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章末检测小卷(七) 图形的变化
一、选择题(本大题共8小题，每题3分，共24分)
1. 把一个正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是(　　)
第1题图
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
3. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将上、下两个面为矩形且互相平行的六面体称之为“刍童”，如图所示“刍童”的俯视图(不考虑厚度)为 (　　)
　　
第3题图
4. 如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体与原几何体的左视图不同，则应取走(　　)
A.④　　B.③　　C.②　　D.①
第4题图
5. 如图①是中国古代的一种打击乐器编钟.小明绘制编钟的正面示意图如图②所示，他发现绘制的编钟是轴对称图形.下列结论错误的是 (　　)
A.AD=EF　　B.BC垂直平分DF
C.∠D＋∠F=180°　　D.∠ABC=∠EBC
第5题图
6. 如图，Rt△AOB的边OB在x轴上，∠OAB=90°，∠ABO=30°，AO=2，将△AOB沿y轴向上平移得到△A′O′B′，若O′B′恰好经过AB边的中点M，则点A的对应点A′的坐标为(　　)
A.(，3)　　　　　B. (，)
C. (1，3)　　　　D. (1，)
第6题图
7. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，延长BC至点D，使得BD=AB，连接A′D.若A′D=AB，则线段BC的长为 (　　)
A.　　B.1　　C.　　D.
　
第7题图
8. 如图，E为正方形纸片ABCD中BC边上的一点，且=，连接AE，沿AE折叠该纸片，点B落在正方形内点M处，延长AM交DC于点G，则DG∶GC=(　　)
A.2∶3　　B.1∶2
C.5∶7　　D.3∶4
第8题图　
二、填空题(本大题共3小题，每题3分，共9分)
9. 阅读以下作图步骤：①在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②作直线MN，交AB于点O；③以O为圆心，OA长为半径作弧，交AC于点D，连接BD，如图所示.根据以上作图，则∠BDC的度数为　　　　.
　
第9题图
10. 《周髀算经》记载：“圆出于方，方出于矩.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形ABCD的边长为2，以其对角线交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若AB∶A′B′=1∶2，则四边形A′B′C′D′的面积是　　　　.
第10题图
11. 一副三角板按图①放置，O是边BC(DF)的中点，BC=12 cm.如图②，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是 　　　　 cm.
第11题图
三、解答题(本大题共4小题，共40分，解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
12. (10分)如图，在△ABC中，∠A=90°.
(1)实践与操作：用尺规作图法作∠ABC的平分线，交AC于点G；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)应用与计算：在(1)的条件下，若BC=10，AC=8，求BG的长.
第12题图
13. (10分)如图，在四边形ABCD中，AD=BC=2AB=2CD，且∠C=∠D，点E，F分别在BC，CD上，BE=DF=4.
(1)求证：四边形ABCD为矩形；
(2)连接AE，AF，点B关于AE对称的点G在AF上，连接EG，求AF的长.
第13题图
14. (10分)如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，将△ABC向右平移到△DEF的位置，连接DC，AF.
(1)若E为BC的中点，求∠DCF的度数；
(2)若AB=5，∠ACB=2∠AFC，求平移的距离.
第14题图
15. (10分)如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，AC与BD交于点O，将△BCD绕点B顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到△BEF.
(1)如图①，当点F第一次落在对角线AC上时，求OB与BF的数量关系以及α的值；
(2)如图②，当α＞180°，且EF∥BD时，EF与AD交于点G.试判断四边形BDGF的形状，并说明理由.
第15题图
参考答案
1. B　2. A　3. C　4. B
5. C　【解析】∵编钟是关于CB对称的轴对称图形，∴AD和EF为对应线段，∴AD=EF，A正确；D，F为对应点，∴BC垂直平分DF，B正确；∠D和∠F是对应角，只能得到∠D=∠F，无法判断∠D＋∠F的度数，C错误；∠ABC和∠EBC是对应角，∴∠ABC=∠EBC，D正确，故选C.
6. D　【解析】如解图，过点A作AN⊥OB于点N，∵AO=2，∠OAB=90°，∠ABO=30°，∴∠AOB=60°，OB=4.在Rt△ANO中，AO=2，∴AN=AO sin 60°=，ON=AO cos 60°=1，∴点A的坐标为(1，)，点B的坐标为(4，0).∵M为AB的中点，∴点M的坐标为(，).∵O′B′恰好经过AB的中点M，∴△AOB向上平移了个单位长度得到△A′O′B′，∴点A的对应点A′的坐标为(1，).
第6题解图
7. B　【解析】如解图①，连接BB′，由旋转的性质，得∠B′CB=∠A′B′C=90°，A′B′=AB，∴A′B′∥BD，∵BD=AB，∴BD=A′B′，∴四边形A′B′BD为平行四边形，又∵A′D=AB=BD，∴平行四边形A′B′BD为菱形，BB′=BD=AB=，由旋转的性质，得BC=B′C，∴△BCB′为等腰直角三角形，∴BC=BB′=1.
