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专题01 三角形的概念
知识点一三角形的有关概念
1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
2.三角形的基本元素
基本元素 边 顶点 角
定义 组成三角形的线段 相邻两边的公共端点. 相邻两边所组成的角.
表示方法 方法一：线段AB,BC,AC. 点A,B,C(必须用大写字母). ∠A,∠B,∠C.
方法二：a,b,c(顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示).
图示
3.三角形的表示方法：顶点是A,B,C的三角形，记作“△ABC”,读作“三角形ABC”.
知识点二三角形的分类
1.等腰三角形
有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角(如图13.1-2).
2.等边三角形
三边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形.
3.三角形的分类
(1)按角分类
三角形：锐角三角形；直角三角形；钝角三角形
分类示意图如图13.1-3所示.
(2)按边分类
三角形：三边都不相等的三角形;等腰三角形(底边和腰不相等的等腰三角形;等边三角形)
一．三角形（共20小题）
1．（2025春 龙岗区期中）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【解答】解：由三角形中有1个已知角为钝角，
∴这个三角形是钝角三角形；
故选：C．
2．（2024秋 慈溪市期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：C．
3．（2024秋 花溪区校级期中）如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：三角形是由三条首尾相连的线段组成的图形．
故选：C．
4．（2024秋 广汉市期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠CED＝∠A，则△CDE为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上均有可能
【答案】B
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∵∠CED＝∠A，
∴∠CED+∠C＝90°，
∴∠CDE＝90°，
即△CDE为直角三角形，
故选：B．
5．（2024秋 播州区校级期中）下面给出的四个三角形都有一部分被长方形纸片遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、可以判断是直角三角形，故A不符合题意；
B、可以判断是锐角三角形，故B不符合题意；
C、不能判断出三角形的类型，故C符合题意；
D、可以判断是钝角三角形，故D不符合题意；
故选：C．
6．（2024秋 赛罕区校级期中）等腰三角形中，有一个角是30°，那么此三角形是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
【答案】D
【解答】解：若30°是顶角时，两个底角为：（180°﹣30°）÷2
＝150°÷2
＝75°．
此时，该三角形为锐角三角形；
若30°是底角时，它的另外一个底角为30°，
顶角为：180°﹣30°﹣30°＝120°，
此时，该三角形为钝角三角形；
综上所述，该三角形为锐角三角形或钝角三角形．
故选：D．
7．（2024秋 丰南区期中）如图，三角形的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解答】解：由所给图形可知，
图中三角形的个数为：1+2＝3．
故选：B．
8．（2025春 碑林区校级期中）观察下列图形，其中是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：其中是三角形的是B选项：，
故选：B．
9．（2024春 金溪县校级期中）在△ABC中，BC边的对角是（　　）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D
【答案】A
【解答】解：在△ABC中，BC边的对角是∠A，
故选：A．
10．（2024秋 东宝区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°．动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动．在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是（　　）
A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
【答案】C
【解答】解：在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形，
故选：C．
11．（2024秋 确山县期中）观察下列图形，其中是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A选项中2条线段没有相接，所以不是三角形，故A不是三角形；
B满足三角形的定义，故B是三角形；
C有2条线段相交，没有首尾顺次相接，所以不是三角形，故C不是三角形；
D有1条线段的观点连接了另一条线段上的一点，所以不是三角形，故D不是三角形．
故选：B．
12．（2024秋 集贤县期中）下列说法正确的是（　　）
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个钝角三角形一定不是等腰三角形
C．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形
【答案】D
【解答】解：A、一个直角三角形有可能是等腰三角形，故A不符合题意；
B、一个钝角三角形有可能是等腰三角形，故B不符合题意；
C、一个等腰三角形可能是锐角三角形，故C不符合题意；
D、一个等边三角形一定不是钝角三角形，正确，故D符合题意．
故选：D．
13．（2024秋 宁阳县期中）如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（　　）
A．10个 B．12个 C．13个 D．15个
【答案】C
【解答】解：根据图形观察，可以得到：小三角形有9个，三个小三角形组成一个三角形有3个，加上1整个大三角形，
∴该图中三角形的个数为9+3+1＝13（个）；
故选：C．
14．（2024秋 富源县期中）如图，以点A为顶点的三角形有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解答】解：以点A为顶点的三角形有△ABC，△ABD，△ACE，△ADE，
∴以点A为顶点的三角形有4个，
故选：A．
