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广西柳州市铁一中初中部与十五中联考2025---2026学年上学期九年级段考数学试卷
一、单选题
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号遥二十运载火箭，在酒泉卫星发射中心圆满发射成功，是中国载人航天在“东方红一号”发射五十载之际开启第二十次神舟问天之旅．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，分别为的半径，点A在圆上，连接，．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．已知的半径为，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断
5．已知抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小
6．已知圆锥的母线长是8cm，底面半径为3cm，则圆锥侧面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，绕点逆时针旋转得到，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．抛物线先向左平移 1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线（ ）
A． B． C． D．
9．若m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B．12 C． D．8
10．九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④；其中结论正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
12．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正方形周长近似估计的周长，可得的估计值为，若用圆内接正六边形作近似估计，可得的估计值为（ ）．
A． B． C．3 D．
二、填空题
13．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
14．如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动，则砝码被提起了 ．（结果保留）
15．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径 米．

16．已知抛物线与x轴交于两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点，的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值为 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)
(2)
18．如图，在平面直角坐标系中，，．
(1)作出绕原点逆时针旋转后的，并写出的坐标；
(2)在（1）条件下，求线段所扫过的面积．
19．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点容易发现，3是三角点阵中前2行的点数和；6是三角点阵中前3行的点数和；是三角点阵中前4行的点数和．根据以上信息，解答下列问题：
(1)三角点阵中前5行的点数和为______．
(2)三角点阵中前行的点数和为______．（用含的式子表示）
(3)300是前多少行的点数之和？
20．如图，为的切线，A为切点，过A作的垂线，垂足为C，交于点B，连接，并延长交于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
21．在某社区中心广场，矗立着一个造型独特的人工喷泉．喷泉的喷水枪竖直放置，喷水口距地面2米．喷出的水流轨迹呈抛物线形状，水流最高点到喷水枪所在直线的距离为0.5米．水流落地点距离喷水枪底部的距离为2米．以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请解决以下问题：
(1)求出水柱最高点P到地面的距离．
(2)若在线段上距离喷水枪所在直线1.5米处放置一个精致的艺术雕塑，为避免雕塑被水流淋到，则雕塑的高度应小于多少米？请说明理由．
22．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数）
(1)若该函数经过点，求该函数表达式；
(2)在（1）的条件下，
①求出该图象上的“三倍点”坐标；
②当时，函数的最小值为，求的值．
23．在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求的长．
(1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程；
(2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值．
参考答案
1．B
解：A．方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B．方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次的整式方程，是一元二次方程．该选项符合题意．
C．方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该项不符合题意；
D．方程不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意．
故选：B．
2．A
【详解】A选项文字上方的图案是中心对称图形，故本选项符合题意；
B选项文字上方的图案不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C选项文字上方的图案不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D选项文字上方的图案不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
3．C
解：∵，
根据圆周角定理，可得．
故选：C ．
4．A
解：的半径长为4，，
由可知，点在的内部，
故选：A．
5．C
解：A，，开口向下，原说法错误；
B，对称轴是直线，原说法错误；
C，顶点坐标为，原说法正确；
D，当时，y随x的增大而增大，原说法错误；
故选C．
6．B
解：圆锥的底面周长是，
∴圆锥的侧面积为．
故选：B．
7．A
解：由旋转的性质得：，，
∵，
∴，
∴．
故选：A
8．D
解：抛物线 先向左平移 1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线，
故选：D．
9．C
解：∵m，n分别为一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
故选：C．
10．B
解：由题意可得．
故选：B．
11．B
解：①由抛物线图象得：开口向下，即a＜0；
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0；
对称轴是直线x=-=-1＜0，即b=2a＜0，
∴abc＞0，故结论①错误；
②∵抛物线图象与x轴有两个交点，
∴△=b2-4ac＞0，故结论②正确；
③∵当x=1时，y=a+b+c＜0，故结论③正确；
④∵x=-=-1，∴b=2a，
∴b-2a=0，故结论④错误，
故选：B．
12．C
解：的半径为1，圆内接正六边形可分成六个等边三角形，每个三角形的边长为1，
则正六边形的周长为，
由于圆的周长为，当半径为1时，，
解得．
故选：C．
13．
解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
14．
解：由题意得：；
故答案为．
15．10
解：连接，，，
可得：，，
∵，拱高米，
∴，
设，则，
根据题意可得：，
即，
解得：，
即圆弧形桥拱所在圆的半径是米．
故答案为：10
16．
解：如图，连接．
由题意得，
，
当的值最大时，的值最大，
，
,
,
当点G在的延长线上时，的值最大，最大值为，
的最大值为．　
故答案为：．
17．(1)；
(2)．
（1）解：，
，
，
,
；
（2）解：，
，
或，
．
18．(1)作图见解析，的坐标为
(2)
（1）解：点旋转后得到，点的坐标为，
点旋转后得到，点的坐标为，
如图所示：
（2）根据题意可知，从到，线段到，所扫过的图形为扇形，已知，
则，
因此线段所扫过的扇形面积为：．
答：线段所扫过的扇形面积为．
19．(1)
(2)
(3)
（1）解：第一行有1个点，前2行有3个点，前3行有6个点，前4行有10个点，可以发现前5行的点数和为：．
故答案为：15．
（2）解：第一行有1个点，第二行有2个，第行有个点，
那么三角点阵中前行的点数和为：．
故答案为：．
（3）解：假设是前行的点数之和，根据（2）求和公式可得：
，即，
解得或（舍去），
因此300是前24行的点数之和，
答：300是前24行的点数之和．
20．(1)见解析
(2)
（1）证明：如图，连接，
∵为的切线，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
21．(1)米
(2)雕塑的高度应小于米
（1）解：由题意，，．
水流最高点到喷水枪所在直线的距离为0.5米，
可设．
将，代入上面的解析式可得，
，
．
水流所在抛物线为．
顶点为．
水柱最高点到地面的距离为米．
（2）解：雕塑的高度应小于1.25米．理由如下：
当时，．
答：雕塑的高度应小于米．
22．(1)函数表达式为
(2)①“三倍点”坐标为；②的值为或
（1）解：把代入，
得，
解得，
抛物线解析式为；
（2）解：①设该函数图象上的“三倍点”坐标为，
把代入，
得
解得，
“三倍点”坐标为；
②由（1）可知函数为，其中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，
第一种情况：当，
∴，
当时，取得最小值，即
解得或，
，
；
第二种情况：当，
∴，
当时，取得最小值，即
解得或，
，
；
综上所述，的值为或．
23．(1)
(2)
(3)
（1）解：由旋转可知：，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转可知：，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，即，
∴；
（3）解：如下图，将绕点B顺时针旋转至处，连接，
∵在中，，
∴，
∴，
∵绕点B顺时针方向旋转，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴点C、O、、四点共线，
在中，，
∴．

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