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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§1.5 三角函数的应用
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列等式成立的是（ ）
A．．
B．．
C．．
D．．
2．（本题3分）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）在△ABC中，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）以下各数中，与的值相等的是（ ）
A．1 B． C． D．
6．（本题3分）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则高可表示为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（ ）
A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米
10．（本题3分）如图，一根3米长的竹竿斜靠在墙边（），倾斜角为，当竹竿的顶端A下滑到点时，底端B向右滑到了点，此时倾斜角为，则的长为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．
12．（本题3分）在中，，若，则的值为 ．
13．（本题3分）已知，则值为 ．
14．（本题3分）已知为锐角，且，则 ．
15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边、都在x轴上，反比例函数的图象经过点C．已知的长度为2，则k的值为 ．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）解下列各题
(1)
(2)
(3)
(4)已知，，求的值．
17．（本题7分）如图，在中，．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
18．（本题8分）若为锐角．
(1)求证：①；②；
(2)试求：的值．
19．（本题8分）如下图，在中，为边上的中线．
(1)求的长和的值．
(2)求的值．
20．（本题8分）钓鱼岛自古以来是我国的固有领土，随着我们国家综合国力的强盛，国家对钓鱼岛的巡航已常态化．2017年9月11日，中国海警2401号船在地测得钓鱼岛在北偏东方向，现该海警船继续从地出发，以30海里/小时的速度向正北方向航行2小时后到达地．
(1)若，求钓鱼岛在地的北偏东多少度方向上？
(2)在（1）的基础上，求海警船与钓鱼岛的距离的长．（结果保留根号）
21．（本题9分）如图，是某动物园入口，、、是入口附近的三个展区，小明和小华相约从入口一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．如图是路线平面示意图，已知展区在起点的东北方向，小明从起点出发沿正北方向走了900米到展区，在展区参观10分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区．小华从起点出发向正东方向走到展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区．（参考数据：）
(1)求的长度；（结果保留根号）
(2)已知小明的平均速度为90米/分钟，小华的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区？（结果精确到0.1）
22．（本题9分）我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关．
根据上述定义，解答问题：
(1)若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______；
(2)若角的终边与直线重合，求的值；
(3)若角是钝角，其终边上一点，且，求的值．
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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§1.5 三角函数的应用
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列等式成立的是（ ）
A．．
B．．
C．．
D．．
解：A、，，则，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D．
2．（本题3分）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
3．（本题3分）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（ ）
A． B． C． D．
解：如下图所示
在Rt△ABC中，=，故A不符合题意；
在Rt中，=，故B不符合题意；
∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90°
∴∠A=∠BCD
∴=tan∠BCD=，故C不符合题意；
≠，故D符合题意．
故选D．
4．（本题3分）在△ABC中，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
解：∵在△ABC中，，
∴，
∴；
故选：A
5．（本题3分）以下各数中，与的值相等的是（ ）
A．1 B． C． D．
解：∵
∴．
故选：B．
6．（本题3分）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
解：∵，，∴，∴，故选：B．
7．（本题3分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则高可表示为（ ）
A． B． C． D．
解：是等腰的高，
，
在中，，
又，
，
故选： A．
8．（本题3分）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、，原说法错误，不符合题意；
B、，原说法错误，不符合题意；
C、，原说法正确，符合题意；
D、，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
