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2025.10.27初四上数学阶段测试-张店区实验
一．选择题（共10小题）
1．若反比例函数的图象经过点（3，﹣2），则该反比例函数的表达式为（　　）
A．y B．y C．y D．y
2．在△ABC中，∠C＝90°．若AB＝3，BC＝1，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．3
3．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（　　）
A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°
4．对于二次函数yx2+x﹣4，下列说法正确的是（　　）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．图象与x轴有两个交点
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） D．当x＝2时，y有最大值﹣3
5．已知点A（﹣1，y1），B（2，y2）都在双曲线y，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3
6．已知二次函数y（x）2+1，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x；③其图象顶点坐标为（，﹣1）；④当x时，y随x的增大而减小，其中说法正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在一个8×8的正方形网格中有一个△ABC，其顶点均在正方形网格的格点上，则cos∠ACB的值为（　　）
A． B． C． D．
8．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣2 B．y＝﹣x2+2 C．y＝x2﹣2 D．y＝x2+2
9．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OB＝6，反比例函数y（k≠0）的图象经过点B，将Rt△OAB沿着x轴向右平移6个单位，得到Rt△CDE，反比例函数图象恰好经过CE的中点F，则k的值为（　　）
A． B．2 C．4 D．8
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（3，0），其部分图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0：②b2﹣4ac＜0；③a+b＞0；④当x＞0时，y随x的增大而减小；⑤3a+c＝0；⑥c＜4b．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题）
11．△ABC中，若（sinA）2+|cosB|＝0，则∠C＝　 　 ．
12．已知（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y的图象上，则函数值y1，y2，y3的从大到小的关系是　 　 ．
13．如图，已知点A在反比例函数y（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥y轴于点B，△OAB的面积是2．则k的值是　 　 ．
14．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＞0的解集为　 　 ．
15．二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（3，1），（6，﹣5），若当3＜x＜6时，y随着x的增大而减小，则实数a的取值范围是　 　 ．
三．解答题（共8小题）
16．计算：
（1）；（2）．
17．一定质量的二氧化碳，它的体积V（m3）与它的密度ρ（kg/m3）之间成反比例函数关系，其图象如图所示．
（1）试确定V与ρ之间的函数表达式；
（2）当ρ＝2.5kg/m3时，求V的值．
18．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°．
①求BD和AD的长； ②求tanC的值．
19．如图，若二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若P（m，﹣2）为二次函数y＝x2﹣x﹣2图象上一点，求m的值．
20．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．
（1）求sinB的值；（2）如果CD，求BE的值．
21．已知：如图，为了躲避台风，一轮船一直由西向东航行，上午10点，在A处测得小岛P的方向是北偏东75°，以每小时15海里的速度继续向东航行，中午12点到达B处，并测得小岛P的方向是北偏东60°，若小岛周围25海里内有暗礁，问该轮船是否能一直向东航行？
22．如图，已知二次函数y1＝﹣x2x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2＝kx+b．
（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；
（2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；
（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，且B（6，4），F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y（k＞0）的图象与BC边交于点E，连接AE．
（1）当F为AB的中点时，求反比例函数和直线AE的解析式．
（2）设△EFA的面积为S，当k为何值时，S最大？并求出这个最大值．
2025.10.27初四上数学阶段测试-张店区实验
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D D B B A D C
一．选择题（共10小题）
1．若反比例函数的图象经过点（3，﹣2），则该反比例函数的表达式为（　　）
A．y B．y C．y D．y
【解答】解：设反比例函数的解析式为y（k≠0），函数的图象经过点（3，﹣2），
∴﹣2，得k＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y．
故选：B．
2．在△ABC中，∠C＝90°．若AB＝3，BC＝1，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．3
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，
∴sinA，
故选：A．
