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湖南省怀化市通道县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．下列函数是反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．关于反比例函数 ，下列说法不正确的是（　　）
A．函数图象分别位于第二、四象限 B．函数图象关于原点成中心对称
C．函数图象经过点 D．y随x的增大而增大
3．下列是一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
4．观察下列图形，这四组形状各异的图形中，是相似图形的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
5．将方程化为一般形式，，，的值分别为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．若，则下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若方程有一根是，则另一根是（　　）
A．1 B．4 C． D．
8．如图，点在反比例函数 的图象上，点 B的坐标是，点C的坐标是，则的面积是（ ）

A．30 B．3 C．60 D．6
9．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）=1056 B．x（x-1）=1056 C．x（x+1）=1056×2 D．x（x-1）=1056×2
10．在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离是 ．
12．反比例函数的图象有一支位于第一象限，则常数满足的条件是 .
13．方程的解是 ．
14．如图，四边形四边形，，，，则 .

15．如果关于x的方程x2-2x+a-1=0有两个相等的实数根，那么a的值等于 ．
16．若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“>”连接的结果为 ．
17．蓄电池电压为定值，使用此电源时，电流（安）与电阻（欧）之间关系图象如图所示，若点在图象上，当电流为安时电阻为 欧．
18．如图，一次函数（和均为常数且）与反比例函数（为常数且）的图像交于两点，其横坐标为和，则关于的不等式的解集是 ．

三、解答题
19．如图，∥∥，AB=3，BC=5，DF=12，求DE和EF的长．
20．解方程：
(1)；
(2)．
21．如图，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，且点的横坐标为－2．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点的坐标是，若点在轴上，且的面积与的面积相等，求点的坐标．
22．如图，某小区规划在长20米，宽10米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为162米2，问小路应为多宽？
23．如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如表：
托盘与点的距离 10 15 20 25 30
托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10
(1)把表中、的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来；
(2)观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出该函数表达式；
(3)当砝码质量为时，求托盘与点的距离；
(4)当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？为什么？
24．“中秋节”前，某超市第一次以元盒的进价购进一款月饼礼盒盒，并以元/盒的售价全部销售完销售人员根据市场调研发现，该款月饼礼盒每盒的售价在元基础上每降价元，销量就会相应增加盒．该超市计划第二次购进该款月饼礼盒，但不超过盒．
(1)在进价不变的情况下，若第二次实际售价在第一次基础上降了元，则该超市这款月盒饼每盒利润为______元，预计销售量为______品．
(2)在（1）的条件下，若第二次的销售总利润比第一次增加，求的值．
25．阅读下面的材料，回答问题：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为①，解得，．
当时，，；
当时，，；
原方程有四个根：，，，．
这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(1)方程的解为________．
(2)仿照材料中的方法，尝试解方程．
26．在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．
(1)填空：BQ＝________，PB＝________(用含t的代数式表示)；
(2)当t为何值时，PQ的长度等于cm
(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
解：A、不是反比例函数，故本选项不符合题意；
B、不是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、是反比例函数，故本选项符合题意；
D、不是反比例函数，故本选项不符合题意；
故选：C
2．D
解：反比例函数 ， ，
A、函数图象分别位于第二、四象限，故本选项说法正确；
B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确；
C、 时， ，故本选项说法正确；
D、当 ，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项说法不正确；
故选：D．
3．B
解：A、中，未知数的次数是1，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、，当时，不是一元二次方程，不符合题意；
D、中，未知数的次数是3，不符合题意．
故选：B．
4．B
解：第一组形状不同，不符合相似形的定义；
第二组形状相同，但大小不同，符合相似形的定义；
第三组形状相同，但大小不同，符合相似形的定义；
第四组形状不同，不符合相似形的定义，；
是相似图形的有2组．
故选：B．
5．C
解：一元二次方程的一般式形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，将题中方程整理成标准的一般式，可得2x2＋5x－3＝0，故选C．
6．C
解：由题意知：，故选项A错误；
由题意得，故选项B错误；
由题意得，即，则有，故选项C正确；
由题意得，则，故选项D错误；
故选：C．
7．B
解：设方程的另一根为，
方程有一根是，
，
解得：，
故选：B．
8．B
解：连接，
点，点 B的坐标是，
轴，
．
故选B．

