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章末检测小卷(五) 四边形
一、选择题(本大题共8小题，每题3分，共24分)
1. 一个多边形的每个外角都等于45°，则这个多边形的边数是(　　)
A.8　　B.9
C.10　　D.12
2. 如图，这是嘉嘉同学在证明一四边形是平行四边形时的不完整推理过程，为了使嘉嘉的推理成立，需在括号中添加条件，下列添加的条件正确的是(　　)
如图，∵∠A＋∠D=180°，∴AB∥CD. 又∵(　　　　)， ∴四边形ABCD是平行四边形. 第2题图
A.∠A＋∠C=180°　　B.AD=BC
C.∠C=∠D　　D.AB=CD
3. 如图是反映四边形之间关系的结构图，其中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描述不正确的是(　　)
第3题图
A.①可表示对角线互相垂直
B.②可表示一组邻边相等
C.③可表示对角线相等
D.④可表示对角线相等且互相垂直平分
4. 如图，在 ABCD中，∠ABC=α，BC＞AB，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，在α从60°逐渐增大到120°的过程中，四边形EFGH形状的变化依次是(　　)
A.平行四边形→菱形→平行四边形
B.平行四边形→矩形→平行四边形
C.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
D.平行四边形→矩形→正方形→平行四边形
第4题图　
5. 在 ABCD中，尺规作图后留下的痕迹如图所示，若AB=3 cm，AD=10 cm，则EF的长为(　　)
A.3 cm　　B.4 cm
C.6 cm　　D.7 cm
第5题图
6. 如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，DE⊥AB，垂足为E，DE与AC交于点F，则sin∠DFC的值为(　　)
A.　　B.
C.　　D.
第6题图　
7. 如图，三个边长相同的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是8，则正方形的边长为(　　)
A.2　　B.4　　C.8　　D.2
第7题图
8. 如图①，某村有一口平行四边形池塘，在它的四个角A，B，C，D处均种有一棵柳树，现准备扩建池塘，扩建要求：①保持柳树的位置不变；②扩建后的池塘面积为原来池塘的两倍；③要求扩建后池塘仍为平行四边形.
下面给出了两种方案：
方案一：
如图②，连接AC，BD，
分别过点A，C作BD的平行线，分别过点B，D作AC的平行线，
分别交于点E，F，G，H，得到四边形EFGH.
方案二：如图③，连接AC，
分别在BA，DC的延长线上截取AE=CF=AB，连接DE，BF，得到四边形EBFD.
对于上述方案，下列说法正确的是(　　)
第8题图
A.方案一正确，方案二不正确
B.方案一不正确，方案二正确　　
C.方案一、方案二都不正确
D.方案一、方案二都正确
二、填空题(本大题共3小题，每题3分，共9分)
9. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，要使四边形ABCD为菱形可添加一个条件为　　　　　 (只写出一个即可).
第9题图
　
10. 如图，正六边形ABCDEF中，直线m，n分别经过边BC，CD上一点，且m∥n.则∠2－∠1的度数是　　　　.
第10题图
11. 如图①，将一张正方形纸片沿虚线剪成两个三角形和一个四边形三部分，利用这三个部分恰好拼成如图②的无缝隙、不重叠的五边形纸片ABCDE，其中BC=CD=ED，AB=AE，∠BCD=∠D=90°，则的值为　　　　.
第11题图
三、解答题(本大题共4小题，共42分，解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
12. (10分)如图，在矩形ABCD中，点E在CD边上，连接AE并延长交BC的延长线于点F，AE=EF，点G在AF上，连接BG，CG，∠CBG=∠BAF，求证：CG=AD.
第12题图
13. (10分)如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AB至点E，使AB=BE，连接DB，DE和CE，且AD=DE.
(1)求证：四边形BDCE是矩形；
(2)已知S△ADE=10，DE=5，求矩形BDCE的周长.
第13题图
14. (10分)如图，在△ABC中，BC=2AB，D，E分别为BC，AC边的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F.
(1)求证：四边形ABDF是菱形；
(2)若AB=2，∠B=60°，求AE的长.
第14题图
15. (12分)在四边形ABCD中，点E是射线BC上一点，将射线AE绕点A逆时针旋转α交直线CD于点F.
(1)如图①，当点E在边BC上时，若四边形ABCD为菱形，∠B=60°，α=60°，则AE与AF之间的数量关系是　　　　；
(2)如图②，当点E在BC的延长线上时，若四边形ABCD为正方形，α=45°，连接EF，请写出线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由.
第15题图
参考答案
1. A　【解析】∵360÷45=8，∴这个多边形的边数是8.
2. D　【解析】∵∠A＋∠C=180°，∠A=80°，∴∠C=100°，∵∠D=100°，∴∠C＋∠D=200°≠180°，∴AD与BC不平行，∴四边形ABCD不是平行四边形，故A不符合题意；∵AB∥CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，∴四边形ABCD不一定是平行四边形，故B不符合题意；∵∠C=∠D=100°，∴∠C＋∠D=200°≠180°，∴AD与BC不平行，∴四边形ABCD不是平行四边形，故C不符合题意；∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故D符合题意，故选D.
3. B
4. A　【解析】如解图，连接AC，BD，∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，EF是△ABC的中位线，∴EH=BD，EH∥BD，FG=BD，FG∥BD，EF=AC，∴EH=FG，EH∥FG，∴四边形EFGH为平行四边形，当α=90°时，四边形ABCD为矩形，则AC=BD，∴EH=EF，此时平行四边形EFGH为菱形，∴α从60°逐渐增大到120°的过程中，四边形EFGH形状的变化依次是平行四边形→菱形→平行四边形.