3．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（　　）
A．cos43°＞cos16°＞sin30°
B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30°
D．cos43°＞sin30°＞cos16°
【解答】解：∵sin30°＝cos60°，
又16°＜43°＜60°，余弦值随着角度的增大而减小，
∴cos16°＞cos43°＞sin30°．
故选：C．
4．对于二次函数yx2+x﹣4，下列说法正确的是（　　）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．图象与x轴有两个交点
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）
D．当x＝2时，y有最大值﹣3
【解答】解：∵yx2+x﹣4（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3），
∵a0，
当x＝2时，y有最大值﹣3，当x＜2时，y随x的增大而增大，
∴抛物线与x轴没有公共点．
故选：D．
5．已知点A（﹣1，y1），B（2，y2）都在双曲线y，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3
【解答】解：将A（﹣1，y1），B（2，y2）两点分别代入双曲线y，得y1＝﹣3﹣m，y2，
∵y1＞y2，
∴﹣3﹣m，
解得m＜﹣3，
故选：D．
6．已知二次函数y（x）2+1，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x；③其图象顶点坐标为（，﹣1）；④当x时，y随x的增大而减小，其中说法正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵a0，
∴抛物线开口向上，所以①正确；
∵y（x）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x，顶点坐标为（，1），所以②③错误；
当x时，y随x的增大而减小，所以④正确；
综上所述，正确的说法有2个．
故选：B．
7．如图，在一个8×8的正方形网格中有一个△ABC，其顶点均在正方形网格的格点上，则cos∠ACB的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：连接BD，如图所示：
∵CD，BD2，BC5，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴△BCD为直角三角形，∠BDC＝90°，
∴cos∠ACB；
故选：B．
8．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣2 B．y＝﹣x2+2 C．y＝x2﹣2 D．y＝x2+2
【解答】解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线C1的顶点为（1，2），
∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，
∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2），
∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，
∴抛物线C3的开口方向相反，顶点为（0，﹣2），
∴抛物线C3的解析式为y＝﹣x2﹣2，
故选：A．
9．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OB＝6，反比例函数y（k≠0）的图象经过点B，将Rt△OAB沿着x轴向右平移6个单位，得到Rt△CDE，反比例函数图象恰好经过CE的中点F，则k的值为（　　）
A． B．2 C．4 D．8
【解答】解：设B（a，b），
由平移知，E（a+6，b），C（6，0），
∵F是CE的中点，
∴F（a+6，b），
∵B、F点在双曲线y上，
∴k＝ab（a+6），
∴a＝4，
∵B（4，），
∴OB
∵OB＝6，
∴，
∵k＞0，
∴k
故选：D．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（3，0），其部分图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0：②b2﹣4ac＜0；③a+b＞0；④当x＞0时，y随x的增大而减小；⑤3a+c＝0；⑥c＜4b．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①由抛物线开口方向向下知，a＜0．
由抛物线对称轴位于y轴右侧知，a、b异号，即ab＜0，
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．
则abc＜0．
故错误；
②由抛物线与x轴有两个不同的交点知，b2﹣4ac＞0．
故错误；
③由对称轴x1知b＝﹣2a，则a+b＝a﹣2a＝﹣a＞0，即a+b＞0．
故正确；
④如图所示，当x＞1时，y随x的增大而减小，
故错误；
⑤如图所示，根据抛物线的对称性知，抛物线与x轴的另一交点坐标是（﹣1，0）．
所以当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a+2a+c＝3a+c＝0，即3a+c＝0，
故正确；
⑥∵3a+c＝0．
∴c＝﹣3a．
∴c﹣4b＝﹣3a﹣4b＝﹣3a+8a＝5a＜0．
故正确．
综上所述，其中正确的结论有3个．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．△ABC中，若（sinA）2+|cosB|＝0，则∠C＝　120°　 ．
【解答】解：∵（sinA）2+|cosB|＝0，
∴sinA0，cosB＝0，
∴sinA，cosB，
∴∠A＝30°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
故答案为：120°．
12．已知（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y的图象上，则函数值y1，y2，y3的从大到小的关系是y1＞y3＞y2 ．
【解答】解：∵﹣k2﹣1＜0，
∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，
∴y1＞0，y2＜y3＜0，
∴y2＜y3＜y1．
故答案为y1＞y3＞y2．
13．如图，已知点A在反比例函数y（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥y轴于点B，△OAB的面积是2．则k的值是　4　 ．
【解答】解：设点A的坐标为（xA，yA），AB⊥y轴，
由题意可知：，
∴yA xA＝4，
