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章末检测小卷(四) 三角形
一、选择题(本大题共10小题，每题3分，共30分)
1. 在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是(　　)
2. 如图是一把剪刀，在使用过程中，若∠COD增加20°，则∠AOB(　　)
第2题图
A.减少20°
B.增加20°
C.不变
D.增加40°
3. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=3BC，则cos C的值为 (　　)
A.　　　　B.　　C.　　　　D. 3
第3题图　
4. 如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC=BC=15 cm，则折叠凳的宽AB可能为(　　)
A.45 cm　　B.40 cm　　C.30 cm　　D.25 cm
第4题图
5. 在△ABC中，∠A＋∠B=∠C，则△ABC的形状是(　　)
A.钝角三角形 　　B.直角三角形
C.锐角三角形　　D.等边三角形
6. 如图，将一张矩形纸片沿着AD所在直线剪开并错位放置，点A，B，C，D在一条直线上，若∠1=137°，则∠2的度数为(　　)
A.37°　　　B.43°　　C.47°　　　D.53°
第6题图　
7. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，中线AD=6，则BC=(　　)
A.8　　B.12　　C.16　　D.18
第7题图
8. 如图，网格中每个小正方形的边长相等，则∠1＋∠2的度数是(　　)
第8题图
A.100°　　B.90°　　C.80°　　D.60°
9. 如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为16 cm，AB比AC长3 cm，则△ACD的周长为(　　)
第9题图
A.13 cm　　B.16 cm　　C.19 cm　　D.21 cm
10. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若S△ADE∶S△BDE=1∶2，S△ADE=2，则S△ABC为(　　)
A.4　　B.6　　C.16　　D.18
第10题图
二、填空题(本大题共4小题，每题3分，共12分)
11. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=26°，则∠BDC的度数是　　　　　.
第11题图
12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，已知DE⊥AB，若AB=12，CD=3，则△ABD的面积为　　　　　.
第12题图
13. 如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，作BD⊥OA，垂足为D，则∠OBD的度数是　　　　°.
第13题图　　
14. 某加工零件标出部分数据(如图)，小明说，∠D的数据标错了，则图中∠D所标数据应为　　　　°.
第14题图
三、解答题(本大题共4小题，共40分，解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (10分)如图，△ABC是等边三角形，D是AC上一点，∠ABD=∠ACE，AE∥BC.求证：△ABD≌△ACE.
第15题图
16. (10分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD=CD，延长BC至点E，使得CE=CA，连接AE.
(1)求证：∠B=∠ACB；
(2)若AB=5，AD=4，求△ABE的周长.
第16题图
17. (10分)【发现问题】某学习小组发现：三角形一个角的平分线截第三边形成的两条线段的比等于这个三角形中对应的两边之比.
如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则=.
【猜想验证】下面是“发现问题”的不完整的证明过程.
证明：如图②，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E，…请按照上面的证明思路，补全证明过程；
【拓展应用】如图③，已知Rt△ABC中∠BAC=90°，AC=6，BC=10，CD平分∠ACB，求tan ∠DCB的值.
第17题图
18. (10分)“为了安全，请勿超速”.如图，一条公路建成通车，在某路段MN上限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知∠CBN=60°，BC=200米，AC=100米.
(1)请求出观测点C到公路MN的距离(结果保留根号)；
(2)此车超速了吗？请说明理由.(参考数据：≈1.41，≈1.73)
