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河南省南阳地区2025-2026学年高二上学期10月阶段考试数学试题
一、单选题
1．圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．若直线l与直线垂直，则l的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线C的焦点在y轴上，其渐近线方程为，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
4．如图，设直线，，，的斜率分别为，，，，则（ ）

A． B．
C． D．
5．已知圆与圆，则（ ）
A．与相交，相交弦所在直线的方程为
B．与相交，相交弦所在直线的方程为
C．与外切，内公切线所在直线的方程为
D．与外切，内公切线所在直线的方程为
6．已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，（ ）
A． B． C．0或 D．0或
8．已知双曲线的两个焦点分别为，，过右焦点作直线l，交右支于A，B两点，以AB为直径的圆过，若，则双曲线C的离心率的平方为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
9．若点到直线的距离为，则（ ）
A． B．a的最大值为2
C．a的最小值为 D．a只有3个不同的取值
10．若点在以为圆心，1为半径的圆上，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知P为曲线上的动点，，，，，则（ ）
A．
B．面积的最大值为3
C．直线PC与PD的斜率之积为定值
D．当，时，
三、填空题
12．点关于直线对称的点在x轴上，则 ．
13．若一颗人造地球卫星的运动轨道是以地心为一个焦点的椭圆（如图），它的近地点距地面的高度为，远地点距地面的高度为，且，，三点在同一条直线上，将地球看作一个球，设其半径为r km，则该椭圆的离心率为 ．（结果用含r的式子表示）
14．曲线围成的封闭图形的面积为 ．
四、解答题
15．已知直线．
(1)若在两坐标轴上的截距为相反数，求的值；
(2)已知直线，且，求与间的距离．
16．已知圆C过点和点，且圆心在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l过点，当直线与圆C相切时，求直线的方程．
17．在平面直角坐标系中，已知点，，，点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知，求的最大值；
(3)若，求的面积．
18．已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上．
(1)求C的方程．
(2)M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，．
（ⅰ）证明：为定值．
（ii）证明：直线恒过定点．
19．已知曲线的方程为.
(1)求与轴的公共点的个数.
(2)设，，证明：上存在无数个点，使得为定值.
(3)过点的直线与交于四个不同的点，求的斜率的取值范围，并证明这四个点的横坐标的乘积小于.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B B B D A ABC ACD
题号 11
答案 AC
1．C
根据圆的一般方程圆心坐标公式进行求解即可.
【详解】因为圆的圆心坐标为，
所以圆的圆心坐标为．
故选：C
2．B
先求出直线的斜率，再利用公式求出此直线的倾斜角，结合直线l与直线垂直得斜率，从而得到l的倾斜角．
【详解】直线的斜率是，
故直线的倾斜角为，
直线l与直线垂直，
所以l的倾斜角为．
故选：B.
3．D
根据渐近线方程可得，进而可得离心率，注意双曲线的焦点在y轴上.
【详解】因为双曲线C的焦点在y轴上，则其渐近线方程为，
又已知双曲线C的渐近线方程为，
则，所以双曲线的离心率．
故选：D.
4．B
由斜率和倾斜角的关系，结合图像即可求解.
【详解】由图可知：，的倾斜角均为锐角，，的倾斜角均为钝角，
且的倾斜角小于的倾斜角，的倾斜角小于的倾斜角，
则．
故选：B
5．B
求出圆心距与半径和与差比较可得两圆位置关系；将两个圆的方程作差得相交弦所在直线的方程．
【详解】圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径为，
，
因为，所以与相交，
将两个圆的方程作差得，整理得，
即相交弦所在直线的方程为．
故选：B．
6．B
利用椭圆的定义及余弦定理可得，为椭圆上任意一点，当焦点在轴上时，为上、下顶点时最大，当焦点在轴上时，为左、右顶点时最大，再结合条件，即可求解.
【详解】不妨设焦点在轴上，设椭圆C的方程为，
如图，设，则①，
在中，由余弦定理得，，
又，所以，整理得到，
又，，当且仅当时取等号，
所以当时，取到最小值，此时最大，为椭圆的上顶点或下顶点，
不妨设为椭圆C的上顶点，因为椭圆C上存在点P，使得，
则，所以，

