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石门中学2025-2026学年上学期高三期中考试
数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.若对任意的x>0，不等式x2﹣ax+2＞0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A. a＜ B. a＜
C. a＞ D. a＜或a＞
【答案】A
【解析】当x＞0时，不等式x2﹣ax+2＞0化为x2+2＞ax，
即a＜x+；
又x+，
当且仅当x=，即x=时取“＝”；
所以实数a的取值范围是a＜．
故选：A．
2.函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由五点作图知，，解得，，
所以，
令，解得＜＜，，
故单调减区间为（，），.
故选：D．
3.已知函数f(x)=的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）
A. a≥0或a<-12 B. -120或a<-12
【答案】B
【解析】因为函数f(x)=的定义域是R，即恒成立，
若a=0，则f(x)=有意义，符合题意；
若a≠0，则Δ=，解得-12综上，实数a的取值范围是-12故选：B.
4.已知函数.将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由左移一个单位，上移一个单位得，
则.
当，，单调递增且；
当，，单调递增且.
由，，则.
解得或，
故实数取值范围为.
故选：C.
5.如图，已知在中，，是边上一点，且，将沿进行翻折，使得点与点重合，若点在平面上的射影在内部及边界上，则在翻折过程中，动点的轨迹长度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图(1)所示，过点作，分别交于点，
则动点在平面上的射影轨迹为线段，
设当与重合时，有；当与重合时，有，
则由为定长，可知动点的轨迹是以为圆心，以为半径且圆心角为的圆弧，如图(1)所示，
在所在平面建立如图(2)所示的平面直角坐标系，
则，，，，直线，直线，
联立方程组，解得，即，则，
又由，可得，所以，，
所以动点的轨迹长度为.
故选：A．

6.已知命题：，，则（ ）
A. p：， B. p：，
C. p：， D. p：，
【答案】D
所以：，的否定是：，，
故选：D.
7.如图所示是函数（m、且互质）的图象，则(　　)
A. m，n是奇数且
B. m是偶数，n是奇数，且
C. m是偶数，n是奇数，且
D. m，n是偶数，且
【答案】B
【解析】由图象可看出为偶函数，且在上单调递增，
故且为偶数，又m、且互质，故n是奇数.
故选：B.
8.如图（1）（2）分别表示样本容量均为7的A，B两组成对数据的散点图，已知A组成对数据的样本相关系数为，B组成对数据的样本相关系数为，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法判断
【答案】C
【解析】由题图（1）可知，散点几乎分布在一条直线上，且成正相关，
∴，
由题图（2）可知，散点分散在一条直线附近，也成正相关，
∴，
图（1）中的散点分布更紧密，因此A组成对数据的线性相关程度比B组强一些，
∴，
故选：C.
二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）
9.已知，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A选项，不一定大于1，故A错误.
对于B选项，因为，则，
所以，故B正确.
一题多解，根据糖水不等式，，，可知B正确.
对于C选项，，
令，则，则在上单调递增.
又因为，所以，即，故C正确.
对于D选项，因为，
所以，
令，令，
则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，即，
则，即成立，故D正确.
一题多解 根据对数平均不等式，，可知D正确.
故选：BCD.
10.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论中正确的是(　　)
A. AC⊥平面BDD1B1
B. A1P的最小值为
C. 平面AD1C∥平面A1C1B
D. 异面直线A1P与AD1所成角的最大值是
【答案】ABC
【解析】因为在正方体中，BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以BB1⊥AC.因为在正方形ABCD中，BD⊥AC，BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BDD1B1，故A正确；因为△A1BC1是正三角形，且边长为，当P为BC1中点时，A1P取得最小值为×＝，故B正确；因为正方体中，AA1∥BB1∥CC1且AA1＝CC1，故四边形A1ACC1是平行四边形，所以A1C1∥AC.因为A1C1 平面AD1C，AC 平面AD1C，所以A1C1∥平面AD1C，同理可得A1B∥平面AD1C，因为A1C1∩A1B＝A1，所以平面AD1C∥平面A1C1B，故C正确；易得AD1∥BC1，则异面直线A1P与AD1所成角即为A1P与BC1所成角，且当P为BC1中点时，A1P与AD1所成角的最大值为，故D错误．
11.某市对2017年至2021年这五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进行了统计，具体统计数据如下表所示：
根据所给数据，得出y关于t的线性回归方程为＝t＋273，则下列说法正确的是(　　)
A. 该市2017年至2021年全市烧烤店盈利店铺个数的平均数＝219
B. y关于t的线性回归方程为＝－18t＋273
C. 估计该市2023年烧烤店盈利店铺的个数为147
D. 预测从2028年起，该市烧烤店盈利店铺的个数将不超过100
【答案】ABC
【解析】由已知数据得＝3，＝219，故A正确；因为y关于t的回归直线过点(3，219)，所以219＝3＋273，所以＝－18，
所以y关于t的线性回归方程为＝－18t＋273.故B正确；
2023年的年份代码为7，故2023年该市烧烤店盈利店铺的个数约为y＝－18×7＋273＝147.故C正确；
令－18t＋273≤100，由t∈N*，得t≥10，故从2026年起，该市烧烤店盈利店铺的个数将不超过100.故D不正确，故选ABC.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.二项式展开式中的系数为____________．
【答案】5
【解析】因为，
故展开式中的系数为，
故答案为：5.
13.关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为的解为
，
设所对应的两点分别为，
则，，
设的解所对应的两点分别为，，
记为,,，
当，即时，因为关于轴对称，
且，，关于轴对称，显然四点共圆；
当，即或时，
此时,,，且，
故此圆的圆心为，半径，
又圆心到的距离，
解得，
综上：,
故答案为：.
14.已知α∈{－2，－1，－，，1，2，3}．若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则α＝________．
【答案】－1
【解析】由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，3.
又y＝xα在(0，＋∞)上是减函数，∴α<0，取α＝－1.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.如图，圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为为圆台下底面的一条直径，圆上点满足是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若圆台的高为2，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明　取中点，由题意，，
又，故.
又，故，
所以四边形为平行四边形，则.
由平面，故平面，
又面，故平面平面.
(2)解　以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则有：，
故
设平面的法向量
而，
故，
令，得
设所求角的大小为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
16.已知复数．
（1）若z为纯虚数，求m的值；
（2）若z=2+5i，求m的值．
【答案】解　(1)因为z为纯虚数，所以，
解得m=0.
（2）因为，
根据复数相等的条件可得：，
解得m=2.
综上，当m=0时，z=3i为纯虚数，当m=2时，z=2+5i.
17.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
(1)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，记质量差服从正态分布，求该企业生产的产品为正品的概率P；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
(2)假如企业包装时要求把2件优等品和n（，且）件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B．
①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当n为何值时，取得最大值．
【答案】解　(1)由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为：
，
依题得，，，所以，
则优等品的质量差在即内，一等品的质量差在即内，
所以正品的质量差在和内，即内，
故该企业生产的产品为正品的概率：
；
(2)①从件正品中任选两个，有种选法，其中等级不同有种选法，
故某箱产品抽检被记为B的概率为：．
②由题意，一箱产品抽检被记为的概率为，则5箱产品恰有3箱被记为的概率为
，
由，
所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为．
此时由，可解得：（舍去），
∴时，5箱产品恰有3箱被记为的概率最大，最大值为．
18.作出下列函数的大致图象，并写出函数的单调区间和值域：
（1）y=；
（2）；
（3）.
【答案】解　（1），函数图象如图所示：
函数在(-∞,2)和(2,+∞)为减函数，
因为，所以，故值域为.
(2)y=函数图象如图所示：
函数在(-∞,-2]和[0,2]为减函数，在[-2,0]和[2,+∞)为增函数，
当x=±2时，y取得最小值-4，故值域[-4,+∞).
（3），函数图象如图所示：
函数在(-∞,0]和上为减函数，在和[1,+∞)上为增函数，值域为[0,+∞).
19.如图，三棱锥中，，且，.
（1）当三棱锥的体积最大时，
①求证：；
②求其外接球的表面积；
（2）设为的中点，记平面与平面的夹角为，求的最小值.
【答案】解：（1）①因面积定值，且，三棱锥体积最大时，平面.
又平面，故.
②由①知体积最大时，平面，，又，，平面，所以平面，则.
因为为中点，所以到距离相等，为外接球的球心.
设外接球半径，，则.
外接球表面积.
（2）以为原点建立空间直角坐标系，则，，，.
设中点，，，设，由得.
求平面法向量：，，设，由得.
求平面法向量：，设，由得.
计算：.
设，求导.
当，，递减；，，递增.
当时，，所以最小值为.石门中学2025-2026学年上学期高三期中考试
数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.若对任意的x>0，不等式x2﹣ax+2＞0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A. a＜ B. a＜
C. a＞ D. a＜或a＞
2.函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知函数f(x)=的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）
A. a≥0或a<-12 B. -120或a<-12
4.已知函数.将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，已知在中，，是边上一点，且，将沿进行翻折，使得点与点重合，若点在平面上的射影在内部及边界上，则在翻折过程中，动点的轨迹长度为（ ）

