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2025-2026学年10月七校联合学情调研
高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知z＝(1－3i)(a＋i)(a∈R)为纯虚数，则a＝ ( )
A．3 B．－3 C． D．－
2．已知向量a＝(1，2)，b＝(k，－1)，且a⊥(a＋b)，则实数k为 ( )
A．2 B．3 C．－3 D．－2
3．已知一个底面半径为1的圆锥，其侧面积是底面积的4倍，则该圆锥体积为 ( )
A．π B．π C．π D．π
4．从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则P(B|A)＝ ( )
A． B． C． D．
5．已知a＝log0.82.6，b＝2.6，c＝0.80.9，则a、b、c的大小关系为 ( )
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
已知函数f(x)＝cos(2ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)的最小正周期为T，若f(T)＝，
则函数y＝sin(x－6φ)＋sin(2x＋3φ)的最大值为 ( )
A．－2 B．－ C．2 D．
7．莱莫恩(Lemoine)定理指出：过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB所在直线交于点P，Q，R，则P，Q，R三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线．在平面直角坐标系xOy中，若三角形的三个顶点坐标分别为
A(0，1)，B(－2，0)，C(0，－4)，则该三角形的Lemoine线的方程为 ( )
A．2x－3y＋8＝0 B．2x＋3y－8＝0
C．3x－2y＋22＝0 D．2x＋3y＋32＝0
8．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，对任意的x1，x2∈[2，＋∞)且x1≠x2，均有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，则不等式f(3－x)＞f(3x)的解集为 ( )
A．(－∞，) B．(，＋∞)
C．(，) D．(－∞，)∪(，＋∞)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知tanα＝，tanβ＝，其中α，β为锐角，以下判断正确的是 ( )
A．α＋β＝ B．sinα＝
C．sin2β＝ D．cos (α－β)＝
10．下列有关说法正确的是 ( )
A．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，2)，若P(ξ＜1)＝P(ξ＞9)，则μ＝5
B．甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需 要有人去，则不同的安排方法有72种
C．若(x－2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，
则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝127
D．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性回归方程z＝0.3x＋4，则c，k的值分别是e4和0.3
已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n－1＋1(n∈N*)． 对任意正整数M，
记M＝φ(i)(Si－1)，其中φ(i)∈{0，1}，记f(M)＝φ(1)＋φ(2)＋…＋φ(k)，则 ( )
A．数列{an}的通项公式为an＝
B．8an＋1＞n(n＋1)
C．若λ＝2k(k∈N*)，则f(M)＝f(λM)
D．数列{f(an＋3－Sn＋1)}为等差数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数f(x)＝lnx＋1的图象与直线y＝kx相切，则实数k＝ ．
13．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2．以F1F2为直径的圆和C的渐近线在第一象限交于点A，直线AF1交C的另一条渐近线于点B，＝2，则C的离心率为 ．
14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后在面A1B1C1D1上的概率为Pn．则Pi＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，
且4S＝(b2＋c2－a2)．
(1)求角A；
(2)M，N分别在线段BC，AC上，且MN垂直平分BC，BM＝，AB＝2，
求线段CN长．
16．如图，四棱锥P－ABCD，PA⊥平面ABCD，AD＝2BC＝2AB＝2，AB⊥BC，AD//BC．若E点满足＝，平面BCE交线段PD于F点．
(1)求证：EF//BC；
(2)若平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为，求D点到平面BCE的距离．
17．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2－1．
(1)证明：数列{an}是等差数列；
(2)若数列{bn}满足b1＝1，且bna＝bn－1an－1an＋1(n≥2，n∈N*)，求数列{bn}的通项公式．
18．已知函数f(x)＝ln(x＋1)－ax2＋x在x＝处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)＝x2在(k，k＋1)内有唯一的根 如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由；
(3)若x＞0，f(x)≤tln(x＋1)＋x2成立，求实数t的取值范围．
19．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为M、N，且椭圆C过点(1，)，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知椭圆C具有性质：椭圆C上任一点T(x0，y0)处的切线方程为＋＝1，试运用该性质解决以下问题：过动点P(3，m)作椭圆C的两条切线，切点分别为A、B，A在x轴上方．
(i)设直线AM与直线BN的斜率分别为k1，k2，求证：为定值；
(ii)若m＝2，过点P作直线l交椭圆C于D，E两点，过D作PA的平行线交AB于点G，延长DG至点F，使得DG＝GF．求证：A、E、F三点共线．2025-2026学年10月七校联合学情调研
高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知z=(1-3)(a+i)(a∈R)为纯虚数，则a=
A.3
B.-3
c
D.-1
3
2.己知向量a=(1,2),b=(k,一1)，且a⊥(a十b),则实数k为
A.2
B.3
C.-3
D.-2
3.已知一个底面半径为1的圆锥，其侧面积是底面积的4倍，则该圆锥体积为()
A
B.