所以，即，
得到，则，
选项A中：，选项B中：，选项C中：，
选项D中：，
故B正确，其它错误，
故选：B．
7．D
利用已知直线与圆的位置关系，结合三角形面积公式和点到直线的距离公式列关于的方程求解．
【详解】
直线， 圆是圆心为，半径是的圆，
的面积，，
当时，的面积最大，此时圆心到直线l的距离为，
，解得或，经验证均符合题意，
当的面积最大时，或．
故选：D．
8．A
结合题意与双曲线定义得到，，再结合余弦定理建立齐次方程求解离心率即可.
【详解】因为，所以，即，
令，得到，，
由双曲线定义得，，
因为以AB为直径的圆过，所以，
故，得到，
整理得，解得，
则，，
在中，由余弦定理得，
得，
整理得，则，故A正确.
故选：A
9．ABC
利用点到直线的距离公式求出参数，进而逐个判断选项即可.
【详解】对于A，因为点到直线的距离为，
所以由点到直线的距离公式得，
化简得，解得，或，
可得，则，故A正确，
对于B，C，由题意得a的最大值为2，最小值为，故B，C正确，
对于D，可得a有4个不同的取值，故D错误.
故选：ABC
10．ACD
对于AB：分析可知表示圆上一点与坐标原点连线的斜率，结合图形分析求解；对于CD：设，分析可知直线与圆有公共点，结合点到直线的距离公式分析求解.
【详解】设圆心为，圆的方程为，
对于选项A，B：因为表示圆上一点与坐标原点连线的斜率，
，则，
由题意，圆上的点与坐标原点连线的倾斜角的取值范围是，
由正切函数的图象，可得斜率的取值范围为，即，故A正确，B错误；
对于选项C，D：设，即，
依题意，直线与圆有公共点，
可得，解得，
所以的取值范围，故C，D正确．
故选：ACD.
11．AC
化简曲线的方程，结合椭圆的性质依次分析选项.
【详解】由，得，
则曲线M是椭圆的下半部分（不包含左、右顶点），
则A，B分别是该椭圆的左、右焦点，C，D分别是该椭圆的左、右顶点，

根据椭圆的定义可知，A正确．
当P为椭圆的下顶点时，的面积取得最大值，为，B错误．
设，则直线PC与PD的斜率之积为，C正确．
由，得，
则，，解得，
则，则，D错误．
故选：AC
12．
设点关于直线对称的点的坐标为，列出方程组求解即可.
【详解】设点关于直线对称的点的坐标为，
所以，解得，．
故答案为：-1
13．
根据椭圆的几何性质及圆的半径建立方程组得出，即可得解.
【详解】依题意可得，，
解得，，
所以．
故答案为：
14．
作出方程所表示的图形，结合图形求解即可.
【详解】当，时，方程可化为，
表示以为圆心、2为半径位于第一象限内的部分，
它对应的曲线为图中的弧，
其中为该弧的中点，通过计算可得，
根据曲线C的对称性可得曲线C围成的封闭图形为图中的阴影部分，
其面积为．
故答案为：
15．(1)或．
(2)
（1）先求出截距，然后根据截距是相反数求出的值即可.
（2）先根据两直线平行关系求出，然后根据两平行直线的距离公式求出结果.
【详解】（1）令，可得，
令，可得．
故，解得或．
（2）因为，所以，解得，
所以，可化为．
与间的距离为．
16．(1)
(2)或
（1）设圆心，由题意得到，求解即可；
（2）通过直线斜率存在和不存在两类情况讨论即可.
【详解】（1）设圆心，由圆心在直线上及点和点都在圆C上，
得，即，
解得，即，圆C的半径，
所以圆C的方程是．
（2）若直线的斜率不存在，则，
圆心到直线的距离为半径，
故直线为圆的切线．
若直线的斜率存在，
设切线方程为，
则，得，
此时切线方程为．
综上，直线l的方程为或．
17．(1)
(2)
(3)
（1）利用椭圆的定义，得的轨迹是以，为左、右焦点的椭圆，再求出，即可求解；
（2）点，利用点在椭圆上及两点间的距离，得到，即可求解；
（3）根据条件，利用椭圆的定义，得到，即可求解.
【详解】（1）因为，
所以的轨迹是以，为左、右焦点的椭圆，
设轨迹的方程为，则，，
可得，，
所以轨迹C的方程为．
（2）设点，则，又，
所以，
而，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为．
（3）因为，所以．
由，可得，
由的面积．
18．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
（1）由得，由点在C上求得；
（2）（ⅰ）设，，利用斜率公式证明；
（ii）设直线MN的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理与（ⅰ）中结论，可求出，进而可得结论．
【详解】（1）因为，所以，则双曲线，
又点在C上，所以，解得，
所以C的方程为．
（2）（ⅰ）易知，，设，，
则，，即，
而，
所以，
又，所以，
故，为定值．
（ii）设直线的方程为，，，，
由，得，
所以．
由（ⅰ）可知，，
即，
即，
化简得，解得，
所以直线的方程为，
因此直线经过定点．
19．(1)3
(2)证明见解析
(3)，证明见解析
【详解】（1）对于，
令，得，
解得，
所以与轴的公共点的个数为3.
（2）证明：由，
得，
所以由圆与圆组成.
若点在圆上，
则，
所以上存在无数个点，使得为定值.
（3）由得则圆：与圆：的交点为，，如图所示

设的方程为，若与圆相切，则，
得，当时，与只有一个公共点，当时，与只有三个公共点.
当经过点时，，当经过点时，，
所以当与有四个交点时，的取值范围是.
将代入，得，
将代入，得，
所以这四个点的横坐标的乘积为，
因为，所以，所以，则这四个点的横坐标的乘积小于.

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