15．（2024秋 赛罕区校级期中）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵三角形按边分类可分为：不等腰三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又分为腰与底不等的等腰三角形和等边三角形，
∴选项A，C正确，不符合题意；
∵三角形按角分类可分为：锐角三角形，直角三角形和钝角三角形，
∴选项B正确，不符合题意；选项D不正确，符合题意．
故选：D．
16．（2024秋 南昌期中）一个三角形的两边b＝2，c＝7．
（1）当各边均为整数时，可以组成 　3　 个不同的三角形．
（2）若此三角形是等腰三角形，则其周长是多少？
【答案】（1）3；（2）16．
【解答】解：（1）设第三边长为a，则5＜a＜9，
由于三角形的各边均为整数，则a＝6或7或8，因此有三个三角形，
故答案为：3；
（2）①当b为腰时，a＝2＝b．2+2＜7不能构成三角形，所以不成立；
②当c为腰时，a＝7＝c．7+2＞7能构成三角形，此时三角形的周长为7+7+2＝16；
所以当此三角形是等腰三角形时，其周长是16．
17．（2024秋 确山县期中）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F．
（1）图中共有多少个以AB为边三角形？并把它们表示出来．
（2）除△ABF外，以点F为顶点的三角形还有哪些？
【答案】（1）以AB为边的三角形有4个，△ABF，△ABD，△ABE，△ABC；
（2）以点F为顶点的三角形还有△BDF、△AEF．
【解答】解：（1）以AB为边的三角形有4个，△ABF，△ABD，△ABE，△ABC．
（2）除△ABF外，以点F为顶点的三角形还有△BDF、△AEF．
18．（2024秋 武清区期中）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：图中共有6个三角形，分别是△ABD，△ABE，△ACB，△ADE，△ADC，△AEC．
19．（2024秋 宁化县期中）（1）在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：A（1，3），B（﹣2，﹣1），C（4，﹣1），并依次连接成三角形；
（2）计算出△ABC的周长．
【答案】（1）图形见解析过程；
（2）16．
【解答】解：（1）如图所示，△ABC就是所求作的三角形；
（2）由图形可知，，，BC＝6，
∴△ABC的周长为16．
20．（2024秋 梁溪区校级期中）（1）如图1，图中共有三角形 　10　 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 　24　 个；
（2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数．
【答案】（1）10，24；（2）330．
【解答】解：（1）如图1，给每个小三角形分别标上序号，
∴单个三角形有4个，两个小三角形组成的三角形有3个，三个小三角形组成的三角形有2个，四个小三角形组成的三角形有1个，
∴图1中的三角形共有4+3+2+1＝10（个），
由图1可知，顶点与直线l之间的三角形中有10个三角形，大三角形中有10个较小的三角形，
其中，图中2直线l下面还有4个三角形，
∴图2中的三角形共有10+10+4＝24（个），
故答案为：10，24．
（2）当增加2条线时，图形在图2的基础上增加10个三角形和左下角部分增加2个，共计3×10+4×（1+2）＝42个，
∵增加0条线时，三角形的个数为10个，
增加1条线时，三角形的个数为24个，24＝2×10+4，
增加2条线时，三角形的个数为42个，42＝3×10+4×（1+2），
∴增加10条线时，三角形的个数为11×10+4×（1+2+ 10）＝330个．
二．等腰三角形的性质（共20小题）
21．（2025春 碑林区校级期中）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（　　）
A． B． C．或2 D．或
【答案】D
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为8时，
∵等腰△ABC的周长为20，
∴它的底边长＝20﹣8﹣8＝4，
∴它的“优美比”；
当等腰三角形的底边长为8时，
∵等腰△ABC的周长为20，
∴它的腰长（20﹣8）＝6，
∴它的“优美比”；
综上所述：它的“优美比”为或，
故选：D．
22．（2024秋 朝阳区校级期中）如果等腰三角形的一个内角等于40°，那么它的底角是（　　）
A．100° B．70° C．70°或100° D．40°或70°
【答案】D
【解答】解：当40°为顶角时，底角为（180°﹣40°）÷2＝70°，
另外底角也可以为40°，
则它的底角是40°或70°，
故选：D．
23．（2024秋 青秀区校级期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
24．（2025春 城关区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　）
A．∠B＝∠C B．AD平分∠BAC
C．AD⊥BC D．AB＝2BD
【答案】D
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点
∴∠B＝∠C（故A正确），
AD⊥BC（故C正确），
∠BAD＝∠CAD（故B正确），
无法得到AB＝2BD，（故D不正确）．
故选：D．
25．（2025春 成都期中）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点P在AD上，连接PB、PC，若PB＝13，PD＝5，则CD的长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∵PB＝13，PD＝5，
∴BD12，
故选：C．
26．（2024秋 惠州校级期中）如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（　　）
A．60° B．75° C．70° D．90°
【答案】A
【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°，
∴∠A＝∠ACB＝15°，∠CBD＝∠CDB，∠DCE＝∠CED，∠EDF＝∠EFD，
∴∠CDB＝∠CBD＝∠A+∠BCA＝30°，
∴∠DEC＝∠DCE＝∠A+∠CDA＝15°+30°＝45°，
∴∠EFD＝∠EDF＝∠A+∠AED＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣∠EFD﹣∠EDF＝180°﹣60°﹣60°＝60°；
故选：A．
27．（2024秋 石家庄期中）题目：“在△ABC和△A'B'C'中，两个三角形的高线分别为AD和A'D'．∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'．AC＝A'C'，AD＝A'D'，且AB＞AC＞AD．已知∠C＝n°．求∠C′的度数．”对于其答案．甲答：∠C＝n°，乙答：∠C＝150°，丙答：∠C＝180°﹣n°，则正确的是（　　）
A．只有甲答的对
