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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§1..6 利用三角函数测高
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，B为一建筑物的最高点，从地面上的A点，用测角仪在D处测得B点的仰角α，若测角仪高，，则建筑物的高可表示为（ ）
A． B． C． D．
解：过点D作于F，
由题意知：，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴．
故选：C．
2．（本题3分）如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，过点作于点，
由题意得，，，
在中，，
在中，，
，
即这栋楼的高度为，
故选A．
3．（本题3分）南湖大桥是长春的重要桥梁，某同学在校外实践活动中对此开展测量活动，在桥外点测得大桥主架与水面的交汇点的俯角为，大桥主架的顶端的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此时大桥主架顶端离水面的高为（ ）
A． B． C． D．
解：，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
．
故选：C．
4．（本题3分）如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得实验楼顶端点的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点在同一平面内，则该实验楼的高度为（ ）．
A． B． C． D．17
解：过点作于点，如图，
根据题意得，
在中，，
∴，
∴．
∵，
∴四边形为矩形，
∴，．
在中，
∵，
∴，
∴，
即该实验楼的高度为．
故选：A．
5．（本题3分）黑格兰，蒙名为雅士木杜，多生长在内蒙古自治区鄂尔多斯市乌审旗、鄂托克旗地区，因其耐寒、防潮，木质坚硬、多油的特质，深受当地牧民和文玩爱好者喜欢．黑格兰生长缓慢，生长周期长达800—1000年之久，属国家珍稀濒危树种，有着生而不枯、枯而不朽、朽而不废的美誉，被形象地称为沙漠里的“活化石”，文玩爱好者张叔叔一次出去游玩时，测量了一棵黑格兰（如图1）的最高点离地面的距离．如示意图2，已知测倾器的高度为，在测点P处安置测倾器，测得此树的最高点T的仰角，在与点P相距的测点Q处安置测倾器，测得此树的最高点T的仰角，则此树的最高点T离地面的距离约为（ ）
（结果精确到；参考数据：）
A． B． C． D．
解：过点T作，交的延长线于D，
∴，
由题意得：，
设，则，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，解得，即,
∴最高点T离地面的距离约为（米），
故选：B．
6．（本题3分）如图，小丽从点A出发，沿坡度的坡向上走了110米到点B，则她升高（ ）米．
A． B． C． D．
解：根据正弦函数得，升高的高度为，
故选：D．
7．（本题3分）甲、乙、丙三个梯子斜靠在一堵墙上(梯子顶端靠墙)，小明测得：甲与地面的夹角为；乙的底端距离墙角 ，且顶端距离墙角；丙的坡度为．那么，这三个梯子的倾斜程度为（ ）
A．甲较陡 B．乙较陡 C．丙较陡 D．一样陡
解：∵乙的底端距离墙角 ，且顶端距离墙角，
∴设乙梯子与地面的夹角为，
∴，
∴，
∵丙的坡度为，
∴设丙梯子与地面夹角为，
∴，
∴，
又甲与地面的夹角为，
∴这三个梯子的倾斜程度相同，
故选：D．
8．（本题3分）如图，施工队在斜坡上栽了两棵树，它们之间的水平距离为，斜坡的坡度为，则这两棵树之间的坡面的长为（ ）
A． B． C． D．
解：∵斜坡的坡度为，
∴，即，
∴，
∴，
故选：．
9．（本题3分）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，
在中，米，，
∵，∴（米），
故选：D．
10．（本题3分）如图，河坝横断面迎水坡的坡度，坝高，则坡面的长度为（ ）
A． B． C． D．
解：在中，，，
，
．
故选：D．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为 m．（参考数据：，，）
解：过点A作，垂足为E，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
则，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴该建筑的高度约为．
故答案为：．
12．（本题3分）如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为 米．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数）
解：如图，过点作，垂足为，延长交于点,
由题意得：米，，，
设米，
∴米
在中，，
∴(米)，
在中，，
∴米，
∴,
解得:，
∴(米)，(米)，
在中，，
∴(米)，
∴(米)．
故答案为：．
13．（本题3分）如图，河坝的横断面的坡比是，坝高米，则的长度是 米．
解：根据题意可知，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
14．（本题3分）一斜坡的坡度是，则此斜坡的坡角为 ．
解：设这个斜坡的坡角为，
由题意得：，．
故答案为：30．
15．（本题3分）如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得信号塔顶端A的仰角为，悬崖的高为米，斜坡的坡度（或坡比），则信号塔的高度约为 （参考数据：）
解：过点E作交的延长线于点F，过点E作于点M，
∵斜坡的坡度（或坡比），米，
∴可设米，则米，
在中，∵，
∴，
解得，
∴米，米，
∴米．
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，米．
在中，∵，
∴米，
∴米．
∴米．
故答案为：25米．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）数学“综合与实践”课上，数学老师带着学生利用皮尺和测角仪等工具，测量了学校教学楼的高度．如图，在教学楼的正前方有一斜坡，测得米，坡角，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为，其中点A，C，E在同一条直线上，图中各点均在同一平面内，求教学楼的高度．（结果保留根号）
解：在Rt△DCE中，米，，
∴米
过D作交于点F，
在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为，
∴，
∵，
∴，
即为等腰直角三角形，
设米，
∵
∴四边形为矩形，
∴米，即（米），
在中，，
∴（米），
米，米，
∵，，
∴，
在中，根据勾股定理得即 ，
解得： ，∴（米）
17．（本题7分）如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为多少m？
解：依题意，，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
在中，，
∴，
答：乙建筑物的高为．
18．（本题8分）为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动：
【制作仪器】
把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．

