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2025~2026学年度第一学期期中质量调研九年级数学
注意事项：
1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷；
2．答卷前将装订线内的项目填写清楚．
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
2. 一个不透明的布袋中装有若干个白球和5个黑球，它们除颜色不同外其他都相同，将布袋中的小球搅匀后，从中随机摸出一球，记下其颜色，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了次，其中有次摸到了黑球，估计口袋中白球的个数为（ ）
A 10 B. 15 C. 20 D. 25
3. 如图，四边形是正方形，，两点坐标分别是，点在第二象限，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知是一元二次方程的一个根，则（ ）
A. 9 B. C. 3 D.
5. 如图所示，在矩形中，对角线、相交于点O，，，则（　　）
A. B. C. D.
6. 在正数范围内定义运算“”，其规则为，则方程的解是（ ）
A. B. C. ， D. ，
7. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 对于一元二次方程，下列说法：
①若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若，则它有一根为；
④若，则一元二次方程两个不相等的实数根；
其中正确的是（ ）
A. ②③④ B. ①③④ C. ②③ D. ①②
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9. 已知，则的值为____________．
10. 如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，连接AE．若AB＝2，则AE的长为 _____．
11. 某人工智能大模型七月份用户数量为1.25亿，九月份用户数量增长至1.8亿，已知该智能模型的用户数量在逐月增加，设八、九月份用户数量的月平均增长率为，则根据题意可列方程为____________．
12. 某校举办书法比赛，获得一等奖的有甲、乙、丙、丁四位同学，其中甲、乙来自九年级（1）班，丙、丁来自九年级（2）班，现从中推荐两名同学代表学校去参加县级比赛．若随机推荐，则两名同学均来自相同班级的概率是__________．
13. 已知菱形的两条对角线、相交于点，若该菱形的边长是方程的一个根，且，则该菱形的面积是____________．
14. 如图，矩形中，，为的平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是________．
三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）
15. 解方程：．
16. 现有3件同型号产品需要检测，已知其中有1件不合格品和2件合格品，在这3件产品中加入件合格品后混匀，进行如下试验：随机抽取1件产品进行检测，然后放回并混匀，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.8，估计的值是多少？
17. 如图，在中，点在边上，连接，已知，若，，，求的长．
18. 如图，是菱形一条对角线，点在射线上，点在平面内．请用尺规作图法将菱形补充完整．（保留作图痕迹，不写作法）
19. 如图，在矩形中，点，在边上，连接，，且，求证：．
20. 明明和文文周末相约到某植物园晨练，这个植物园有A，B，C，D四个入口，他们可随机选择一个人口进入植物园，假设选择每个入口的可能性相同．
（1）他们其中一人进入植物园时，从B入口处进入的概率为______．
（2）用树状图或列表法求她们两人选择相同入口进入植物园的概率．
21. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分 ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂 足分别为M、N． 若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形．
22. 超市销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
（1）若降价元，则平均每天销售数量为多少件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
23. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的底边长为4，且腰长恰好是这个方程的根，求该三角形的周长．
24. 如图，在中，交的延长线于点E，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）F为的中点，连接，．已知，，求的长．
25. 如图，某农户准备用长的栅栏围一个矩形羊圈和一个边长为的正方形狗屋，点、分别在边，上（图中阴影部分为羊的活动区域），其中边靠墙（墙面足够长，靠墙的一面不用栅栏，、用栅栏）．
（1）若羊活动区域的面积为，求的长；
（2）羊的活动区域的面积能否为？若能，求出此时边的长；若不能，请说明理由．
26. 【问题探究】
（1）如图，已知正方形，点在边上，点在射线上，连接．
①如图1，当点在边上时，过点作交于点，则线段__________；（填“＞”“＜”或“＝”）
②如图2，平移图1中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，求证：；
【问题解决】
（2）如图3，有一块边长为的正方形农田，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库、、（大小忽略不计）分别在边、、上，、是两条水渠，水渠和相交于点．已知，水渠，求水库到农田边的距离．
2025~2026学年度第一学期期中质量调研九年级数学
注意事项：
1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷；
2．答卷前将装订线内的项目填写清楚．
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】A
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
【9题答案】
【答案】##0.5
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】120
【14题答案】
【答案】
三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】2
【17题答案】
【答案】
【18题答案】
【答案】见解析．
【19题答案】
【答案】见解析
【20题答案】
【答案】（1）
（2）
【21题答案】
【答案】证明见解析
【22题答案】
【答案】（1）平均每天销售数量为件．
（2）当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元．
【23题答案】
【答案】（1）见解析 （2）该三角形的周长为10
【24题答案】
【答案】（1）见解析 （2）
【25题答案】
【答案】（1）边的长为或．
（2）羊的活动区域的面积不能为．理由见解析
【26题答案】
【答案】（1）①＝；②见解析；（2）水库到农田边的距离为．

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