第4题解图
5. B　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD=3 cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=∠AEB，∴AB=AE=3 cm，同理可证CD=DF=3 cm，∴EF=AD－AE－DF=10－3－3=4(cm).故选B.
6. D　【解析】如解图，设AC与BD相交于O，∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴AC⊥OD，AO=AC=4，BO=BD=3，在Rt△ABO中，由勾股定理得AD=AB==5，∴sin∠ABO==，∵∠EAF＋∠AFE=90°，∠EAF＋∠ABO=90°，∴∠ABO=∠AFE=∠DFC，∴sin∠DFC=.
第6题解图
7. B　【解析】如解图，连接O1B，O1C，∵∠BO1F＋∠FO1C=90°，∠FO1C＋∠CO1G=90°，∴∠BO1F=∠CO1G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠O1BF=∠O1CG=45°，在△O1BF和△O1CG中，
，∴△O1BF≌△O1CG(ASA)，∴S△O1BF=S△O1CG，∴两个正方形重叠阴影部分的面积是S正方形ABCD，同理，另外两个正方形重叠阴影部分的面积也是S正方形ABCD，∴阴影部分的面积和=8=S正方形ABCD，∴S正方形ABCD=16，∴正方形ABCD的边长==4.
第7题解图
8. D　【解析】方案一：∵EF∥BD∥GH，FG∥AC∥EH，∴四边形EFGH为平行四边形，S△AFB＋S△AED=S△BAD，S△BGC＋S△DHC=S△BCD，∴S EFGH=S ABCD＋S△AED＋S△AFB＋S△BGC＋S△DHC=S ABCD＋S△BAD＋S△BCD=2S ABCD；方案二：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AE=CF=AB，∴AB＋AE=CD＋CF，∴BE=DF，∴四边形EBFD是平行四边形.∵S△BFC=S△ACD=S△ABC=S△EAD，∴S EBFD=S ABCD＋S△EAD＋S△BFC=2S ABCD.∴方案一、方案二都正确.
9. AB=CD(答案不唯一)
10. 60°　【解析】如解图，延长BC交直线n于点H，设直线n与边CD交于点N，∵m∥n，∴∠NHC=∠1，∴∠DCH=×360°=60°，在△NHC中，∠2=∠DCH＋∠NHC，∴∠2=∠DCH＋∠1，∴∠2－∠1=∠DCH=60°.
第10题解图
11. 　【解析】如解图，连接BE，在AF左侧以AF为边作正方形AFCH，连接BH，易知正方形AFCH即为原正方形纸片，∵△AEF≌△ABH，∴∠EAF=∠BAH，EF=BH，∴∠BAE=∠HAF=90°，∵AB=AE，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE=AB，∵∠BCD=∠D=90°，∴∠BCD＋∠D=180°，∴BC∥DE，∵BC=DE，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠D=90°，CD=DE，∴四边形BCDE是正方形，设EF=x，则DF=HB=EF=x，∴BE=CD=2x，AB=x，由勾股定理，得AF=CF=x，∴==.
第11题解图
12. 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，BC=AD，∠ABC=90°，
∴=，
∵AE=EF，∴BC=CF，
∴CG是△BGF的边BF上的中线，
∵∠ABC=∠ABG＋∠CBG=90°，∠CBG=∠BAF，
∴∠ABG＋∠BAF=90°，
∴∠BGF=90°，
∴CG=BF=BC，
∴CG=AD.(10分)
13. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，
∴BE∥CD，
∵AB=BE，
∴BE=CD，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∵AD=DE，AD=BC，
∴DE=BC，
∴平行四边形BDCE是矩形；(5分)
(2)解：设AB=BE=a，BD=b，
∴AE=AB＋BE=2a，
∴矩形BDCE的周长为2(BE＋BD)=2(a＋b)，
∵S△ADE=10，
∴AE BD=10，
∴×2ab=10，
∴ab=10，
∴四边形BDCE是矩形，
∴∠DBE=90°，
在Rt△DBE中，DE=5，
由勾股定理得：BE2＋BD2=DE2，
∴a2＋b2=25，
∴a2＋b2＋2ab=25＋2ab，
∴(a＋b)2=25＋20=45，
∴a＋b=3，a＋b=－3(不合题意，舍去)，
∴2(a＋b)=6，
即矩形BDCE的周长是6.(10分)
14. (1)证明：∵D，E分别是BC，AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，即DF∥AB.
又∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形.
∵BC=2AB，BC=2BD，
∴AB=BD，
∴四边形ABDF是菱形；(5分)
(2)解：如解图，连接AD，
由(1)可知AB=BD，
∵∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD=AB=CD=BC，
∴BC=2AB=4，
易得△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AC==2.
∵E是AC边的中点，
∴AE=AC=，
即AE的长为. (10分)
第14题解图
15. 解：(1)AE=AF；(4分)
【解法提示】如解图①，连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD.∵∠B=60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴AB=AC，∠ACD=∠B，∠BAC=60°，∵∠EAF=60°，∴∠BAE＋∠EAC=∠EAC＋∠CAF，∴∠BAE=∠CAF，∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF.
第15题解图①
(2)BE－DF=EF.(6分)
理由：如解图②，在BC上取点F′，使得BF′=DF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABF′=∠ADF=90°.
在△ABF′和△ADF中，
，
∴△ABF′≌△ADF(SAS)，
∴AF′=AF，∠BAF′=∠DAF.
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠DAE＋∠DAF=∠DAE＋∠BAF′=45°，
∴∠EAF′=45°.
在△AEF′和△AEF中，
，
∴△AEF′≌△AEF(SAS)，
∴EF′=EF.
∵BE－BF′=EF′，
∴BE－DF=EF.(12分)
第15题解图②

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