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(共55张PPT)
函数与方程
2026年高考数学一轮复习专题课件★★　
函数零点的概念
(1)函数的零点
函数零点的定义：使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点．
(2)说明
①零点不是点．
②从“数”的角度看：是使f (x)＝0的实数x.
③从“形”的角度看：是函数f (x)的图象与x轴交点的横坐标．
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函数零点与方程根的关系
方程f (x)＝0有实数解 函数y＝f (x)有零点 函数y＝f (x)的图象与______有公共点．
x轴
函数零点存在定理
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有______________，那么，函数y＝f (x)在区间______________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解．
f(a)f(b)<0
(a，b)
求函数y＝f (x)的零点的方法
(1)代数法：求方程f (x)＝0的实数根(常用公式法、因式分解法或直接求解法等)．
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f (x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
(3)二分法：主要用于求函数零点的近似值，所求零点都是指变号零点．
常用结论
(1)若函数f (x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点．
(2)若函数f (x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．
(3)若连续函数f (x)是定义域上的单调函数，则f (x)至多有一个零点．
(4)连续函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(5)连续函数的图象通过一重零点时(与x轴不相切)，函数值变号；通过二重零点时，函数值不变号．
1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．
夯实双基
答案　(1)×　
(2)函数y＝f (x)的零点就是方程f (x)＝0的实根．
答案　(2)√　
(3)若函数y＝f (x)，x∈D在区间(a，b) D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.
答案　(3)×　
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．
答案　(4)√　
(5)函数f (x)＝x2－1的零点是(－1，0)和(1，0)．
答案　(5)×
2．(课本习题改编)已知函数y＝f (x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：


则函数y＝f (x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　)
A．2个　　　　　　　　 B．3个
C．4个 D．5个
√
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6
解析　依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据函数零点存在定理可知，f (x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f (x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．
√
4．函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
√
解析　函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数即函数f (x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象的交点个数，在同一直角坐标系中分别作出f (x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象，如图所示，由图可知，两图象有2个交点，故原函数有2个零点，故选C.
5．(2025·沧衡八校联盟)已知函数 若f (x0)＝－1，则x0＝________；若关于x的方程f (x)＝k有两个不同的解，则实数k的取值范围是________．
－1
(0，1)
解析　解方程f (x0)＝－1，
解得x0＝－1.关于x的方程f (x)＝k有两个不同的解等价于y＝f (x)的图象与直线y＝k有两个不同的交点，如图所示，观察图象可知当0＜k＜1时y＝f (x)的图象与直线y＝k有两个不同的交点．即k∈(0，1)．
√
授 人 以 渔
02
PART TWO
题型一　 判断零点所在区间
(1)已知函数f (x)＝3x＋x－6有一个零点x＝x0，则x0属于下列哪个区间？(　　)
√
√
(2)(2025·安徽蚌埠模拟)已知x1＋2x1＝0，x2＋log2x2＝0，3－x3－log2x3＝0，则(　　)
A．x1C．x1【解析】　设函数f (x)＝x＋2x，
易知f (x)在R上单调递增，
f(－1)＝－ ，f(0)＝1，即f(－1)f(0)<0，
由函数零点存在定理可知－1设函数g(x)＝x＋log2x，易知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
易知h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
因为h(1)>h(x3)，
由函数单调性可知，x3>1，
即－1状元笔记
确定零点所在区间的方法
(1)定理法：利用函数零点存在定理确定．
(2)图象法：将f (x)拆成f (x)＝g(x)－h(x)，画出h(x)与g(x)的图象，从而确定方程g(x)＝h(x)的根所在的区间．
√
思考题1　(1)函数f (x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
【解析】　方法一：函数f (x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f (x)图象是一条连续不断的曲线，且在(0，＋∞)上单调递增．
由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，
根据函数零点存在定理可知，函数f (x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．
方法二：函数f (x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x与h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数图象如图所示，可知f (x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.
(2)函数f (x)＝log2x＋2x－6的零点所在的区间为(n，n＋1)，且n∈N，则n＝________．
2
题型二　 判断函数零点的个数
2
【解析】　当x≤0时，令x2－2＝0，
所以在(－∞，0]上，f (x)有一个零点；
所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f (x)在(0，＋∞)上有一个零点．综上，函数f (x)的零点个数为2.
(2)(2025·《高考调研》原创题)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝2 024x＋log2 024x，则函数f (x)的零点个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
√
【解析】　作出函数y＝2 024x和y＝－log2 024x的图象如图所示，可知函数f (x)＝2 024x＋log2 024x在(0，＋∞)上只有一个零点，又f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (x)在(－∞，0)上只有一个零点，又f(0)＝0，所以函数f (x)的零点个数是3.故选C.