第18题图
参考答案
1. D　2. B
3. C　【解析】在Rt△ABC中，cos C=，∵AC=3BC，∴=，则cos C=.
4. D　【解析】由三角形三边关系定理得到15－15＜AB＜15＋15，∴0＜AB＜30，∴折叠凳的宽AB可能是25 cm.
5. B　【解析】∵∠A＋∠B=∠C，∠A＋∠B＋∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC的形状是直角三角形.
6. B　【解析】如解图，∵矩形纸片的对边互相平行，且点A，B，C，D在同一直线上，∴∠1和∠3是内错角，即∠3=∠1=137°，∴∠2=180°－137°=43°.
第6题解图
7. C　【解析】∵AB=AC=10，AD是中线，∴BC=2BD，AD⊥BC.在Rt△ABD中，BD2＋AD2=AB2，AD=6，即BD2＋62=102，解得BD=8，∴BC=16.
8. B　【解析】如解图，设小正方形的边长为1，依题得BA=AE=1，AC=BD=2，∠CAE=∠DBA=90°，∵在△CAE和△DBA中，，∴△CAE≌△DBA(SAS)，∴∠1=∠ACE，∵∠ACE＋∠2=∠ACF=90°，∴∠1＋∠2=90°.
第8题解图
9. A　【解析】由题意得AB=AC＋3，∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∵△ABD的周长为16 cm，∴AB＋BD＋AD=AC＋3＋DC＋AD=16(cm)，则AC＋DC＋AD=13(cm)，∴△ACD的周长=AC＋DC＋AD=13(cm).
10. D　【解析】设点E到AB的距离为h，则S△ADE=AD h，S△BDE=BD h，∵S△ADE∶S△BDE=1∶2，∴=，∴=，∴=，∵DE∥BC，S△ADE=2，∴△ADE∽△ABC，∴=()2=()2=，∴S△ABC=9S△ADE=9×2=18.
11. 52°　【解析】∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD=CD=AD，∴∠A=∠DCA=26°，
∴∠BDC=∠A＋∠DCA=26°＋26°=52°.
12. 18　【解析】∵△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB，∴DE=CD，∵CD=3，∴DE=3，∵AB=12，∴S△ABD=AB DE=×12×3=18.
13. 30　【解析】如解图，连接AB，由作图可知：OA=OB，AB=OA，
∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠OBA=60°，∵BD⊥OA，∴∠OBD=∠OBA=30°.
第13题解图
14. 25　【解析】如解图，延长DC交AB于点E，∵∠BCD=155°，∠B=40°，∠BCD是△BCE的外角，∴∠BEC=∠BCD－∠B=115°，∵∠A=90°，∠BEC是△ADE的外角，∴∠D=∠BEC－∠A=25°.
第14题解图
15. 证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=∠BAC，
∵AE∥BC，
∴∠CAE=∠ACB，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE(ASA).(10分)
16. (1)证明：∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(SAS)，
∴∠B=∠ACB；(5分)
(2)解：∵∠ADB=∠ADE=90°，AB=5，AD=4，
∴BD=CD===3，
∵AD垂直平分BC，
∴CA=AB=5，
∴CE=CA=5，
∴DE=CD＋CE=3＋5=8，BE=BD＋CD＋CE=3＋3＋5=11，
∴AE===4，
∴AB＋BE＋AE=5＋11＋4=16＋4，
∴△ABE的周长为16＋4.
(10分)
17. 解：【猜想验证】∴∠CAD=∠E，∠BDE=∠CDA，
∴△BDE∽△CDA，
∴=，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
又∵∠CAD=∠E，
∴∠BAD=∠E，
∴AB=BE，
∴==；(5分)
【拓展应用】∵在Rt△ABC中∠BAC=90°，AC=6，BC=10，
∴AB===8，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB，
∴=，
即==，
解得，AD=3，
∴BD=8－3=5，
∵∠ACD=∠DCB，∠BAC=90°，
∴tan∠DCB=tan∠ACD===.(10分)
18. 解：(1)如解图，过点C作CH⊥MN于点H，
在Rt△BCH中，∠CBN=60°，
∴∠BCH=30°.
∵BC=200米，
∴BH=BC=100米，
∴CH==100米，
即观测点C到公路MN的距离为100米；(5分)
第18题解图
(2)此车没有超速，理由如下：
∵AC=100米，∠CHA=90°，
∴AH==100米，
∴AB=AH－BH=100－100≈73(米)，
∴车速为73÷5=(米/秒)，
∵60千米/小时=米/秒，＜，
∴此车没有超速.(10分)

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