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一、基础、中档试题专练
专题一　新定义问题
(6年3考)
类型一　新定义概念
(2024.12，2024.16，2023.25)
1. 定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两个实数根，若x1＜x2＜0，且3＜＜4，则称这个方程为“限根方程”，如：一元二次方程x2＋13x＋30=0的两根为x1=－10，x2=－3，且3＜＜4，所以一元二次方程x2＋13x＋30=0为“限根方程”.关于x的一元二次方程x2＋(1－m)x－m=0，嘉嘉说：当m=－时，该方程是“限根方程”；淇淇说：若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解，对于这两个说法正确的是(　　)
A.嘉嘉说得对，淇淇说得不对
B.嘉嘉说得不对，淇淇说得对
C.嘉嘉和淇淇说得都对
D.嘉嘉和琪淇说得都不对
2. (2025邯郸模拟)定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点.如：函数 y=2x＋1的图象上的点(－，)，(－1，－1)到两个坐标轴的距离相等，我们就称点(－，)，(－1，－1)是函数y=2x＋1的图象的完美点.若二次函数y=(x－m)2＋3m－2(m≥0)的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于m的完美点，则满足要求的m的值有(　　)
A.4个　　B.3个
C.2个　　D.1个
3. (2025沧州模拟)定义：若点C把线段AB分成两部分，且满足较长线段是较短线段的倍，则称点C为线段AB的青铜分割点.已知点C是线段AB的青铜分割点，且AB=4，则AC=　　　　 .
4. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，Q(m，n)给出如下定义：若m=x＋1，n=y－3，则点Q(m，n)就是点P的“关联点”.
(1)直接写出点(2，1)的“关联点”坐标，并回答：点(2，1)经过什么平移方式可以得到其“关联点”；
(2)将点P向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后到点P1，如果点P1的“关联点”与点P关于原点对称，求点P的坐标.
5. (2025石家庄模拟)定义：一个多位数整数，a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的右边数.其中a，b两部分数位相同，计算正好为剩下的中间数，满足以上条件叫其平衡数，例如：468满足=6，233 241满足=32.
(1)判断357　　　　 平衡数；314 567　 　　 平衡数；(均选填“是”或“不是”)
(2)琪琪认为任意一个三位平衡数都能被3整除.你同意琪琪的看法吗？请说明理由.
类型二　新定义运算
(2025邯郸、保定、秦皇岛模拟)
1. (2025邯郸模拟)定义新运算：a#b=(a≠0).按此规定可得函数y=x#2(x≠0)的图象大致为(　　)
2. 已知运算方式“□－□×(□－□)”，将四个实数a，b，c，d分别填入“□”中组成算式，并按该运算方式进行计算，称为对实数a，b，c，d进行“填充操作”.例如：对实数4，1，2，3进行“填充操作”可以是4－1×(2－3)=5，也可以是2－1×(4－3)=1，….
嘉嘉说：对实数2，3，－1，4进行“填充操作”后，所有的结果中最大的是18；
淇淇说：若对实数x，2，2，3进行“填充操作”后的结果为0，则x的值共有12个.
对于嘉嘉和淇淇的说法，正确的是(　　)
A.嘉嘉正确，淇淇错误
B.嘉嘉错误，淇淇正确
C.嘉嘉和淇淇都错误
D.嘉嘉和淇淇都正确
3. (2025保定模拟)如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“x＋2→x”表示用x＋2的值作为x的值输入程序再次计算，比如：当输入x=2时，依次计算作为第一次“传输”，可得2×2=4，4－1=3，32=9，9不大于2 025，所以2＋2=4，把x=4输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得4×2=8，8－1=7，…，当起始输入x=4时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为(　　)
第3题图
A.10次B.11次
C.12次　　D.13次
4. (2025秦皇岛模拟)定义新运算：
①在平面直角坐标系中，{a，b}表示动点从原点出发，沿着x轴正方向(a≥0)或负方向(a＜0).平移|a|个单位长度，再沿着y轴正方向(b≥0)或负方向(b＜0)平移|b|个单位长度.例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作{－2，1}.
②加法运算法则：{a，b}＋{c，d}={a＋c，b＋d}，其中a，b，c，d为实数.
若{4，6}＋{m＋n，m－n}={7，10}，则mn=　　　　 .