状元笔记
　判断函数零点个数的方法
(1)方程法：令f (x)＝0，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点．
(2)定理法：利用函数零点存在定理不仅要求函数图象在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)图象法：令f (x)＝0，转化为两个函数相等的形式，画出两个函数图象，看其交点的个数是几，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
思考题2　(1)(2025·河南许昌市模拟)函数f (x)＝ ·cos x的零点个数为________．
6
【解析】　令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，
∴f (x)的定义域为[－6，6]．令f (x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0，
由36－x2＝0得x＝±6，由cos x＝0得x＝ ＋kπ，k∈Z，
故f (x)共有6个零点．
(2)已知定义在R上的函数f (x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0，7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f (x)＝0在区间[0，2 023]上根的个数为(　　)
A．404 B．405
C．406 D．203
√
【解析】　因为f(2＋x)＝f(2－x)，
所以f(5＋x)＝f(－x－1)．
因为f(7＋x)＝f(7－x)，
所以f (x)的图象关于直线x＝7对称且f(5＋x)＝f(－x＋9)．
故可得f(－x－1)＝f(－x＋9)，
则f (x)＝f (x＋10)，
故f (x)的一个周期为10.
又f (x)在区间[0，7]上只有x＝1和x＝3两个零点，
根据函数对称性可知，f (x)在一个周期[0，10]内也只有两个零点，
又[0，2 023]＝[0，2 020]∪(2 020，2 023]，且[0，2 020]包含202个周期，故f (x)在[0，2 020]上的零点个数为202×2＝404，
又f (x)在(2 020，2 023]上的零点个数与在(0，3]上的零点个数相同，故f (x)在(2 020，2 023]上有2个零点．
故f (x)在[0，2 023]上有406个零点，
即f (x)＝0在区间[0，2 023]上有406个根．
题型三　 函数零点的应用
(1)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f (x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax，当x∈(－1，1)时，曲线y＝f (x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　)
√
【解析】　方法一：令f (x)＝g(x)，即a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，可得ax2＋a－1＝cos x，
令F(x)＝ax2＋a－1，G(x)＝cos x，
原题意等价于当x∈(－1，1)时，曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点，
注意到F(x)，G(x)均为偶函数，则该交点只能在y轴上，
即F(0)＝G(0)，即a－1＝1，解得a＝2.
方法二：令h(x)＝f (x)－g(x)＝ax2＋a－1－cos x，x∈(－1，1)，
原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，
因为h(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称，且h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos(－x)＝ax2＋a－1－cos x＝h(x)，
所以h(x)为偶函数，根据偶函数的性质可知h(x)的零点只能为0，
即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2.
(2)(2025·江苏徐州模拟预测)已知函数f (x)是定义在R上偶函数，当x≥0时， 若函数y＝f (x)－m仅有4个零点，则实数m的取值范围是(　　)
√
状元笔记
　已知函数的零点个数求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值．
√
思考题3　(2018·课标全国Ⅰ)已知函数 g(x)＝f (x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1，0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
【解析】　函数g(x)＝f (x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f (x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数y＝f (x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出函数f (x)的图象，并平移直线y＝－x，如图所示，由图可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，函数y＝f (x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点．故选C.
√
状元笔记
根据函数零点的范围求参数常用的方法有：数形结合法(将函数的零点转化为函数图象在指定范围与x轴交点的横坐标)、由函数零点存在定理求解不等式法．
√
其中x∈(－∞，－1)，
由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f (x0)＝0，
则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域．
(1)(2025·贵州贵阳模拟)设方程3x·|log3x|＝1的两根为x1，x2(x1A．03 B．x1>
C．04
√
√
A．(－3，＋∞) B．(20，3)
C．[－3，3) D．(－3，3]
【解析】　如图，作出函数f (x)的图象，再作直线y＝a，当0由图知x1＋x2＝－4，－log2x3＝log2x4，
∴log2(x3x4)＝0，即x3x4＝1，
由log2x＝2得x＝4，因此1√
思考题5　(1)已知函数 若g(x)＝f (x)－m恰有3个零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是(　　)
【解析】　画出f (x)的图象如图，不妨设x1由图可知，当0且有 由f (x2)＝f (x3)，得|ln x2|＝|ln x3|，即ln x3＝－ln x2，
√
(2)已知函数 若a，b，c，d互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，则a＋b＋c＋d的取值范围为(　　)
A．[26，＋∞) B．(14，＋∞)
作出f (x)的草图如图，
令f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)＝m，不妨设a√
课 外 阅 读
03
PART THREE
二分法
二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精确度ε，用二分法求函数f (x)零点x0的近似值的步骤
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.
(2)求区间(a，b)的中点x1.
(3)计算f (x1)．
①若f (x1)＝0，则x1就是函数的零点．
②若f(a)·f (x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))．
③若f (x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
(1)如图是函数f (x)的图象，给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是(　　)
√
A．[－2.1，－1]　　　　 B．[4.1，5]
C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]
【解析】　结合图象可得A、B、D选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点，C选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点．故选C.
(2)在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为__________．

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