【测量高度】
小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，）

解：由题意得，，，，
在中，，
∴，
∴
答：树的高度为16.5 米．
19．（本题8分）老师带领同学们去测量学校旗杆的高度，他们首先在A处安置测倾器，测得旗杆顶端C的仰角为，然后往旗杆方向前进12米，到达B处，此时仰角是，已知测倾器高米，请你计算出旗杆的高度．（参考数据：）
解：由题可知：四边形都是矩形，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
∴旗杆的高度为米．
20．（本题8分）如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为
(1)求斜坡l的坡角的度数；
(2)求点M与点N的高度差．
（1）解：过B作于E，
在中，
，，
，
，
，
答：斜坡l的坡角的度数为；
（2）过点B作于F，则，，
，
，
，，
，
，
，
答：点M与点N的高度差为．
21．（本题9分）2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，）
(1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度；
(2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？
（1）解：过点作于G，
由题意，得：，
设，则，
∴，
∴，
∴；
答：高度上升了50米；
（2）解：作于，则四边形是矩形，
由（1）知米，
米，米，米，
又，
．
．
在中，，，
∵
．
．
（米）．
．
答：烟花燃放的高度属实．
22．（本题9分）如图，信号塔坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔的高度，他在山脚下的点处测得塔尖的仰角为，再沿着坡度为的斜坡向上走了米到达点处，此时测得塔尖的仰角为．(图中各点均在同一平面内)
(1)求点到地面的距离；
(2)求信号塔的高度(结果保留根号)；
(3)若维护人员从点处沿水平方向前行一段距离到点处，测得塔尖的仰角为，求的长度．
（1）解：如图，过点作，垂足为．
坡度，米，
，．
在中．
米．
（2）由（1）可得，米．
如图，过点作，垂足为．
设米，
，
米．
)米，米．
在中，，
米．
（3）在中，，
即
米．
由（2）可得(米)．
(米)．
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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§1..6 利用三角函数测高
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，B为一建筑物的最高点，从地面上的A点，用测角仪在D处测得B点的仰角α，若测角仪高，，则建筑物的高可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）南湖大桥是长春的重要桥梁，某同学在校外实践活动中对此开展测量活动，在桥外点测得大桥主架与水面的交汇点的俯角为，大桥主架的顶端的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此时大桥主架顶端离水面的高为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得实验楼顶端点的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点在同一平面内，则该实验楼的高度为（ ）．
A． B． C． D．17
5．（本题3分）黑格兰，蒙名为雅士木杜，多生长在内蒙古自治区鄂尔多斯市乌审旗、鄂托克旗地区，因其耐寒、防潮，木质坚硬、多油的特质，深受当地牧民和文玩爱好者喜欢．黑格兰生长缓慢，生长周期长达800—1000年之久，属国家珍稀濒危树种，有着生而不枯、枯而不朽、朽而不废的美誉，被形象地称为沙漠里的“活化石”，文玩爱好者张叔叔一次出去游玩时，测量了一棵黑格兰（如图1）的最高点离地面的距离．如示意图2，已知测倾器的高度为，在测点P处安置测倾器，测得此树的最高点T的仰角，在与点P相距的测点Q处安置测倾器，测得此树的最高点T的仰角，则此树的最高点T离地面的距离约为（ ）
（结果精确到；参考数据：）
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，小丽从点A出发，沿坡度的坡向上走了110米到点B，则她升高（ ）米．
A． B． C． D．
7．（本题3分）甲、乙、丙三个梯子斜靠在一堵墙上(梯子顶端靠墙)，小明测得：甲与地面的夹角为；乙的底端距离墙角 ，且顶端距离墙角；丙的坡度为．那么，这三个梯子的倾斜程度为（ ）
A．甲较陡 B．乙较陡 C．丙较陡 D．一样陡
8．（本题3分）如图，施工队在斜坡上栽了两棵树，它们之间的水平距离为，斜坡的坡度为，则这两棵树之间的坡面的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，河坝横断面迎水坡的坡度，坝高，则坡面的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为 m．（参考数据：，，）
12．（本题3分）如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为 米．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数）
13．（本题3分）如图，河坝的横断面的坡比是，坝高米，则的长度是 米．
14．（本题3分）一斜坡的坡度是，则此斜坡的坡角为 ．
15．（本题3分）如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得信号塔顶端A的仰角为，悬崖的高为米，斜坡的坡度（或坡比），则信号塔的高度约为 （参考数据：）
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）数学“综合与实践”课上，数学老师带着学生利用皮尺和测角仪等工具，测量了学校教学楼的高度．如图，在教学楼的正前方有一斜坡，测得米，坡角，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为，其中点A，C，E在同一条直线上，图中各点均在同一平面内，求教学楼的高度．（结果保留根号）
17．（本题7分）如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为多少m？
18．（本题8分）为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动：
【制作仪器】
把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．

【测量高度】
小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，）

19．（本题8分）老师带领同学们去测量学校旗杆的高度，他们首先在A处安置测倾器，测得旗杆顶端C的仰角为，然后往旗杆方向前进12米，到达B处，此时仰角是，已知测倾器高米，请你计算出旗杆的高度．（参考数据：）
20．（本题8分）如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为
(1)求斜坡l的坡角的度数；
(2)求点M与点N的高度差．
21．（本题9分）2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，）
(1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度；
(2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？
22．（本题9分）如图，信号塔坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔的高度，他在山脚下的点处测得塔尖的仰角为，再沿着坡度为的斜坡向上走了米到达点处，此时测得塔尖的仰角为．(图中各点均在同一平面内)
(1)求点到地面的距离；
(2)求信号塔的高度(结果保留根号)；
(3)若维护人员从点处沿水平方向前行一段距离到点处，测得塔尖的仰角为，求的长度．
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