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专题二　锐角三角函数的实际应用
(2024.22)
1. (2025邯郸模拟)情境　嘉嘉和淇淇利用水槽和射灯进行综合实践探究，如图①，图②所示，一水槽放置在水平面上，射灯支架OA垂直于水平面，射灯AB发出垂直于AB的光线，OA和AB的夹角α=130°，AB=12 cm.
操作　嘉嘉进行了两步实验操作：
第一步：如图①，光线投射到空水槽底部CD处.
第二步：如图②，向水槽注水，光线投射到水面MN处，然后发生折射，最后投射到底部EF处.
探究　(1)请求出CD长(结果保留一位小数)；
(2)在图②中，嘉嘉认为需要知道折射角的度数，才能求EF的长度，淇淇认为不需知道折射角度数就可以求出EF长.你认为谁的看法正确，并写出理由.(参考数据：sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766，tan 40°≈0.839)
第1题图
2. (2025石家庄模拟)现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛.使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”α为20°(望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角)，小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”β为100°，如图①所示.
(1)如图②，当水平视线AB与屏幕BC垂直，“视线角”α为20°，BC=24 cm时，求眼睛与屏幕的距离；(结果精确到1 cm)
(2)如图③，肩膀到水平地面的距离DG=100 cm，大臂DE=30 cm，小臂水平放在桌面EF上，桌面到地面的距离FH=72 cm，通过计算判断此时是不是正确坐姿.若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面(桌面可上下调整)才能使肘部形成的“手肘角”β为100°？(参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，sin 80°≈0.98，cos 80°≈0.17，tan 80°≈5.67，sin 69°≈0.93)
第2题图
3. 嘉嘉在观察吊车(图①)的工作过程时，绘制了如图②所示的平面示意图.吊车在水平地面上吊起货物时，吊缆AB与水平地面始终保持垂直.吊臂OA=10米，吊臂的支点O距离水平地面的高OO′=3米，当吊臂顶端由A点抬升至A′点时，水平地面B处的重物(重物大小忽略不计)被吊至B′处，延长A′B′交水平地面于点C，若∠A=60°，∠A′=30°.
(1)求吊缆AB的长度；
(2)求此重物在竖直方向移动的距离B′C(结果保留根号).
第3题图
4. (2025样卷)风力发电是我国电力资源的重要组成部分.嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算.如图(图中所有的点均在同一平面，太阳光线视为平行光线)，线段OA，OB，OC表示三片风叶，OA=OB=OC，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，某时刻OA，OB的影子恰好重合为线段EF，OD⊥EF于点D，测得DE=36 m，EF=20 m，同一时刻测得高4 m的标杆MN影长为3 m.
(1)直接写出∠ABO的度数及OD的长；
(2)求风叶转动时点B到地面DF的最小距离.
第4题图
5. 新考法　项目式学习 (2025山东省卷)【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章.某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图①.
【问题提出】
部件主视图如图②所示，由于l的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求.
第5题图
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法.
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱(圆柱).
操作步骤：如图③，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合.示意图如图④，⊙O分别与AC，AD相切于点B，D.用游标卡尺测量出CC′的长度y.
第5题图
【问题解决】
已知∠CAD=∠C′A′D′=60°，l的长度要求是1.9 cm~2.1 cm.
(1)求∠BAO的度数；
(2)已知钢柱的底面圆半径为1 cm，现测得y=7.52 cm.根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求；(参考数据：≈1.73)
【结果反思】
(3)本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由.
参考答案
1. 解：(1)如解图①，过点C作CG⊥BD于点G，
第1题解图①
由题意可得四边形ABGC是矩形，
∴CG=AB=12 cm.
又∵∠OAC=α－∠BAC=40°，
∴∠ACO=90°－∠OAC=50°，
∴∠GCD=180°－∠ACG－∠ACO=180°－90°－50°=40°.
在Rt△CDG中，CD=≈≈15.7(cm)；
(2)淇淇看法正确.理由如下：
如解图②，延长AM，BM交底部于点C，D，则MN∥CD，
第1题解图②
由题意，得MC∥ND，
∴四边形MNDC是平行四边形，
∴MN=CD，
同理，MN=EF，
∴EF=CD=15.7 cm.
2. 解：(1)在Rt△ABC中，∠A=20°，BC=24 cm，tan A=，
∴AB=≈≈67(cm)，
故眼睛与屏幕的距离约为67 cm；
(2)如解图，延长FE交DG于点M，
第2题解图
则MG=FH，∠DME=90°，
∴调整前，DM=DG－MG=DG－FH=100－72=28(cm)，
在 Rt△DEM 中，sin∠DEM==≈0.93，
∴∠DEM≈69°，
∴∠DEF≈180°－69°=111°，即β≈111°，故此时不是正确坐姿.
当∠DEF=100°时，∠DEM=80°，
在Rt△DEM中，DE=30 cm，
sin∠DEM=，
∴调整后，DM=DE sin∠DEM=30×sin 80°≈30×0.98≈29.4(cm)，29－28=1.4(cm).
故桌面应下调1.4 cm才能使肘部形成的“手肘角”β为100°.
3. 解：(1)如解图，过点O作OD⊥AB于点D，
∵∠A=60°，
∴在Rt△AOD中，cos A==，
∵OA=10，
∴AD=5，
由题意可知，四边形OO′BD是矩形，
∴BD=OO′=3，
∴吊缆AB的长为AD＋BD=5＋3=8(米)；
第3题解图
(2)如解图，设OD与A′C交于点E，
∵∠A′=30°，
由题意可知，四边形OO′CE是矩形，
∴EC=OO′=3，∠A′EO=∠ADO=90°，
∴在Rt△A′OE中，A′E=OA′ cos 30°=10×=5，
∵A′B′=AB=8，
∴B′C=A′C－A′B′=A′E＋EC－A′B′=5＋3－8=5－5，
∴此重物在竖直方向移动的距离B′C是(5－5)米.
4. 解：(1)∠ABO=30°，OD长为48 m；
【解法提示】如解图①，由题意得OE∥NG，∠ODE=∠NMG=90°，
第4题解图①
∴∠OED=∠G，
∴△ODE∽△NMG，
根据三角形相似性质可得：
=，∴=，
∴OD=48 m.
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠ABO=∠AOB==30°.
(2)如解图②，过点O作OH⊥AB于点H，过点E作EI⊥AF于点I，
第4题解图②
在Rt△NMG中，由勾股定理得NG=5 m；
同理可得，△EIF∽△NMG，
∴=，∴=，
∴EI=16 m，
由题意得，OE∥AF，而OH⊥AF，EI⊥AF，
∴OH=EI=16 m，
∵在Rt△OBH中，∠ABO=30°，
∴OB=2OH=32 m，
∴当OB⊥DF时，点B到地面DF的最小距离为48－32=16(m)，
答：风叶转动时点B到地面DF的最小距离为16 m.
5. 解：(1)∵⊙O分别与AC，AD相切于B，D，
∴∠BAO=∠DAO=∠CAD=30°；
(2)∵OB⊥AC，OB=1，∠BAO=30°，
∴OA=2，
∴AB==，
∴AC=BC＋AB=1＋≈2.73，
∴l=y－2AC≈7.52－2×2.73=2.06，
∵1.9＜2.06＜2.1
∴该部件l的长度符合要求；
(3)能将圆柱换成其他几何体，可以换成三棱柱、正方体等(答案不唯一).

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