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专题三　简单几何题
(2025.19新增考查)
1. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE=BF，AE∥BF，∠AEC=∠BFD，连接DE，CF.
(1)求证：AC=DB；
(2)求证：△ADE≌△BCF.
第1题图
2. 如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，CE交BD于点F，BD=CD.
(1)求证：△ABD≌△FCD；
(2)若AD=1，BF=3，求CD的长.
第2题图
3. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，DE⊥DF，分别交AB，AC于点E，F，连接AD，EF.
(1)求证：∠ADE=∠CDF；
(2)求证：△ADE≌△CDF.
第3题图
4. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，E为BD上一点，∠1=∠2，AD=EC.
(1)求证：△ABD≌△EDC；
(2)若AB=4，BE=6，求CD的长.
第4题图
5. 如图，在△APC中，Q在PC上，连接AQ，且AP=PQ=AQ=QC.
(1)求∠PAC的度数；
(2)过点Q作BQ⊥AQ，交AP的延长线于点B，求证：△PAC≌△AQB.
第5题图
6. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，点E在CD上，F为BC的中点，连接AE，AF，分别交BD于点G，H，∠DAE=45°，连接EF.
(1)求证：BD=2EF；
(2)若EF=6，求GH的长.
第6题图
7. 如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC延长线于点G，点F在BC上，连接AF，∠FAE=∠DAE，连接FE并延长交AD延长线于点H，连接HG.
(1)求证：△ADE≌△GCE；
(2)求证：四边形AFGH为菱形.
第7题图
8. 如图，E，F是等腰直角三角形ABC的斜边BC上的两个动点，连接AE，AF，且∠EAF=45°，CD⊥BC且CD=BE，连接AD，DF.
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)求证：DF=EF.
第8题图
9. 如图，在△ABC中，过点B作BO⊥AC于点O，点E在OC上，且BE=AB，点F在BC上，且CE=CF.连接FE并延长，交BO延长线于点D，连接AD，CD.已知DE平分∠BDC.
(1)求证：BC⊥CD；
(2)若AE=4，EC=3，求AD的长.
第9题图
10. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是线段BO上的动点，过点E作EF∥BC交OC于点F，作EG∥AB交AD于点G，交AO于点M.
(1)求证：OM=OF；
(2)若M为GE的中点，且MG=2，求CD的长.
第10题图
11. 如图，在四边形ABCD中，∠ADC=120°，AD=CD，AC⊥BD，点E在对角线AC上，将线段DE绕点D逆时针旋转120°，得到线段DF，连接CF.
(1)求证：AE=CF；
(2)若AE=DE，求证：BD⊥DF.
第11题图
12. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ADC，过点D作DE⊥AC于点E.
(1)求证：△ABC≌△AED；
(2)连接BE并延长交CD于点F，若AB=3，BC=4，求EF的长.
第12题图
参考答案
1. 证明：(1)∵AE∥BF，
∴∠EAC=∠FBD，
在△ACE和△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF(ASA)，
∴AC=DB；
(2)∵AC=DB，
∴AD=BC，
在△ADE和△BCF中，
，
∴△ADE≌△BCF(SAS).
2. (1)证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BDA=∠CDF=90°，∠FCD＋∠A=∠ABD＋∠A=90°，
∴∠FCD=∠ABD，
在△ABD和△FCD中，
，
∴△ABD≌△FCD(ASA)；
(2)解：由(1)知△ABD≌△FCD，
∴AD=FD，
∴BD=BF＋FD=BF＋AD=4，
∵BD=CD，∴CD=4.
3. 证明：(1)∵AB=AC，D是斜边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠ADE＋∠ADF=∠CDF＋∠ADF=90°，
∴∠ADE=∠CDF；
(2)∵∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，
∴AD=BC，
∴AD=BD=CD，
∵AD⊥BC，
∴△ABD和△ACD均是等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠DCF=45°，
∵AD=CD，∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF(ASA).
4. (1)证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC(AAS)；
(2)解：∵△ABD≌△EDC，
∴CD=BD，ED=AB=4，
∵BE=6，
∴CD=BD=BE＋DE=10.
5. (1)解：∵AP=PQ=AQ，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ=∠AQP=60°，
∵AQ=QC，
∴∠QAC=∠QCA，
∵∠AQP为△AQC的外角，
∴∠QAC＋∠QCA=∠AQP=60°，
∴∠QAC=×60°=30°，
∴∠PAC=∠PAQ＋∠QAC=60°＋30°=90°；
(2)证明：由(1)知∠PAC=90°，∠BAQ=∠CPA=60°，
∵BQ⊥AQ，
∴∠AQB=90°=∠PAC，
在△PAC和△AQB中，
，
∴△PAC≌△AQB(ASA).
6. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，AB=2AD，
∴AB=CD=2AD，∠ADC=∠DAB=90°，AD=BC，
∵∠DAE=45°，
∴∠DEA=∠DAE=90°－45°=45°，
∴AD=ED，∴CD=2DE，
∴E为CD的中点，
∵F为BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴BD=2EF；
(2)解：由(1)知，BD=2EF，
∵EF=6，
∴BD=12，
∵AB=CD=2AD=2DE，AD=BC，F为BC的中点，
∴=，=，
在矩形ABCD中，CD∥AB，AD∥BC，
∴△DEG∽△BAG，△FBH∽△ADH，
∴==，==，
∴=，=，
∴DG=4，BH=4，
∴GH=BD－DG－BH=4.
7. 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BG，∠ADE=∠DCB=90°，
∴∠DAE=∠CGE，∠GCE=90°，
∵E为CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△GCE中，
，
∴△ADE≌△GCE(AAS)；
(2)∵DH∥FC，
∴∠EDH=∠ECF，∠DHE=∠CFE.
∵DE=CE，
∴△DEH≌△CEF(AAS)，
∴EH=EF.
由(1)得AE=GE，
∴四边形AFGH为平行四边形，
∵∠FAE=∠DAE，∠DAE=∠FGA，
∴∠FAE=∠FGA，
∴FA=FG，
∴四边形AFGH为菱形.
8. 证明：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠BCD－∠ACB=45°=∠B，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD(SAS)；
(2)由(1)知，AE=AD，∠BAE=∠CAD，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAD=∠CAE＋∠CAD=∠CAE＋∠BAE=∠BAC=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF=∠EAD－∠EAF=45°=∠EAF，
在△AEF与△ADF中，
，
∴△AEF≌△ADF(SAS)，
∴DF=EF.
9. (1)证明：∵DE平分∠BDC，
∴∠ODE=∠CDE，
∵CE=CF，
∴∠EFC=∠FEC=∠DEO，
∵AC⊥BD，
∴∠DOE=90°，
∴∠EFC＋∠CDF=∠OED＋∠ODE=90°，
∴∠BCD=90°，
∴BC⊥CD；
(2)解：∵BA=BE，AO⊥BO，AE=4，
∴O为AE的中点，
∴AO=OE=2，
∴OC=5，
∵∠FCD=∠DOE=90°，∠ODE=∠CDF，
∴△DOE∽△DCF，
∴==，
设OD=2k，则CD=3k，
在Rt△ODC中，根据勾股定理，得OD2＋OC2=CD2，
即(2k)2＋52=(3k)2，解得k=(负值已舍去)，
∴OD=2，
在Rt△AOD中，根据勾股定理，
得AD===2.
10. (1)证明：∵EG∥AB，
∴=.
∵EF∥BC，
∴=，
∴=.
∵在 ABCD中，OA=OC.
∴OM=OF；
(2)解：在 ABCD中，AD∥BC，
∵EF∥BC，
∴EF∥AG，∴∠AGM=∠FEM，∠GAM=∠EFM.
∵M为GE的中点，
∴ME=MG=2，
∴△AGM≌△FEM(AAS)，
∴AM=FM，
由(1)知，OM=OF，
∴AM=2OM，OA=3OM，
∴==.
又∵ME=2，
∴AB=6，
即CD=AB=6.
11. 证明：(1)由题意可知，∠EDF=120°，DE=DF，
∵∠ADC=120°，
∴∠ADE＋∠CDE=∠CDF＋∠CDE=120°，
∴∠ADE=∠CDF，
∵AD=CD，
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF；
(2)∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AE=DE，
∴∠DAC=∠ADE，
由(1)知，∠ADE=∠CDF，
∴∠CDF=∠DCA，
∴DF∥AC，
∵AC⊥BD，
∴BD⊥DF.
12. (1)证明：∵∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠EAD，
∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠ABC=90°，
在△ABC与△AED中，
，
∴△ABC≌△AED(AAS)；
(2)解：如解图，过点F作FG⊥AC于点G，
第12题解图
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°=∠FGC，
∴FG∥DE，
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，△ABC≌△AED，
∴AC==5，AE=AB=3，DE=BC=4，
∴∠ABE=∠AEB=(180°－∠BAE)，CE=AC－AE=2，
∵∠ACD=∠ADC=(180°－∠CAD)，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠BAE，
∴∠AEB=∠ACD，
∵∠AEB=∠CEF，
∴∠CEF=∠ACF，
∴FC=EF，
∴△CEF是等腰三角形，
∴点G是CE的中点，
∵FG∥DE，
∴点F为CD的中点，
∴EG=CE=1，FG=DE=2，
∴EF==.

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