B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起才完整
【答案】B
【解答】解：如图1，△ABC≌△A'B'C'，
∴∠C'＝∠C＝n°；
如图2，△ACD≌△A'C'D'，
∴∠C'＝∠ACD＝180°﹣∠C＝180°﹣n°；
故选：B．
28．（2024春 清苑区期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
29．（2025春 紫金县期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，则下列结论不正确的是（　　）
A．BD＝CD B．∠BAC＝∠ABC
C．AD平分∠BAC D．S△ABD＝S△ACD
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，AD是边BC上的高，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC，
∴，
故选项A、C、D正确，不符合题意，
而已知条件无法证明∠BAC＝∠ABC，故选项B错误，符合题意．
故选：B．
30．（2024秋 海淀区校级期中）已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为（　　）
A．40° B．80° C．100° D．40°或100°
【答案】D
【解答】解：①若40°是顶角，则底角70°；
②若40°是底角，那么顶角＝180°﹣2×40°＝100°．
故选：D．
31．（2024秋 九龙坡区校级期中）如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　）
A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90°
【答案】D
【解答】解：∵AM＝NM，BM⊥AC，∠A＝α，
∴∠ABM＝∠NBM＝90°﹣α，
∵NM＝ND，BM⊥AC，ND⊥BC，
∴BN平分∠NDM，
∴∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣α，
∴∠ABC＝∠ABM+∠DBN+∠NBM＝270°﹣3α，
∴∠C＝2α﹣90°，
故选：D．
32．（2024秋 滨湖区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，BD＝4，则BC＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝4，
∴BC＝BD+CD＝8．
故选：D．
33．（2024秋 南昌县期中）已知△ABC的周长是24，且AB＝AC，又AD⊥BC，D为垂足，若△ABD的周长是20，则AD的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，且AD⊥BC
∴BD＝DCBC
∵AB+BC+AC＝2AB+2BD＝24，
∴AB+BD＝12
∴AB+BD+AD＝12+AD＝20
解得AD＝8
故选：B．
34．（2024秋 红桥区校级期中）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，PD组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，CP＝OC＝OA，点O，A可在槽中滑动，若∠AOB＝72°，则∠P的度数是（　　）
A．24° B．36° C．48° D．54°
【答案】A
【解答】解：∵CP＝OC＝OA，
∴∠P＝∠POC，∠OCA＝∠OAC，
∴∠ACO＝∠P+∠POC＝2∠P，
∵∠P+∠PAO＝3∠P＝∠AOB＝72°，
∴∠P＝24°．
故选：A．
35．（2024秋 禹州市期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝78°，则∠CDE的度数是（　　）
A．60° B．76° C．78° D．84°
【答案】B
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠DOE＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DCE＝∠DOE+∠CDO＝2∠DOE，
∴∠DEC＝2∠DOE，
∴∠BDE＝∠DOE+2∠DEC＝3∠DOE＝78°，
∴∠DOE＝26°，
∴∠DCE＝∠DEC＝52°，
∴∠CDE＝76°．
故选：B．
36．（2025春 北京期中）如图，直线a∥b，点A为直线a上的动点，点B为直线a、b之间的定点，点C为直线b上的定点．
（1）当∠DAB与∠ECB互余（如图）时，AB与BC的位置关系是AB⊥BC ．
（2）在（1）的条件下，作△BPQ，使BP＝QP，∠P＝90°，BM平分∠ABP，交直线a于点M，BN平分∠QBC，交直线b于点N，将△BPQ绕点B转动，且BC始终在∠PBQ的内部时，∠DMB+∠ENB的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，求其变化范围．
（3）点F为直线a上一点，使得∠AFB＝∠ABF，∠ABC的平分线交直线a于点G，当点A移动时，写出的值．
【答案】（1）AB⊥BC；
（2）不变，∠DMB+∠ENB＝67.5°；
（3）．
【解答】解：（1）如图，延长AB交直线b于点G，
由条件可知∠DAB＝∠AGC，
∵∠DAB+∠ECB＝90°，
∴∠AGC+∠ECB＝90°，
∴∠CBG＝180°﹣∠AGC﹣∠ECB＝90°，
∴AB⊥BC，
故答案为：AB⊥BC；
（2）不变化，理由如下，
如图，过点B作BH∥a，
由条件可知BH∥a∥b，
∴∠DMB＝∠MBH，∠ENC＝∠HBN，
∴∠DMB+∠ENB＝∠MBH+∠NBH＝∠MBN，
∵∠P＝90°，BP＝QP，
∴∠QBP＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠QBP＝∠ABP+∠CBP+∠CBP+∠QBC＝∠ABP+∠QBC+2∠CBP＝135°，
由条件可知，
∴，
∴2∠MBP+2∠NBC+2∠CBP＝135°，
∴∠MBP+∠NBC+∠CBP＝67.5°，
∴∠MBN＝67.5°，
∴∠DMB+∠EBN＝67.5°；
（3）如图，延长GB交b于点H，
由条件可知∠FGB＝∠BHC，
∵AB＝AF，
∴∠AFB＝∠ABF，
由条件可知∠ABG＝∠CBG，
∴∠ABG＝∠FGB+∠ECB＝∠ABF+∠FBG，
∵∠AFB＝∠FGB+∠FBG，
∴∠FGB+∠ECB＝∠FGB+∠FBG+∠FBG，
∴∠ECB＝2∠FBG，
∴．
37．（2024秋 临颍县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．
（1）求证：AF＝AD；
（2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵FE⊥BC，
∴∠FEC＝∠FEB＝90°，
∴∠F+∠C＝90°，∠B+∠BDE＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠ADF，
∴AF＝AD；
（2）解：∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠F＝30°，
∴∠BDE＝30°，∠C＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形．
∴BC＝AC，
∵BD＝4，
∴
∴BC＝BE+EC＝2+6＝8，
∴AC＝8．
38．（2024秋 集宁区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°．
则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．
39．（2024秋 大通区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE＝EB，BC＝BD，求∠A的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵DE＝EB
∴设∠BDE＝∠ABD＝x，
∴∠AED＝∠BDE+∠ABD＝2x，
∵AD＝DE，
∴∠AED＝∠A＝2x，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3x，
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝3x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝3x，
在△ABC中，3x+3x+2x＝180°，
解得x＝22.5°，
∴∠A＝2x＝22.5°×2＝45°．
40．（2018秋 洪山区期中）如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 　角平分线上的点到角的两边距离相等　
（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；
（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，
∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等），
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；
（2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE＝DF，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C，
在△DEA和△DFC中，
∴△DEA≌△DFC（AAS），
∴DA＝DC；
（3）如图，在BC上截取BK＝BD，连接DK，
∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBK∠ABC＝20°，
∵BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，
由（2）的结论得AD＝DK，
∵∠BKD＝∠C+∠KDC，
∴∠KDC＝∠C＝40°，
∴DK＝CK，
∴AD＝DK＝CK，
∴BD+AD＝BK+CK＝BC．
三．等边三角形的性质（共20小题）
41．（2024秋 大理州期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
【答案】C
【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A1B1O＝∠MON，
∴A1B1＝OA1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1，
同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，
∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22 OA1，
A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23 OA1，
…
∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1 OA1＝2n，
∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64，
故选：C．
42．（2024秋 黔东南州期中）如图，将一个等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2等于（　　）
A．240° B．120° C．170° D．360°
【答案】A
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C＝240°；
故选：A．
43．（2025春 温江区校级期中）如图，在边长为6的等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，连接DE，则DE＝（　　）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且边长为6，
∴AB＝BC＝AC＝6，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD是AC边上的中线，
∴BD⊥AC，AD＝CDAC＝3，∠CBD＝∠ABD∠ABC＝30°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：DB，
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°，
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∴∠CBD＝∠E＝30°，
∴DE＝DB．
故选：C．
44．（2025春 城关区校级期中）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝38°，则∠2的度数为（　　）
A．142° B．128° C．98° D．92°
【答案】C
【解答】解：设直线a与AB交于点D，与AC交于点E，如图所示：
∵∠1＝38°，
∴∠ADE＝∠1＝38°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠AEF为△ADE的一个外角，
∴∠AEF＝∠ADE+∠A＝38°+60°＝98°，
∵直线a∥b，
∴∠2＝∠AEF＝98°．
故选：C．
45．（2024秋 东川区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC，
∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，
∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，
∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，