9．（本题3分）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（ ）
A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米
解:由题意得：，，，
是的一个外角，
，
，
，
在中，（千米）．
点到直线的距离为千米．
故选：．
10．（本题3分）如图，一根3米长的竹竿斜靠在墙边（），倾斜角为，当竹竿的顶端A下滑到点时，底端B向右滑到了点，此时倾斜角为，则的长为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
解：由题意，得：，，
在中，，
在中，，
∴；
故选D．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．
解：，，
，，，
，，
，故①正确；
，故②正确；
在中，，
，故③正确；
，，
，故④正确；
故答案为①②③④．
12．（本题3分）在中，，若，则的值为 ．
解：在中，，，，
设，，
由勾股定理得：，
，
故答案为：．
13．（本题3分）已知，则值为 ．
解：如图，在直角三角形中，
由，
故，
故答案为：．
14．（本题3分）已知为锐角，且，则 ．
解：．
又，．
故答案为：
15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边、都在x轴上，反比例函数的图象经过点C．已知的长度为2，则k的值为 ．
解：过点C作轴于点E，
∵等边△AOB和菱形的边、都在x轴上，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，∴，∴，
故答案为：．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）解下列各题
(1)
(2)
(3)
(4)已知，，求的值．
解（1）
解：，
，
或，
解得：，．
（2）解：
．
（3）
解：，
或，
解得：，．
（4）∵，
∴．
17．（本题7分）如图，在中，．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
（1）解：证明如下：
∵中，，
∴，，，
∴，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．（本题8分）若为锐角．
(1)求证：①；②；
(2)试求：的值．
（1）解：若为锐角，
建立如上图所示的直角，，，
①，，
；
②，而，，
；
（2）解：由（1）可得：，， ，
．
19．（本题8分）如下图，在中，为边上的中线．
(1)求的长和的值．
(2)求的值．
解（1），
，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
．
（2）解：如图，连接，过点作的垂线，垂足为．
为边上的中线，
为的中点，
为等腰三角形，
又，
在中，，
一题多解法（2）如图，过点作的垂线，垂足为．为边上的中线，为的中点，是的中位线，，在中，.
20．（本题8分）钓鱼岛自古以来是我国的固有领土，随着我们国家综合国力的强盛，国家对钓鱼岛的巡航已常态化．2017年9月11日，中国海警2401号船在地测得钓鱼岛在北偏东方向，现该海警船继续从地出发，以30海里/小时的速度向正北方向航行2小时后到达地．
(1)若，求钓鱼岛在地的北偏东多少度方向上？
(2)在（1）的基础上，求海警船与钓鱼岛的距离的长．（结果保留根号）
（1）解：∵，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，∴，即，
∴，
解得，∴，
即钓鱼岛B在C地的北偏东45度方向上．
（2）解：如图所示，过B作于D，
由（1）得，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
则．
在中，，
即，
解得：，
即，
∴中，，
则，
∴（海里），
答：海警船与钓鱼岛的距离的长为海里．
21．（本题9分）如图，是某动物园入口，、、是入口附近的三个展区，小明和小华相约从入口一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．如图是路线平面示意图，已知展区在起点的东北方向，小明从起点出发沿正北方向走了900米到展区，在展区参观10分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区．小华从起点出发向正东方向走到展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区．（参考数据：）
(1)求的长度；（结果保留根号）
(2)已知小明的平均速度为90米/分钟，小华的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区？（结果精确到0.1）
（1）解：过点作于点，则，
由题意得：，米，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∴，即，
∴米，
∴（米），
∴（米），
答：的长度约为米；
（2）解：如图，过点作延长线于点，
在中，，米，
∴米，
在中，，（米），
∴（米），
在中，，（米），
∴（米），（米），
∴米，
∴小明所花时间：（分），小华所花时间：（分），
∵，
∴小华先到达展区．
22．（本题9分）我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关．
根据上述定义，解答问题：
(1)若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______；
(2)若角的终边与直线重合，求的值；
(3)若角是钝角，其终边上一点，且，求的值．
（1）解：如图1，
，
点在第四象限，
，，
，
，，，
、、中的正值是，
故答案为：．
（2）解：直线经过原点和第一、第三象限，且角的终边与直线重合，
点在第一象限或第三象限，且可以表示为，作轴于点．
如图2，点在第一象限，则，，
，
；
如图3，点在第三象限，则，，
，
；
综上所述，的值为或．
（3）解：如图4，
角是钝角，且点是角终边上一点，
点在第二象限，
作轴于点，
，且，
，
解得：，
，
，，
．
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