f (x)的解析式可知g(－3)＝f(－3)－1，因为y＝f (x)是奇函数，则f(－3)＝－f(3)＝－log2(1＋3)＝－2，所以g(－3)＝f(－3)－1＝－2－1＝－3.
(2)已知偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f (x－1)>0，则x的取值范围是________．
(－1，3)
【解析】　由题可知，当－20.f (x－1)的图象是由f (x)的图象向右平移1个单位长度得到的．若f (x－1)>0，则－1(3)若函数f (x－2)为奇函数，f(－2)＝0且f (x)在区间[－2，＋∞)上单调递减，则f(3－x)>0的解集为_____________．　
(5，＋∞)
【解析】　∵f (x－2)为奇函数，
∴f (x－2)的图象的对称中心为(0，0)．
又∵f (x)的图象可由f (x－2)的图象向左平移2个单位长度得到，∴f (x)的图象关于点(－2，0)中心对称，
∵f (x)在[－2，＋∞)上单调递减，
∴f (x)在(－∞，－2]上也单调递减，
∴f(3－x)>0＝f(－2)，即3－x<－2，解得x＞5，∴解集为(5，＋∞)．
题型三　函数的周期性
设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f (x＋2)＝－f (x)．当x∈[0，2]时，f (x)＝2x－x2.
【答案】　(1)证明见解析　
【解析】　(1)证明：∵f (x＋2)＝－f (x)，
∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)．
∴f (x)是周期函数．
(1)求证：f (x)是周期函数；
(2)当x∈[2，4]时，求f (x)的解析式；
【答案】　(2)f (x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]　
【解析】　(2)当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.
又f (x)是奇函数，∴f(－x)＝－f (x)＝－2x－x2.∴f (x)＝x2＋2x.
又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，∴f (x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
由(1)知f (x)的一个周期为4，∴f (x)＝f (x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
即当x∈[2，4]时，f (x)＝x2－6x＋8.
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)．
【答案】　(3)1
【解析】　(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，
且f (x)的一个周期为4，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＋f(2 025)＝f(2 024)＋f(2 025)＝f(0)＋f(1)＝1.
状元笔记
函数周期性的四个常用结论
(1)若f (x＋a)＝－f (x)，则T＝2a.
(4)若f (x＋a)＝f (x＋b)，则T＝|a－b|(a，b为常数且a≠b)．
√
思考题3　(1)(2025·四川遂宁一中期末)已知函数f (x)的定义域为R，且f (x＋2)f (x)＝1，若f(0)∈(1，2)，则f(2 026)的取值范围为(　　)
A．(－2，－1) B．(1，4)
(2)已知f (x)是定义在R上的偶函数，并且f (x＋2)＝ ，当2≤x≤3时，f (x)＝x，则f(105.5)＝________．
2.5
【解析】　由已知，可得f (x＋2)≠0，则f (x＋4)＝f (x＋2＋2)＝ ，故函数f (x)的一个周期为4.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．　
∵2<2.5<3，由题意，得f(2.5)＝2.5.
∴f(105.5)＝2.5.
(3)设f (x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f (x)＝log2(x＋1)，则函数f (x)在[1，2]上的解析式是________________．
f (x)＝log2(3－x)
【解析】　令x∈[－1，0]，则－x∈[0，1]，结合题意可得f (x)＝f(－x)＝log2(－x＋1)，
令x∈[1，2]，则x－2∈[－1，0]，故f (x)＝f (x－2)＝log2[－(x－2)＋1]＝log2(3－x)．
故函数f (x)在[1，2]上的解析式是f (x)＝log2(3－x)．
本课总结
常用结论记心中，快速解题特轻松
(1)①若f (x)的定义域不关于原点对称，则f (x)不具有奇偶性．
②若f (x)为奇函数，且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
③若f (x)为偶函数，则f(|x|)＝f (x)．
(2)①任意一个定义域关于原点对称的函数f (x)均可写成一个奇函数
②若函数y＝f (x)的定义域关于原点对称，则f (x)＋f(－x)为偶函数，f (x)－f(－x)为奇函数，f (x)·f(－x)为偶函数．

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