∴CD＝CE＝2cm，
故选：B．
46．（2024春 丽水期中）如图，将边长为5cm的等边△ABC沿边BC向右平移4cm得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的周长为（　　）
A．28cm B．25cm C．23cm D．21cm
【答案】C
【解答】解：∵平移距离是4个单位，
∴AA′＝BB′＝4，
∵等边△ABC的边长为5，
∴B′C′＝BC＝5，
∴BC′＝BB′+B′C′＝4+5＝9，
∵四边形ABC′A′的周长＝4+5+9+5＝23（cm）．
故选：C．
47．（2025春 包头期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，……在射线ON上，点B1，B2，B3，……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，……均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
【答案】B
【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝∠B2A2A3＝∠B3A3A4＝60°，…，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…
∵∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，∠OB2A2＝∠B2A2A3﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，∠OB3A3＝∠B3A3A4﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，…，
∴△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3、…均为等腰三角形，
∴OA1＝A1B1＝2，，…，
∴△A1B1A2的边长为：2＝21，△A2B2A3的边长为：4＝22，△A3B3A4的边长为：8＝23，…，
∴△A5B5A6的边长为：25＝32，
故选：B．
48．（2025春 太谷区期中）如图，等边△ABC的顶点A、B分别在直线a，b上，且a∥b，若∠2＝80°，则∠1的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．45°
【答案】A
【解答】解：如图：
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝80°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵∠3是△ACD的一个外角，
∴∠1＝∠3﹣∠C＝20°，
故选：A．
49．（2025春 新城区期中）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝42°，则∠2的度数为（　　）
A．92° B．102° C．112° D．114°
【答案】B
【解答】解：如图：AB，AC分别交直线a于点D，E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
又∵∠ADE＝∠1＝42°，
∴∠DEC＝∠ADE+∠A＝102°，
又∵a∥b，
∴∠2＝∠DEC＝102°．
故选：B．
50．（2025春 渠县校级期中）如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为（　　）
A．α+β+γ＝60° B．α﹣β+γ＝60°
C．α+β﹣γ＝60° D．α+2β﹣γ＝60°
【答案】B
【解答】解：如图所示：
∵△ABC，△DEC，△FGC都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝∠FCG＝60°，
∴∠BCG＝∠BCD+∠GCE+∠DCE＝α+γ+60°，
又∵∠BCG＝∠ACB+∠FCG+∠ACF＝60°+60°+β，
∴α+γ+60°＝60°+60°+β，
∴α﹣β+γ＝60°．
故选：B．
51．（2024秋 惠民县期中）如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为（　　）
A．6 B．12 C．32 D．64
【答案】D
【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：A7B7＝64B1A2＝64．
故选：D．
52．（2024秋 肇源县期中）如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AD＝CDAC，∠DBC∠ABC＝30°，
∵CE＝CD，
∴CEAC＝3
∴BE＝BC+CE＝6+3＝9．
故选：C．
53．（2025春 西安期中）如图，在等边△ABC中，AD为BC边上的中线，点E在AC边上，连接DE，若AD＝AE，则∠CDE的度数为（　　）
A．20° B．25° C．10° D．15°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠DAC∠BAC＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED（180°﹣30°）＝75°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
故选：D．
54．（2025春 管城区期中）等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为（　　）
A．10° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【解答】解：如图所示，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵BF和CE是△ABC的中线，
∴CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠BCM＝∠CBM＝30°，
∴∠CMF＝∠BCM+∠CBM＝60°．
故选：C．
55．（2024春 山阳区校级期中）将等边三角形如图放置，a∥b，∠1＝35°，则∠2＝（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【解答】解：过点A作AD∥a，如图，
则AD∥b，
∴∠BAD＝∠1＝35°．
∵a∥b，
∴AD∥b，
∵∠DAC＝∠2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠2＝∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝60°﹣35°＝25°．
故选：B．
56．（2024秋 许昌校级期中）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD．
（1）求证：DB＝DE；