3π
c争
D.V15π
4.从编号17的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A:“第一次抽到的卡片编号
数字为3的倍数”，事件B:“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号
数字”，则P(BA)=
()
A.5
B.5
C.5
D.5
12
14
21
42
5.已知a=10g0.2.6,b=2.6°，c=0.809,则a、b、c的大小关系为
A.a>b>c
B.c>a>b
C.b>c>a
D.c>b>a
6.已知函数=cos20x+@>0,0<<的最小正周期为T,若D=3,
2
则函数y=sin(x一6p)+sin(2x+3p)的最大值为
()
A.-2
B.、9
C.2
D.9
8
8
7.莱莫恩(Lemoine)定理指出：过△ABC的三个顶点A,B,C作它的外接圆的切线，分别
和BC,CA,AB所在直线交于点P,Q,R,则P,Q,R三点在同一条直线上，这条直线
被称为三角形的Lemoine线.在平面直角坐标系xOy中，若三角形的三个顶点坐标分别为
A0,1),B(一2,0)，C(0,一4)，则该三角形的Lemoine线的方程为
()
A.2x-3y+8=0
B.2x+3y-8=0
C.3x-2y+22=0
D.2x+3y+32=0
8.已知定义在R上的函数fx)满足x十2)=2一x),对任意的x1,2∈[2，十∞)且x1≠x2,
均有x/x)十2x2)>xx2)十x2x)恒成立，则不等式3一x)>f3x)的解集为()
A(,2
B.(+
c.
D.(-∞，
2
1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.已知tana=,tanB=-，
=】,其中a,B为锐角，以下判断正确的是
()
2
3
A.a+B=刀
4
B.sing=310
10
3
C.sin28=
5
D.cos (a-B)=5
5
10.下列有关说法正确的是
A.设随机变量服从正态分布N(μ，2)，若P(<1)=P(>9),则u=5
B.甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需
要有人去，则不同的安排方法有72种
C.若(x-2)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a44+asx3+a66+ax7,
则a1+a2+a3+a4+a5十a6十a=127
D.以模型y=cer去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny,将其变换后得到
线性回归方程z=0.3x十4，则c,k的值分别是e4和0.3
11.已知数列{an}的前n项和为Sn=2"1十1(n∈N).对任意正整数M,
记M=2o0-),其中0∈0,1，记wM=)+p2)+…+a,则（)
2,n=1
A.数列{an}的通项公式为an=
2n2,n≥2
B.8an+1>n(n+1)
C.若=2k(k∈N),则M0=2M0
D.数列{/an+3一Sn+i)}为等差数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12.已知函数fx)=nx+1的图象与直线y=x相切，则实数k=
13.已知双曲线C:-=1a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F.以FF2为直径的
a2 b2
圆和C的渐近线在第一象限交于点A,直线AF,交C的另一条渐近线于点B,FB=2BA,
则C的离心率为一·
14.己知正方体ABCD一A1B1CD1顶点处有一质点Q,点Q每次会随机地沿一条棱向相邻
的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点
称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后在面A1B1CD1
上的概率为P.则∑P,=
22026届高三数学10月七校联考数学参考答案
1-4. BCBA 5-8. CDA C
9. AC 10. ACD 11.ABD
12. 13．4 14.
15.【解】（1）因为，
由面积公式与余弦定理得 , ………………………… 3分
因为，所以，
易知，则，又，可得；………………… 6分
因为边的垂直平分线，如图可知，所以是等腰三角形，
且 是一个底角，故，为的中点，则，
在中，，
由正弦定理得，
因为，则， ………………………… 10分
所以在中，. ………………………… 13分
其他答案，酌情给分！！！辛苦了。
16.【解】（1）证明：
又
............................................................................................2分
又
..................................................................................................5分
（2），
以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
的一个法向量..............................................................7分
，
设的一个法向量
则，
取，则，
的一个法向量...........................................................9分
解得.............................................11分
，，
设面的法向量为
则，
取，则，
.......................................................................................13分
设点到面的距离为
则
设点到面的距离为.................................................................15分
其他答案，酌情给分！！！辛苦了。
17【解】（1）据题可得：，
当时，，
两式子作差可得：
，………………………… 2分
又，
所以， ………………………… 4分
当时，，……………… 5分
所以，数列是以为首项，2为公差的等差数列；即.………………… 7分
【法一】因为，，
由，
得到， ………………………… 9分
由（1）知，
所以，
当，
………………………… 11分
， ………………………… 13分
又因为满足上式， ………………………… 14分
所以数列的通项公式. ………………………… 15分
【法二】因为，，由，
得到， ………………………… 9分
设，所以数列的为常数列，则， ………………………… 12分
得到，
所以数列的通项公式. ………………………… 15分
其他答案，酌情给分！！！辛苦了。
18.【解】：（1）因为，在处取得极值，则
所以，则.....................................................................................2分
当时，，
则时，，单调递增；
则时，，单调递减；
所以在处取得极值成立.
