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24.2 圆的基本性质
第1课时 与圆有关的概念及点与圆的
位置关系
第24章 圆
观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
图片引入
骑车运动
看了此画，你有何想法
思考：车轮为什么做成圆形？做成三角形、正方形可以吗？
车轮为圆形的原理分析（请依次点击按钮观看动画）：
问题1 一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开.这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？
探究圆的概念
合作探究
甲
丙
乙
丁
为了使游戏公平，
应在目标周围围成一个圆圈排队，
因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.
为什么？
·
r
O
P
圆的旋转定义
在平面内，线段 OP 绕着它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 P 所形成的封闭曲线叫做圆．固定的端点 O 叫做圆心，线段 OP 的长 r 叫做半径．以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O” 读作“圆 O”.
问题2 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
同心圆
等圆
半径相同，圆心不同
圆心相同，半径不同
确定一个圆的要素
(1) 圆上各点到定点 (圆心 O) 的距离都等于 .
(2) 平面内到定点 (圆心 O) 的距离等于定长 (半径 r) 的所
有点都在 .
由此，我们可以得到圆的集合定义：平面内到定点 (圆心 O) 的距离等于定长 (半径 r) 的所有点组成的图形.
O
r
r
r
r
r
定长(半径 r)
同一个圆上
想一想：从画圆的过程可以看出什么呢？
·
例1 如图，已知 AB，CD 为⊙O 的直径. 求证：AD∥CB.
典例精析
证明：连接 AC，DB.
∵ AB，CD 为⊙O 的直径，
∴ OA = OB，
OC = OD.
∴ 四边形 ADBC 为平行四边形.
∴ AD∥CB.
A
B
C
D
O
矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O.
求证：A、B、C、D 在以 O 为圆心的同一圆上.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴
∴ A、B、C、D 在以 O 为圆心，
以 OA 为半径的圆上.
练一练
问题1 观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
.
o
.
C
.
.
.
. B
.
A
.
.
有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
点和圆的位置关系
观察与思考
问题2 设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系下，d与r有怎样的数量关系？
点P在⊙O内
点P在⊙O上
点P在⊙O外
d
d
d
r
P
d
P
r
d
P
r
d
＜
r
r
=
＞
r
反过来，由 d 与 r 的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
1. ⊙O 的半径为 10 cm，A、B、C 三点到圆心的距离分
别为 8 cm、10 cm、12 cm，则点 A、B、C 与⊙O 的
位置关系是点 A 在 ；点 B 在 ；点 C 在 .
圆内
圆上
圆外
2. 圆心为 O 的两个同心圆，半径分别为 1 和 2，若 OP
= ，则点 P 在 ( 　)
A. 大圆内 B. 小圆内
C. 小圆外 D. 大圆内，小圆外
o
D
练一练
点和圆的位置关系
r
P
d
P
r
d
P
r
d
R
r
P
点 P 在⊙O 内
d点 P 在⊙O 上
d=r
点 P 在⊙O 外
d>r
点 P 在圆环内
r≤d≤R
数形结合：
位置关系
数量关系
知识要点
例2 如图，已知矩形 ABCD 的边 AB = 3，AD = 4.
（1）以 A 为圆心，4 为半径作⊙A，则点 B、C、D 与
⊙A 的位置关系如何？
解：∵AB = 3 ＜ 4，
∴ 点 B 在⊙A 内．
∵ AD = 4，
∴ 点 D 在 ⊙A 上．
∵ ＞ 4，
∴ 点 C 在 ⊙A 外.
（2）若以 A 点为圆心作⊙A，
使 B、C、D 三点中至少
有一点在圆内，且至少
有一点在圆外，求⊙A
的半径 r 的取值范围.
解：由题意得，点 B 一定在圆内，点 C 一定在圆外，∴ 3＜r＜5.
【变式题】如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为
(2，1)，P 是 x 轴上一点，要使 △PAO 为等腰三角形，
满足条件的 P 有几个？求出点 P 的坐标.
方法总结：在没有明确腰和底边的情况下，构造等腰三角形要注意分类讨论.
·
C
O
A
B
弧：
圆的有关概念
(
连接圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“ ”表示. 如图中的 和 ．
弦：
·
C
O
A
B
连接圆上任意两点的线段（如图中的 AB，AC）叫做弦.
经过圆心的弦（如图中的 AB）叫做直径．
注意：1. 弦和直径都是线段；
2. 直径是特殊的弦，它经过圆心，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
半圆、优弧及劣弧：
圆的任意一条直径的两个端点分圆
成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
劣弧与优弧
·
C
O
A
B
半圆
大于半圆的弧（如图中的 ，一般用三个字母表示）叫做优弧；小于半圆的弧（如图中的 ）叫做劣弧.
等圆：
·
C
O
A
能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等.
·
C
O1
A
等弧：
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
长度相等的弧是等弧吗？
例 3 如图.
(1) 请写出以点 A 为端点的劣弧及优弧；
(2) 请写出以点 A 为端点的弦及直径；
弦 AF，AB，AC. 其中弦 AB 也是直径.