（2）过点D作DF垂直BE，垂足为F，若CF＝3，求△ABC的周长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∴∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一），
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED．
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
∴∠CDE＝∠CED∠BCD＝30°．
∴∠DBC＝∠DEC．
∴DB＝DE（等角对等边）．
（2）∵DF⊥BE，由（1）知，DB＝DE，
∴DF垂直平分BE，
∵∠CDE＝∠CED∠BCD＝30°，
∴∠CDF＝30°，
∵CF＝3，
∴DC＝6，
∵AD＝CD，
∴AC＝12，
∴△ABC的周长＝3AC＝36．
57．（2025春 萍乡期中）如图，已知等边△ABC的边长是6cm，动点M、N分别沿AC、CB，从A、C两点同时匀速运动，M、N的运动速度分别是1cm/s、2cm/s，当点N到达B点时，M、N两点均停止运动．设点M的运动时间为t（s）．
（1）当t＝2s时，求MN的长度．
（2）当t为何值时，△MCN是直角三角形？
【答案】（1）4cm
（2）当t＝3s或1.2s时，△MCN是直角三角形
【解答】解：（1）当t＝2s时，如图1所示：
依题意得：AM＝2cm，CN＝4cm，
∵△ABC是等边三角形，且边长为6cm，
∴AC＝BC＝6cm，∠C＝60°，
∴CM＝AC﹣AM＝6﹣2＝4（cm），
∴CM＝CN＝4cm，
∴△CMN为等边三角形，
∴MN＝CN＝CM＝4cm；
（2）设t秒后，△MCN是直角三角形，
依题意得：AM＝tcm，CN＝2tcm，
∵△ABC是等边三角形，且边长为6cm，
∴AC＝BC＝6cm，∠C＝60°，
∴CM＝（6﹣t）cm，
当△MCN是直角三角形时，有以下两种情况：
①当∠CMN＝90°时，如图2①所示：
在Rt△MCN中，∠CNM＝∠CMN﹣∠C＝30°，
∴CN＝2CM，
即2t＝2（6﹣t），
解得：t＝3（s），
即N到达B点时，△MCN是直角三角形；
②当∠CNM＝90°时，如图2②所示：
在Rt△MCN中，∠CMN＝∠CNM﹣∠C＝30°，
∴CM＝2CN，
即6﹣t＝2×2t，
解得：t＝1.2（s），
综上所述：当t＝3s或1.2s时，△MCN是直角三角形．
58．（2024秋 德城区校级期中）在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC．
（1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD；
（2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）14．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠A＝∠ACB＝60°，
∵EB＝AE，
∴CE⊥AB，CE是∠ACB的角平分线，
∴∠BEC＝90°，∠BCE＝30°，
∴2EB＝BC，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝30°，
∴∠DEB＝60°﹣30°＝30°，
∴BD＝BE，
∴2BD＝BC；
（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，
∴∠EDB＝∠FEC，
在△BDE和△FEC中，
，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD＝EF，
∴AE＝BD，
∴CD＝BC+BD＝12+2＝14．
59．（2024秋 海淀区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若CF＝4，求△ABC的周长．
【答案】（1）见解析；
（2）△ABC的周长为48．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，BD是中线，
∴∠ACB＝60°，，
∵CE＝CD，
∴，
∴∠CBD＝∠E＝30°．
∴DB＝DE；
（2）解：∵DF⊥BE，
∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，
∵CF＝4，
∴DC＝2CF＝8．
∵△ABC为等边三角形，BD是中线，
∴AB＝BC＝AC＝2DC＝16，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3×16＝48．
60．（2025春 虹口区期中）生活中有很多神奇的事情，车轮可以不是圆的，是不是很诧异，我们一起来认识一下“勒洛三角形”．它是一种特殊图形，指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形（如图1）．
（1）若图1中给定的等边三角形ABC的边长为6cm，请你求出这个勒洛三角形的周长．（结果保留π）
（2）乐乐受到“勒洛三角形”的启发，发现了“勒洛五边形”．如图2，这个图形的内部五角星的五条线段长都为a（即AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝a），联结每两个相邻顶点的曲线都是弧，例如弧 AD就是以点A为圆心，a为半径所画成的弧．于是他想算一算这个图形周长，在尝试用量角器分别测量了五角星的五个角后，他得到了又一个重要的发现，于是得到了这个图形的周长，那么这个勒洛五边形的周长是 aπ　 （结果保留π，用含a的式子表示）．
【答案】（1）6πcm；
（2）aπ．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，且边长为6cm，
∴AB＝BC＝AC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴弧AB＝弧BC＝弧AC，
由弧长公式得：弧BC的长为：2π（cm），
∴勒洛三角形的周长为：3×2π＝6π（cm）；
（1）设AE与Cd交于点P，BC与AE相交于点Q，如图所示：
设∠A＝β°，∠B＝b°，∠C＝c°，∠D＝d°，∠E＝e°，
∵∠CPE是△PDE的外角，
∴∠CPE＝∠D+∠E，
∵∠PQB是△PQC的外角，
∴∠PQB＝∠CPE+∠C＝∠D+∠E+∠C，
在△ABQ中，∠A+∠B+∠PQB＝180°，
∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C＝180°，
∴β+b+c+d+e＝180，
由弧长公式得：长为：，长为：，长为：，长为：，长为：，
∴勒洛五边形的周长是：是，
∵β+b+c+d+e＝180，
∴勒洛五边形的周长是：aπ．
故答案为：aπ．
第1页（共1页）专题01 三角形的概念
知识点一三角形的有关概念
1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
2.三角形的基本元素
基本元素 边 顶点 角
定义 组成三角形的线段 相邻两边的公共端点. 相邻两边所组成的角.