5. 对于实数a，b，定义新运算“ ”，规定如下：a b=(a＋1)2＋(b＋3)2－2(a＋b)，如2 3=(2＋1)2＋(3＋3)2－2×(2＋3)=9＋36－10=35，若x为某一个实数，记x 1的值为m，2 (x－2)的值为n，请你判断m－n的值是否与x的取值有关？并给出证明.
参考答案
类型一　新定义概念
1. A　【解析】①当m=－时，原方程为x2＋x＋=0，即(x＋1)(x＋)=0，∵x1＜x2＜0，∴x1=－1，x2=－，∴=，∵3＜＜4，∴当m=－时，该方程是“限根方程”，嘉嘉说得对；②∵x2＋(1－m)x－m=0，∴(x＋1)(x－m)=0，解得x=－1或x=m.(ⅰ)若－1＜m＜0，则3＜＜4，解得－＜m＜－，∴m无整数解；(ⅱ)若m＜－1＜0，则3＜＜4，解得－4＜m＜－3，∴m无整数解；∴淇淇说得不对.故选A.
2. B　【解析】由题可知完美点的坐标为(－m，m)，(－m，－m)，(m，m)，(m，－m)，且m≥0.当完美点为(m，m)时，得m=3m－2，解得m=1，符合题意；当完美点为(m，－m)时，得－m=3m－2，解得m=，符合题意；当完美点为(－m，m)时，得m=(－m－m)2＋3m－2，整理得2m2＋m－1=0，解得m=或m=－1(舍去)；当完美点为(－m，－m)时，得－m=(－m－m)2＋3m－2，整理得2m2＋2m－1=0，解得m=或m=(舍去)，综上符合题意的m值有3个，分别为1，，，故选B.
3. 4－4或8－4　【解析】由已知条件不能确定点C在线段AB上的位置，故要分情况讨论：①当AC＜BC时，根据题意设AC=a，则BC=a，∵AC＋BC=AB=4，∴a＋a=4，解得a=4－4，即AC=4－4；②当AC＞BC时，同理可得AC=8－4.综上所述，AC=4－4或AC=8－4.
4. 解：(1)(3，－2)；点(2，1)向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到其“关联点”(答案不唯一)；【解法提示】∵2＋1=3，1－3=－2，∴点(2，1)的“关联点”的坐标为(3，－2).
(2)由题知，点P平移后所得点P1的坐标为(x＋4，y－3)，
则点P1的“关联点”坐标为((x＋4)＋1，(y－3)－3)，即P1的“关联点”坐标为(x＋5，y－6).
∵点P1的“关联点”与点P关于原点对称，
∴x＋5=－x，y－6=－y，解得x=－，y=3，
∴点P的坐标为(－，3).
5. 解：(1)是，不是；
【解法提示】=5，∴357是平衡数；=49，∴314 567不是平衡数.
(2)同意，理由如下：
设一个三位平衡数是abc，
则=b，即a＋c=2b，
100a＋10b＋c
=99a＋2b＋10b
=99a＋12b
=3(33a＋4b)，
∵3(33a＋4b)是3的倍数，
∴任意一个三位平衡数都能被3整除.
类型二　新定义运算
1. C　【解析】由题意可知y=x#2=，∴画图如解图.故选C.
第1题解图
2. A　【解析】对实数2，3，－1，4进行“填充操作”的最大值为2－4×(－1－3)=18，故嘉嘉正确；对实数x，2，2，3进行“填充操作”，当x=，，2，－2，0，，，4时，结果为0，x的值共有8个，故淇淇错误，∴选项A正确.
3. B　【解析】由程序图可知，当x=4时，依次输入的数为6，8，10，…，设经过n次传输，可以结束程序，∵452=2 025，∴［4＋2(n－1)］×2－1＞45，8＋(2n－2)×2－1＞45，8＋4n－4－1＞45，解得n＞10.5，∵n为正整数，∴n的值为11，即经过11次传输，可以结束程序.故选B.
4. －　【解析】∵{4，6}＋{m＋n，m－n}={7，10}，∴，解得，∴mn=×(－)=－.
5. 解：m－n的值与x的取值无关，
证明如下：
m=x 1
=(x＋1)2＋(1＋3)2－2(x＋1)
=x2＋2x＋1＋16－2x－2
=x2＋15，
n=2 (x－2)
　　=(2＋1)2＋(x－2＋3)2－2(2＋x－2)
　　=9＋x2＋2x＋1－2x
　　=x2＋10，
∴m－n=x2＋15－x2－10=5，
∴m－n的值与x的取值无关.

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