(3) 请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
A
B
C
E
F
D
O
劣弧：
优弧：
答案不唯一，如：弦 AF，它所对的弧是 和 .
练一练
有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误说法的个数是 ( 　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：根据圆、直径、弦、半圆等概念来判断．半径只能确定圆的大小，不能确定圆的位置；直径是弦，但弦不一定是直径；对称轴是直线，故应说任意一条直径所在的直线是圆的对称轴．故①③⑤错误.
C
1. 根据圆的定义，圆指的是“圆周”，而不是“圆面”；
2. 直径是圆中最长的弦.
证明：
·
C
O
A
B
连接 OC．
在△AOC 中，根据三角形三边关系有 OA + OC > AC，
而 AB = 2OA，OA = OC，
∴ AB > AC.
知识要点
例 4 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB，CD 的延长线交于点 E. 已知 AB = 2DE，∠E = 18°，求∠AOC 的度数．
解：如图，连接 OD.
∵ AB 是⊙O 的直径，OC，OD 是半径，
AB = 2DE，∴OD = DE.
∴∠DOE = ∠E = 18°.
∴∠ODC = ∠DOE＋∠E = 36°.
∵ OC = OD，∴∠C = ∠ODC = 36°.
∴∠AOC = ∠C＋∠E = 36°＋18° = 54°.
例 5 如图，MN 是半圆 O 的直径，正方形 ABCD 的顶点 A、D 在半圆上，B、C 在 MN 上，求证：OB = OC.
Ⅰ
Ⅱ
10
？
2x
在 Rt△ABO 中，AB2 + BO2 = AO2，
即 (2x)2 + x2 = 102.
A
B
O
C
D
M
N
算一算：设⊙O 的半径为 10，则正方形 ABCD 的边长为
.
x
连接 OA，OD，则OA = OD，由三角形全等可证 OB = OC.
x
x
x
x
【变式题】如图，在扇形 MON 中，∠MON = 45°，半径
MO = NO = 10，正方形 ABCD 的顶点 B、C、D 在半径
上，顶点 A 在圆弧上，求正方形 ABCD 的边长.
解：连接 OA，如图.
又∵∠DOC = 45°，∴CD = OC.
设 AB = x，则 AB = BC = DC = OC = x.
∵OA = OM = 10，∴ (2x)2 + x2 = 102.
在 Rt△ABO 中，
在正方形 ABCD 中，AB = BC = CD，
∠ABC =∠DCB = 90°.
解得
45°
1. 判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.
(1) 弦是直径；
(2) 半圆是弧；
(3) 过圆心的线段是直径；
(4) 过圆心的直线是直径；
(5) 半圆是最长的弧；
(6) 直径是最长的弦；
(7) 长度相等的弧是等弧.
2. 填空：
（1）______是圆中最长的弦，它是______的 2 倍．
（2）图中有 条直径， 条非直径的弦，
圆中以 A 为一个端点的优弧有 条，
劣弧有 条．
直径
半径
1
2
4
4
A
B
C
D
O
F
E
3. 正方形 ABCD 的边长为 2 cm，以 A 为圆心，2 cm 长为
半径作⊙A，则点 B 在⊙A ；点 C 在⊙A ；点 D
在⊙A .
上
外
上
4. 如图，MN 为⊙O 的弦，∠MON = 70°，则∠M = °.
5. 一点到⊙O 上的最近距离为 4 cm，最远距离为 10 cm，
则这个圆的半径是 .
7 cm 或 3 cm
M
O
N
55
·
2 cm
3 cm
6. 画出由所有到已知点 O 的距离大于或等于 2 cm 并且
小于或等于 3 cm 的点组成的图形.
O
7. 如图，OA、OB 是⊙O 的半径，点 C、D 分别为 OA、
OB 的中点，求证：AD = BC.
证明：∵ OA、OB 是⊙O 的半径，
∴ OA = OB.
∵ 点 C、D 分别为 OA、OB 的中点，
∴ OA = 2OC，OB = 2OD.
∴ OC = OD.
又∵∠O =∠O，
∴△AOD≌△BOC (SAS).
∴ BC = AD.
解：渔船应沿着射线 OP 的方向航行
才能尽快离开危险区．理由如下：
设射线 OP 交⊙O 于点 A，过点 P
任意作一条弦 CD，连接 OD. 在
△ODP中，OD－OP＜PD，又∵OD
= OA，∴OA－OP＜PD. ∴ PA＜PD，即 PA 为最短路线，故渔船沿射线 OP 方向航行才能尽快离开危险区.
能力提升：
8. 如图，点 O 处有一灯塔，警示⊙O 内部为危险区，一
渔船误入危险区点 P 处，该渔船应该按什么方向航行
才能尽快离开危险区？试说明理由．
A
D
P
C
O
圆
定义
旋转定义
集合定义
有关
概念
直径是圆中最长的弦
弧
半圆是特殊的弧
劣弧
半圆
优弧
点与圆的位置关系
弦（直径）
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d>r
d=r
d等圆
等弧

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