表示方法 方法一：线段AB,BC,AC. 点A,B,C(必须用大写字母). ∠A,∠B,∠C.
方法二：a,b,c(顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示).
图示
3.三角形的表示方法：顶点是A,B,C的三角形，记作“△ABC”,读作“三角形ABC”.
知识点二三角形的分类
1.等腰三角形
有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角(如图13.1-2).
2.等边三角形
三边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形.
3.三角形的分类
(1)按角分类
三角形：锐角三角形；直角三角形；钝角三角形
分类示意图如图13.1-3所示.
(2)按边分类
三角形：三边都不相等的三角形;等腰三角形(底边和腰不相等的等腰三角形;等边三角形)
一．三角形（共20小题）
1．（2025春 龙岗区期中）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
2．（2024秋 慈溪市期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 花溪区校级期中）如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024秋 广汉市期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠CED＝∠A，则△CDE为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上均有可能
5．（2024秋 播州区校级期中）下面给出的四个三角形都有一部分被长方形纸片遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024秋 赛罕区校级期中）等腰三角形中，有一个角是30°，那么此三角形是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
7．（2024秋 丰南区期中）如图，三角形的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（2025春 碑林区校级期中）观察下列图形，其中是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024春 金溪县校级期中）在△ABC中，BC边的对角是（　　）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D
10．（2024秋 东宝区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°．动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动．在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是（　　）
A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
11．（2024秋 确山县期中）观察下列图形，其中是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
12．（2024秋 集贤县期中）下列说法正确的是（　　）
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个钝角三角形一定不是等腰三角形
C．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形
13．（2024秋 宁阳县期中）如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（　　）
A．10个 B．12个 C．13个 D．15个
14．（2024秋 富源县期中）如图，以点A为顶点的三角形有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
15．（2024秋 赛罕区校级期中）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
16．（2024秋 南昌期中）一个三角形的两边b＝2，c＝7．
（1）当各边均为整数时，可以组成 　 　 个不同的三角形．
（2）若此三角形是等腰三角形，则其周长是多少？
17．（2024秋 确山县期中）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F．
（1）图中共有多少个以AB为边三角形？并把它们表示出来．
（2）除△ABF外，以点F为顶点的三角形还有哪些？
18．（2024秋 武清区期中）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
19．（2024秋 宁化县期中）（1）在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：A（1，3），B（﹣2，﹣1），C（4，﹣1），并依次连接成三角形；
（2）计算出△ABC的周长．
20．（2024秋 梁溪区校级期中）（1）如图1，图中共有三角形 　 　 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 　 　 个；
（2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数．
二．等腰三角形的性质（共20小题）
21．（2025春 碑林区校级期中）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（　　）
A． B． C．或2 D．或
22．（2024秋 朝阳区校级期中）如果等腰三角形的一个内角等于40°，那么它的底角是（　　）
A．100° B．70° C．70°或100° D．40°或70°
23．（2024秋 青秀区校级期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
24．（2025春 城关区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　）
A．∠B＝∠C B．AD平分∠BAC
C．AD⊥BC D．AB＝2BD
25．（2025春 成都期中）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点P在AD上，连接PB、PC，若PB＝13，PD＝5，则CD的长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
26．（2024秋 惠州校级期中）如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（　　）
A．60° B．75° C．70° D．90°
27．（2024秋 石家庄期中）题目：“在△ABC和△A'B'C'中，两个三角形的高线分别为AD和A'D'．∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'．AC＝A'C'，AD＝A'D'，且AB＞AC＞AD．已知∠C＝n°．求∠C′的度数．”对于其答案．甲答：∠C＝n°，乙答：∠C＝150°，丙答：∠C＝180°﹣n°，则正确的是（　　）
A．只有甲答的对
B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起才完整
28．（2024春 清苑区期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
29．（2025春 紫金县期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，则下列结论不正确的是（　　）
A．BD＝CD B．∠BAC＝∠ABC
C．AD平分∠BAC D．S△ABD＝S△ACD
30．（2024秋 海淀区校级期中）已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为（　　）
A．40° B．80° C．100° D．40°或100°
31．（2024秋 九龙坡区校级期中）如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　）
A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90°
32．（2024秋 滨湖区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，BD＝4，则BC＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