所以成立. ....................................................................................4分
（2）由（1）知，即，
令，因为函数定义域为，显然，
，有，
时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减......................................................7分
因为，，
所以存在唯一的，使
所以存在，使得在内有唯一的根...........................................10分
（3）令，
则
①因为抛物线的对称轴方程为，开口向上，
所以即时，对成立，
所以时，对成立，
所以在上是单调递减，
因为，所以时，成立，
即成立；..............................................................................13分
②当，，
记的两根为，
则，，
则， ..................................................15分
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，所以不恒成立，
即不恒成立
综上，的取值范围是.....................................................................................17分
其他答案，酌情给分！！！辛苦了。
【解】(1)由题意得, ...................................................................................2分
解得,所以椭圆C的方程为.................................................................4分
(2)(i)由(1)知,设,则,又都过点P,所以有,
所以........................................................................................................6分
又过定点(1,0),设
联立消x得
所以.................................................................8分
所以为定值
............................................................10分
(ii)当时,,联立椭圆方程解得
............................................11分
设
联立消y得
则
所以
另一方面,,联立
解得,所以
............................................14分
所以
要证A、E、F三点共线,只需证,
即证……①
而
所以等式①成立,故A、E、F三点共线
............................................17分
其他答案，酌情给分！！！辛苦了。2026届高三数学10月七校联考数学参考答案
1-4.BCBA
5-8.CDAC
9.AC 10.ACD
11.ABD
12.113.414.2
n-1.1
一十
44.3”
15.【解】(1)因为4S=√3(b2+c2-a2),
由面积公式与余弦定理得4号csmA=5-2c0os4,
…3分
因为bc>0,所以sinA=√3cosA,
易知osA≠0，则i血4=tanA=5,又03
…6分
'cosA
(2)因为边BC的垂直平分线MN,如图可知BN=NC,所以△BCN是等腰三角形，
且∠C是一个底角，故03AB=2,
在△ABC中，BC=N6,A=
5
由正弦定理得sinC=sinA.
BC
B=22=
6
2
因为04
…10分
√6
所以在Rt△CMN中，CN=CM
2
cosC2
…13分
2
其他答案，酌情给分！！辛苦了。
16.【解】(1)证明：.AD//BC
又ADC面PAD BC面PAD
.BC//面PAD.
.2分
又BCC面BCE面BCE∩面PAD=EF
.BC//EF.5分
(2)PA⊥面ABCD,AB⊥AD
∴.以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如
y
图所示：
则A(0,0,0),B1,0,0),C1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,h),(h>0)
面PAB的一个法向量n=(0,L,0)7分
.PC=1,1,-h,CD=(-1,l,0)
设面PCD的一个法向量m=(xo,yo,zo)
则PC.m=0,CD·m=0
0+%-h=0取。=1，则%=1，
2
-x+y%=0
h
·面PCD的-个法向量m=,13
9分
cos 6解得h=1.11分
V+1+
4
6
h2
P@a,E0a3E=(←l.03
设面EBC的法向量为元=(c,,2)
则BC.k=0,BE.k=0
出=0
2
x
=0取x=1,则y=0,名=
301
k=0,03
.13分
设点D到面BCE的距离为d
Z.CD
1
则d=
一k
913
4
设点D到面BCE的距离为2仍.5分
13
其他答案，酌情给分！辛苦了。
17【解】(1)据题可得：(a+1)2=4S,
当n≥2时，(a1+1)=4S1
两式子作差可得：
a-a1+2an-2an1=4an→a听-a听-2(an+an）=0,…2分
(an+an-1)(an-an1-2）=0
又an+a-1≠0，
所以an-an-1-2=0→an-an-1=2,
…………4分
当n=1时，4，=2-1→a,-2G+1=0→（(-1=0→a=1，…5分
所以，数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列：即an=2n-1.…7分
(2)【法一】因为b=1,an>0,
由b.a=bn-1an-1an41,(n≥2，neN）,
利会女告a22eN
…9分
由(1)知an=2n-1,
b=2n-3.2n+1
所以62n-12n-'
b2b1.b2bh-（f
2n-32n+1、2n-52n-1、
37、15、
当n≥2，bn=
)
bn-1 bn-2 bn-3 b
2n-12n-12n-32n-3
35533
=2320-322031…11分
2n-12n-3532n-12n-353
12n+12n+1
…13分
2n-133(2n-1)
又因为b=1满足上式，
…14分
所以数列，}的通项公式血.32n-)
2n+1
…15分
【法二】因为h=l,an>0,由b,a后=b1an-4a,(n≥2，neN),
得到b.,=b,(n≥2，neN),
…9分
an+l
a
设c,=b,a,所以数列C,}的为常数列，则
”an+l
6,=b8==64=-1
11
an+l
a233’
12分
特2骨05
3

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