又点A在反比例函数图象上，
故有k＝xA yA＝4．
故答案为：4．
14．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＞0的解集为　﹣1＜x＜3　 ．
【解答】解：由图象可知：
抛物线的对称轴为：x＝1，
抛物线与x轴的一个交点为：（3，0），
则抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为：1×2﹣3＝﹣1，
由图象可知：函数值大于0的x的取值范围为：﹣1＜x＜3，
即关于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＞0的解集为：﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
15．二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（3，1），（6，﹣5），若当3＜x＜6时，y随着x的增大而减小，则实数a的取值范围是　　 ．
【解答】解：将点（3，1），（6，﹣5），代入二次函数表达式得：，解得：，
当a＞0时，则函数对称轴在x＝6的右侧，即x6，即6，解得：a，
同理当a＜0时，则函数对称轴在x＝3的左侧，即x3，即3，解得：a，
故答案为：a且a≠0．
三．解答题（共8小题）
16．计算：
（1）；（2）．
【解答】解：（1）原式＝1；
（2）原式（）．
17．一定质量的二氧化碳，它的体积V（m3）与它的密度ρ（kg/m3）之间成反比例函数关系，其图象如图所示．
（1）试确定V与ρ之间的函数表达式；
（2）当ρ＝2.5kg/m3时，求V的值．
【解答】解：（1）设V与ρ之间的函数表达式为：V，把（1.5，4）代入得：
k＝6，
故V与ρ之间的函数表达式为：；
（2）当ρ＝2.5kg/m3时，V2.4（m3）．
18．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°．
①求BD和AD的长；
②求tanC的值．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30°，
∴BDAB＝3，
∴ADBD＝3；
（2）CD＝AC﹣AD＝532，
在Rt△BCD中，tan∠C．
19．如图，若二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若P（m，﹣2）为二次函数y＝x2﹣x﹣2图象上一点，求m的值．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴A（﹣1，0），B（2，0）；
（2）把P（m，﹣2）代入y＝x2﹣x﹣2得m2﹣m﹣2＝﹣2，
解得m1＝0，m2＝1，
∴m的值为0或1．
20．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．
（1）求sinB的值；
（2）如果CD，求BE的值．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝BD，
∴∠B＝∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
又∠ACB＝90°
∴∠BCD+∠ACH＝90°
∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，即∠B＝∠CAH，
∵AH＝2CH，
∴由勾股定理得ACCH，
∴CH：AC＝1：，
∴sinB；
（2）∵sinB，
∴AC：AB＝1：，
∴AC＝2．
∵∠CAH＝∠B，
∴sin∠CAH＝sinB，
设CE＝x（x＞0），则AEx，则x2+22＝（x）2，
∴CE＝x＝1，AC＝2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∵AB＝2CD＝2，
∴BC＝4，
∴BE＝BC﹣CE＝3．
21．已知：如图，为了躲避台风，一轮船一直由西向东航行，上午10点，在A处测得小岛P的方向是北偏东75°，以每小时15海里的速度继续向东航行，中午12点到达B处，并测得小岛P的方向是北偏东60°，若小岛周围25海里内有暗礁，问该轮船是否能一直向东航行？
【解答】解：过P作PD⊥AB于点D．
∵∠PBD＝90°﹣60°＝30°
且∠PBD＝∠PAB+∠APB，∠PAB＝90﹣75＝15°
∴∠PAB＝∠APB
∴BP＝AB＝15×2＝30（海里）
∵在直角△BPD中，∠PBD＝∠PAB+∠APB＝30°
∴PDBP＝15海里＜25海里
故若继续向东航行则有触礁的危险，不能一直向东航行．
22．如图，已知二次函数y1＝﹣x2x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2＝kx+b．
（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；
（2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；
（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）将A点坐标代入y1，得
﹣16+13+c＝0．
解得c＝3，
二次函数y1的解析式为y＝﹣x2x+3，
B点坐标为（0，3）；
（2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4，
∴x＜0或x＞4时，y1＜y2；
（3）直线AB的解析式为yx+3，
AB的中点为（2，）
AB的垂直平分线为yx
当x＝0时，y，P1（0，），
当y＝0时，x，P2（，0），
综上所述：P1（0，），P2（，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形．
23．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，且B（6，4），F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y（k＞0）的图象与BC边交于点E，连接AE．
（1）当F为AB的中点时，求反比例函数和直线AE的解析式．
（2）设△EFA的面积为S，当k为何值时，S最大？并求出这个最大值．
【解答】解：（1）∵B（6，4），点F是AB的中点，
∴点F的坐标为（6，2），
∵反比例函数y（k＞0）的图象过点F，
∴k＝6×2＝12，
∴反比例函数解析式为y，
把y＝4代入y得，4，
解得x＝3，
∴E（3，4），
设直线AE的解析式为y＝ax+b，
∴
解得，
∴直线AE的解析式：；
（2）设，则，
∴S （6）k2k（k﹣12）2+3，
∴当k＝12时，S最大，最大值是3．
声明：试题

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