33．（2024秋 南昌县期中）已知△ABC的周长是24，且AB＝AC，又AD⊥BC，D为垂足，若△ABD的周长是20，则AD的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
34．（2024秋 红桥区校级期中）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，PD组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，CP＝OC＝OA，点O，A可在槽中滑动，若∠AOB＝72°，则∠P的度数是（　　）
A．24° B．36° C．48° D．54°
35．（2024秋 禹州市期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝78°，则∠CDE的度数是（　　）
A．60° B．76° C．78° D．84°
36．（2025春 北京期中）如图，直线a∥b，点A为直线a上的动点，点B为直线a、b之间的定点，点C为直线b上的定点．
（1）当∠DAB与∠ECB互余（如图）时，AB与BC的位置关系是　 　 ．
（2）在（1）的条件下，作△BPQ，使BP＝QP，∠P＝90°，BM平分∠ABP，交直线a于点M，BN平分∠QBC，交直线b于点N，将△BPQ绕点B转动，且BC始终在∠PBQ的内部时，∠DMB+∠ENB的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，求其变化范围．
（3）点F为直线a上一点，使得∠AFB＝∠ABF，∠ABC的平分线交直线a于点G，当点A移动时，写出的值．
37．（2024秋 临颍县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．
（1）求证：AF＝AD；
（2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长．
38．（2024秋 集宁区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
39．（2024秋 大通区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE＝EB，BC＝BD，求∠A的度数．
40．（2018秋 洪山区期中）如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 　 　
（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；
（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．
三．等边三角形的性质（共20小题）
41．（2024秋 大理州期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
42．（2024秋 黔东南州期中）如图，将一个等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2等于（　　）
A．240° B．120° C．170° D．360°
43．（2025春 温江区校级期中）如图，在边长为6的等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，连接DE，则DE＝（　　）
A．3 B．4 C． D．
44．（2025春 城关区校级期中）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝38°，则∠2的度数为（　　）
A．142° B．128° C．98° D．92°
45．（2024秋 东川区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
46．（2024春 丽水期中）如图，将边长为5cm的等边△ABC沿边BC向右平移4cm得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的周长为（　　）
A．28cm B．25cm C．23cm D．21cm
47．（2025春 包头期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，……在射线ON上，点B1，B2，B3，……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，……均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
48．（2025春 太谷区期中）如图，等边△ABC的顶点A、B分别在直线a，b上，且a∥b，若∠2＝80°，则∠1的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．45°
49．（2025春 新城区期中）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝42°，则∠2的度数为（　　）
A．92° B．102° C．112° D．114°
50．（2025春 渠县校级期中）如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为（　　）
A．α+β+γ＝60° B．α﹣β+γ＝60°
C．α+β﹣γ＝60° D．α+2β﹣γ＝60°
51．（2024秋 惠民县期中）如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为（　　）
A．6 B．12 C．32 D．64
52．（2024秋 肇源县期中）如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
53．（2025春 西安期中）如图，在等边△ABC中，AD为BC边上的中线，点E在AC边上，连接DE，若AD＝AE，则∠CDE的度数为（　　）
A．20° B．25° C．10° D．15°
54．（2025春 管城区期中）等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为（　　）
A．10° B．50° C．60° D．70°
55．（2024春 山阳区校级期中）将等边三角形如图放置，a∥b，∠1＝35°，则∠2＝（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
56．（2024秋 许昌校级期中）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD．
（1）求证：DB＝DE；
（2）过点D作DF垂直BE，垂足为F，若CF＝3，求△ABC的周长．
57．（2025春 萍乡期中）如图，已知等边△ABC的边长是6cm，动点M、N分别沿AC、CB，从A、C两点同时匀速运动，M、N的运动速度分别是1cm/s、2cm/s，当点N到达B点时，M、N两点均停止运动．设点M的运动时间为t（s）．
（1）当t＝2s时，求MN的长度．
（2）当t为何值时，△MCN是直角三角形？
58．（2024秋 德城区校级期中）在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC．
（1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD；
（2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长．
59．（2024秋 海淀区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若CF＝4，求△ABC的周长．
60．（2025春 虹口区期中）生活中有很多神奇的事情，车轮可以不是圆的，是不是很诧异，我们一起来认识一下“勒洛三角形”．它是一种特殊图形，指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形（如图1）．
（1）若图1中给定的等边三角形ABC的边长为6cm，请你求出这个勒洛三角形的周长．（结果保留π）
（2）乐乐受到“勒洛三角形”的启发，发现了“勒洛五边形”．如图2，这个图形的内部五角星的五条线段长都为a（即AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝a），联结每两个相邻顶点的曲线都是弧，例如弧 AD就是以点A为圆心，a为半径所画成的弧．于是他想算一算这个图形周长，在尝试用量角器分别测量了五角星的五个角后，他得到了又一个重要的发现，于是得到了这个图形的周长，那么这个勒洛五边形的周长是 　 　 （结果保留π，用含a的式子表示）．

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