第7题解图①
【一题多解】如解图②，过点A′作A′E⊥BD交BD的延长线于点E，由旋转的性质，得AC=A′C，∠ACA′=90°，∴∠A′CE＋∠ACB=90°.∵∠B=90°，∴∠A＋∠ACB=90°，∴∠A=∠A′CE，∵∠B=∠CEA′=90°，∴△ABC≌△CEA′(AAS)，∴AB=CE，BC=EA′.∵AB=BD=CE，∴BC=DE=EA′，∴△A′ED是等腰直角三角形，∵
A′D=AB=，∴BC=EA′=DE=1.
第7题解图②
8. C　【解析】如解图，过点E作EF∥AG交AB于点F，则∠BFE=∠BAG，∠FEA=∠MAE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠B=∠D=90°，∴∠AGD=∠BAG，∴∠AGD=∠BFE，由折叠的性质得∠FAE=∠MAE，∴∠FAE=∠FEA，∴EF=AF，设AB=BC=AD=CD=3m，则EF=AF=3m－BF，∵=，∴BE=2m，∵BE2＋BF2=EF2，∴(2m)2＋BF2=(3m－BF)2，∴BF=m，∴==tan∠AGD=tan∠BFE===，∴DG=CD，∴GC=CD－CD=CD，∴==，即DG∶GC=5∶7.
第8题解图
9. 90°　【解析】由①③可得，点D在以点O为圆心，AB长为直径的圆上，∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90°.
10. 16　【解析】∵正方形ABCD的边长为2，∴正方形ABCD的面积为4，∵正方形ABCD与正方形A′B′C′D′是位似图形，∴正方形ABCD与正方形A′B′C′D′相似，∵AB∶A′B′=1∶2，∴正方形ABCD与正方形A′B′C′D′的相似比为1∶2，∴正方形ABCD与正方形A′B′C′D′的面积比为1∶4，∴正方形A′B′C′D′的面积为4×4=16.
11. (3－3)　【解析】如解图，设EF与BC交于点H，∵O是边BC(DF)的中点，BC=12 cm.如解图②，∴OD=OF=OB=OC=6 cm.∵将△ABC绕点O顺时针旋转60°，∴∠BOD=∠FOH=60°，∵∠F=30°，∴∠FHO=90°，∴OH=OF=3 cm，∴CH=OC－OH=3 cm，FH=OH=3 cm，∵∠C=45°，∴CH=GH=3 cm，∴FG=FH－GH=(3－3) cm.
第11题解图
12. 解：(1)作图如解图所示；(4分)
第12题解图
(2)如解图，过点G作GH⊥BC于点H，
∵BG平分∠ABC，GH⊥CB，AG⊥AB，∴AG=GH，
∵∠A=90°，BC=10，AC=8，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB==6，
设AG=GH=x，
∵S△BCG＋S△ABG=S△ABC，∴×10 x＋×6 x=×6×8，解得x=3，
∴AG=GH=3，
∴在Rt△ABG中，由勾股定理得，BG===3.(10分)
13. (1)证明：∵AD=BC=2AB=2CD，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠C＋∠D=180°.
∵∠C=∠D，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD为矩形；(4分)
(2)解：如解图，延长EG交AD于点H，
∵由(1)得，四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，
由题意可知，AB=AG，BE=EG，∠AGE=∠B=90°，
∴∠AGH=90°，
∵∠AGH=∠D，∠GAH=∠DAF，
∴△AGH∽△ADF，
∴====.
∵DF=4，
∴GH=2，∴EH=EG＋GH=6.
∵S△AEH=EH AG=AH AB，
∴×6AG=AH AG，
解得AH=6，
∴AF=2AH=12.……(10分)
第13题解图
14. 解：(1)∵△ABC为等腰三角形，AB=AC，△DEF是由△ABC平移得到的，
∴DE=DF ，BC=EF，
∵E为BC的中点 ，
∴EC=BC，
∵BC=EF，
∴EC=EF，即C为EF的中点，
∴DC⊥EF，即∠DCF=90°；(5分)
(2)∵∠ACB=∠CAF＋∠AFC，∠ACB=2∠AFC，
∴∠CAF=∠AFC，
∴CF=AC=AB=5，
∴平移的距离为5.(10分)
15. 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=BD，
∴∠BOF=90°，BD=2OB，
由旋转的性质得BF=BD，
∴BF=BD=2OB，
∴在Rt△BOF中，∠BFO=30°，
∴∠OBF=90°－∠BFO=90°－30°=60°，
∴α=60°；(5分)
(2)四边形BDGF为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADB=∠BDC，
由旋转的性质得BD=BF，∠F=∠BDC，
∴∠F=∠ADB，
∵EF∥BD，
∴∠F＋∠DBF=180°，
∴∠ADB＋∠DBF=180°，
∴DG∥BF，
∵GF∥BD，
∴四边形BDGF是平行四边形，
又∵BD=BF，
∴平行四边形BDGF为菱形.(10分)

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