A. B. C. D.
6.已知命题：，，则（ ）
A. p：， B. p：，
C. p：， D. p：，
7.如图所示是函数（m、且互质）的图象，则(　　)
A. m，n是奇数且
B. m是偶数，n是奇数，且
C. m是偶数，n是奇数，且
D. m，n是偶数，且
8.如图（1）（2）分别表示样本容量均为7的A，B两组成对数据的散点图，已知A组成对数据的样本相关系数为，B组成对数据的样本相关系数为，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法判断
二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）
9.已知，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论中正确的是(　　)
A. AC⊥平面BDD1B1
B. A1P的最小值为
C. 平面AD1C∥平面A1C1B
D. 异面直线A1P与AD1所成角的最大值是
11.某市对2017年至2021年这五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进行了统计，具体统计数据如下表所示：
根据所给数据，得出y关于t的线性回归方程为＝t＋273，则下列说法正确的是(　　)
A. 该市2017年至2021年全市烧烤店盈利店铺个数的平均数＝219
B. y关于t的线性回归方程为＝－18t＋273
C. 估计该市2023年烧烤店盈利店铺的个数为147
D. 预测从2028年起，该市烧烤店盈利店铺的个数将不超过100
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.二项式展开式中的系数为____________．
13.关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是 .
14.已知α∈{－2，－1，－，，1，2，3}．若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则α＝________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.如图，圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为为圆台下底面的一条直径，圆上点满足是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若圆台的高为2，求直线与平面所成角的正弦值.
16.已知复数．
（1）若z为纯虚数，求m的值；
（2）若z=2+5i，求m的值．
17.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
(1)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，记质量差服从正态分布，求该企业生产的产品为正品的概率P；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
(2)假如企业包装时要求把2件优等品和n（，且）件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B．
①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当n为何值时，取得最大值．
18.作出下列函数的大致图象，并写出函数的单调区间和值域：
（1）y=；
（2）；
（3）.
19.如图，三棱锥中，，且，.
（1）当三棱锥的体积最大时，
①求证：；
②求其外接球的表面积；
（2）设为的中点，记平面与平面的夹角为，求的最小值.

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