9．B
【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名同学，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程．
【详解】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x-1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x-1）=1056．
故选：B．
10．B
解：、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项错误，不符合题意；
、一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项正确，符合题意；
、一次函数的图象经过第二、三、四象限，则，，，反比例函数图象经过第一、三象限，则，此选项错误，不符合题意；
、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项错误，不符合题意；
故选：．
11．
解：设甲、乙两地间的实际距离为，则
，
解得：，
．
故答案为：．
12．
解：∵反比例函数的图象的一支位于第一象限，
∴
∴，
故答案为：．
13．，
解：，
开方得，，
即或，
解得，，，
故答案为：，．
14．
解：∵四边形四边形，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
15．2
解：∵关于x的方程x2-2x+a-1=0有两个相等的实数根，
∴△=(-2)2-4×1×(a-1)=0，
解得：a=2，
故答案为：2．
16．
解：∵反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内随增大而减小，
∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴点，在第一象限，在第三象限，
∵，
∴，即
故答案为：．
17．
解：设反比例函数图象设解析式为I= ，
由图得，反比例函数上一点坐标为（3，12）代入I=，
∴12=
解得k=36，又题中实际意义需R＞0．
∴I= （R＞0）．
把I=2安代入得，2=，
解得R=18欧．
故答案为18．
18．或
解：关于的不等式变形得，，
∴当时，反比例函数图像左边一支在轴上方，一次函数图像在轴下方，则；
∵一次函数与反比例函数的图像交于两点，其横坐标为和，
∴当时，反比例函数图像右边一支在一次函数图像上方，；
综上所示，关于的不等式的解集是或，
故答案为：或．
19．DE=4.5，EF=7.5．
解析：∵∥∥，∴AB：BC=DE：EF，∵AB=3，BC=5，DF=12，
∴3：5=DE：（12-DE）， ∴DE=4.5， ∴EF=12-4.5=7.5．
考点：平行线截线段成比例
20．(1)，
(2)，
（1）解：，
移项并合并同类项得：，
分解因式得：，
∴，
∴，；
（2）解：，
移项得，
配方得：，即，
∴，
∴，．
21．(1)
(2)或
（1）一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，且点的横坐标为－2，
当时，，则，
将代入，可得，
反比例函数的解析式为，
（2）点的坐标是，，
,
，
的面积与的面积相等，
设，
，
解得或，
或．
22．小路宽1米．
【详解】设小路宽x米，则其余部分可合成长（20﹣2x）米、宽（10﹣x）米的矩形，
根据题意得：（20﹣2x）（10﹣x）＝162，
整理得：x2﹣20x+19＝0，即（x﹣1）（x﹣19）＝0，
解得：x1＝1，x2＝19．
当x＝19时，10﹣x＝﹣9不合题意，
∴x2＝19舍去．
答：小路宽1米．
23．(1)见解析
(2)猜测是关于的反比例函数，
(3)当砝码质量为时，托盘与点的距离为
(4)应往托盘中添加砝码，理由见解析
（1）解：画出图象如图所示：
（2）解：根据图象，猜测是关于的反比例函数，
设，
将代入函数解析式得：，
解得：，
∴；
验证：当时；
当时，，故猜想成立；
（3）解：当时，，
解得，
∴当砝码质量为时，托盘与点的距离为；
（4）解：应往托盘中添加砝码，
理由如下：∵是关于的反比例函数，
∴当托盘向左移动（不能移动到点）时，相当于与点的距离在逐渐变小，
∴应往托盘中添加砝码．
24．(1)，
(2)
（1）解：现利润元；
预计销售量；
故答案为：， ．
（2）第一次利润为：
依题意可得：
整理得：
解得：，
∵
∴
∴
答：的值为．
25．(1)，
(2)，；
（1）解：设，则原方程变为，
解得：，，
当时，，解得；
当时，，方程无解；
故原方程的解为：，，
故答案为：，．
（2）解：设，则原方程变为，
解得：，，
当时，，解得：，；
当时，，即，
，
方程无解；
故原方程的解为：，．
26．（1）2t cm；(5－t)cm；（2）当t＝3秒时，PQ的长度等于cm；（3）存在，当t＝1秒时，五边形APQCD的面积等于26 cm2，理由见解析．
解：(1) ∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，
∴AP＝tcm．
∵AB＝5cm，
∴PB＝(5﹣t)cm．
∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，
∴BQ＝2tcm，
故答案为：2t cm ，(5－t)cm ；
　(2)由题意得：(5－t)2＋(2t)2＝()2，
解得t1＝-1(不合题意，舍去)，t2＝3．
当t＝3秒时，PQ的长度等于cm．　
(3)存在． 理由如下：
长方形ABCD的面积是：5×6＝30(cm2)，
使得五边形APQCD的面积等于26 cm2，
则△PBQ的面积为30－26＝4(cm2)，
∴(5－t) ×2t×＝4，
解得t1＝4(不合题意，舍去)，t2＝1．
即当t＝1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2．

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